工程力学习题廖明成整理版.docx
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工程力学习题廖明成整理版
第十章简单超静定
习题
10.1对于图示各平面结构,若载荷作用在结构平面内,试:
（1）判断它为几次超静定结构;
（2）列出相应的变形协调条件。
（a）（b）
（c）（d）
（e）（f）
q
（g）（h）
题10.1图
图一图二图三
解:
（a）由图可看出,此为不稳定结构,此结构在水平方向少了一个约束力,在竖直方向多了一个约束力
（b）由图可看出,第二根铰链与第三根铰链有交点,因此这是个静定结构。
无多余约束
（c）由图可知,此为不稳定结构,此结构在水平方向少了一个约束力
（d）由图可看出,此结构为一次超静定结构。
在支座B处多了一个水平约束,（图一）但在均布载荷q的作用下,水平约束的支反力F=0,即变形协调条件为F=0
（e）由图可看出,此结构为一次超静定结构,多了一个垂直约束,（图二）,再此约束情况下,有变形协调条件均布载荷载在B处引起的挠度等于支座B产生的支反力引起的变形,即
（f）由图可看出,此为不稳定结构,此结构在垂直方向少了一个约束力
（g）由图可看出,此结构是悬臂梁加根链杆移铰支座构成,因此这是个静定结构。
无多余约束
（h）由图可看出,此结构为一次超静定结构,在支座B处多了一水平约束,（图三）但在均布载荷q的作用下,水平约束的支反力F=0,即变形协调条件为F=0
10.2如图所示受一对力F作用的等直杆件两端固定,已知拉压刚度EA。
试求A端和B端的约束力。
F
α
α
α
F
EA
题10.2图
解:
杆件AB为对称的受力结构,设A、B端的受力为,。
且有
对AC段进行考虑,（受拉）
对CD段进行考虑,（受压）
由变形协调方程得:
即:
A、B端的受力均为（拉力）
10.3图示结构,AD为刚性杆,已知F＝40kN,1、2杆材料和横截面积相同,且E1=E2=E=200GPa,A1=A2=A=1cm2,a=2m,l＝1.5m。
试求1、2两杆的应力。
题10.3图
解:
设1、2杆的受力分别为,,变形为、因为杆AD为刚性杆,其变形如图所示
有平衡方程得:
（1）
其变形协调方程:
=2
（2）
又有
联立方程
（1）、
（2）得:
有公式得:
==
10.4图示为一个套有铜套的钢螺栓。
已知螺栓的横截面积A1=600m2,弹性模量E1=200GPa;铜套的横截面积A2=1200m2,弹性模量E1=100GPa。
螺栓的长度l=750mm,螺距s=3mm。
设初始状态下钢螺栓和铜套刚好不受力,试就下述三种情况求螺栓及套筒的轴力和:
（1）螺母拧紧1/4圈;
（2）螺母拧紧1/4圈,再在螺栓两端加拉力F=80kN;
（3）由初始状态温度上升。
设钢的线膨胀系数,铜的线膨胀系数
铜
l
钢
题10.4图
解:
（1）把螺母旋进1/4圈,必然会使螺栓手拉而套筒受压。
如将螺栓及套筒切开,容易写出平衡方程
现在寻求变形协调方程。
设想把螺栓及套筒切开,当螺母旋进1/4圈时,螺母前进的距离为s/4。
这时如再把套筒装上去就必须把螺栓拉长,而把套筒压短,这样二者才能配合在一起。
设二者最后在某一位置上取得协调,则变形之间的关系为
式中和皆为绝对值。
钢螺栓的抗拉强度为E1A1,套筒的抗压刚度为E2A2,由胡克定律
于是有
可解出
（2）先把螺母旋进1/4圈,则螺栓与套筒的轴力为
再在螺栓两端加拉力F=80kN后,螺栓的轴力（受拉）
套筒的轴力为0KN
（3）先写出平衡方程
温度上升后变形条件为
由胡克定律
联立上面的式子有
10.5如图所示结构,其中杆AC为刚性杆,杆1,2,3的弹性模量、横截面面积和长度均相同,点C作用垂直向下的力。
试求各杆内力值。
题10.5图
解:
杆ABC的受力图如图所示,平衡条件为
（1）
（2）
变形的几何关系如图所示,变形协调方程为
（3）
利用胡克定律将（3）式变为（4）
联立
（1）、
（2）、（4）式,解得
10.6试求图示结构的许可载荷。
已知杆AD,CE,BF的横截面面积均为A,杆材料的许用应力为,梁AB可视为刚体。
题10.6图
解:
这是一次超静定问题,梁的受力图如图所示
其静力学平衡条件为
（1）
（2）
变形协调条件为
（3）
利用胡克定律,可得各杆的伸长
代入（3）式的补充方程（4）
联立
（1）、
（2）、（4）式,解得各杆内力
由杆1或杆2的强度条件
得
由杆3的强度条件
得
比较和,因此结构的许可载荷为
10.7图示结构中,ABC为刚性梁,已知,杆1和杆2的直径分别为,,两杆的弹性模量均为。
试求1、2两杆的内力。
2
2m
A
B
C
1
m
1
m
F
2
m
1
2m
题10.7图
解:
这是一次超静定问题,梁的受力图如图所示
其静力学平衡条件为
（1）
变形协调条件为
（2）
利用胡克定律,可得各杆的变形
（3）
（4）
联立
（2）、（3）、（4）有
再联立
（1）有
