工程力学习题廖明成整理版.docx

1、工程力学习题廖明成整理版第十章 简单超静定习 题10.1 对于图示各平面结构, 若载荷作用在结构平面内, 试: (1) 判断它为几次超静定结构; (2)列出相应的变形协调条件。 (a) (b) (c) (d) (e) (f) q(g) (h)题10