10.8刚杆AB悬挂于1、2两杆上,1杆的横截面积为60mm2,2杆为120mm2,且两杆材料相同。
若F＝6kN,试求两杆的轴力及支座A的反力。
1m
1m
1m
A
B
F
2m
1
2
题10.8图
解:
杆1和杆2的受力图如图所示,
这是一次超静定问题,可利用的平衡方程只有一个
（1）
变形协调方程为
（2）
解
（1）、
（2）式,得
由平衡条件
得
10.9水平刚性横梁AB上部由杆1和杆2悬挂,下部由铰支座C支撑,如图所示。
由于制造误差,杆1的长度短了mm。
已知两杆的材料和横截面积均相同,且,。
试求装配后两杆的应力。
A
45°
1.5m
1
1
m
2
m
2
B
C
题10.9图
解:
设1杆伸长则2杆伸长
满足:
代入得
10.10图示阶梯状杆,左端固定,右端与刚性平面相距mm。
已知左右两段杆的横截面积分别为600mm2和300mm2,材料的弹性模量GPa,试求左右两段杆的内力。
题10.10图
解:
这是一次超静定问题,受力图如图所示,其静力学平衡方程为
（1）
变形协调方程为
（2）
利用胡克定律,可得各段杆的变形
代入
（2）,的补充方程（3）
联立
（1）、（3）,解得
10.11两端固定的阶梯状杆如图所示。
已知左右两段杆的横截面积分别为A和2A,材料的弹性模量GPa,线膨胀系数。
试求温度升高30时左右两段杆的应力。
题10.11图
解:
阶梯状的受力图,如图所示,静力学平衡条件为
（1）
变形协调方程为
（2）
利用胡克定律,可得各段杆的变形
连同温度变形
一并代入
（2）,得补充方程
（3）
联立
（1）、（3）得
因此杆内各段的应力
10.12如图所示两端固定的阶梯状圆轴,在截面突变处承受外力偶矩。
已知左右两段轴的直径分别为和,设,材料的切变模量为。
试求两固定端处的支反力偶矩MA和MB。
题10.12图
解:
此为一次超静定问题,阶梯轴的受力图,如图所示,其静力平衡条件为
（1）
因端面A和B均被固定,因此端面A相对截面C与端面B相对截面C的扭转角相同,即
（2）
端面A,B相对于截面C的扭转角分别为
（3）
（4）
解上面四个式子可得固定段的支反力偶矩
10.13图示一两端固定的钢圆轴,直径mm,轴在截面C处受一外力偶矩。
已知钢的切变模量=80GPa。
试求截面C两侧横截面上的最大切应力和截面C的扭转角。
Me
C
A
B
0.5m
1m
题10.13图
解:
此为一次超静定问题,圆轴的受力图,如图所示,其静力平衡条件为
因端面A和B均被固定,因此端面A相对截面C与端面B相对截面C的扭转角相同,即
而且有
联立上面的式子有
因此截面C左侧圆轴横截面上的最大切应力
因此截面C右侧圆轴横截面上的最大切应力
截面C的扭转角
10.14一空心圆管A套在实心圆杆B的一端,如图所示。
两杆在同一截面处各有一个直径相同的贯穿小孔,但两孔的中心线成一个角。
现在杆B上施加外力偶使杆B扭转,以使两孔对准,并穿过孔装上销钉。
在装上销钉后,卸除施加在杆B上的外力偶。
试求管A和杆B横截面上的扭矩。
设管A和杆B的材料相同,切变模量为,极惯性矩分别为和。
A
lA
lB
B
题10.14
解:
先对实心圆杆B施加一外力偶矩并使其截面C相对截面E转过角,当套A和杆B上的孔对准重合后,装上销钉,然后取出外力偶矩,这时杆B产生回弹,并带动套A的截面C相对截面D转过一个角,杆B回弹后,其截面C相对截面E的实际转角为,而且有
（1）
达到平衡状态时的受力图如图所示,其静力平衡条件为
（2）
将
代入
（1）后与
（2）联立,可解得
10.15试求图示AB梁B截面的挠度。
设AB梁各截面的抗弯刚度均为EI,BC杆的抗拉刚度为EA。
题10.15图
解:
这是一次超静定问题,解除拉杆对梁的约束,代之以轴力,如图所示,变形协调条件是在梁的均布载荷q和轴力的作用下,梁在B点的挠度等于拉杆的伸长,即
应用叠加原理有
因此有
10.16求图示超静定梁的两端反力。
设固定端沿梁轴线的反力能够省略。
A
a
B
q
（a）（b）
题10.16图
解:
（a）图示为二次超静定结构,因结构和载荷均对称,从中间把梁切开,（图）截面上的反对称内力即剪力必为零,只有弯矩,问题简化为一次超静定。
因对称截面的转角为零,因此正则方程为
（1）
利用图乘法（图）求系数和常数
（2）
（3）
将
（2）、（3）入上述正则方程
（1）式得
根据平衡条件求约束反力,
（逆时针）（向上）
有对称性可求得
（顺时针）（向上）
（b）如图所示,图示为二次超静定结构,解除B端约束代之以反力,,静定基如（图）所示。
正则方程为
利用图乘法（图）求系数和常数
将后面五个式子代入正则方程组有
（向上）（顺时针）
由静力平衡方程可求得
（向上）（逆时针）
10.17直梁在承受载荷前搁置在支座、上,梁与支座间有一间隙。
在加上均布载荷
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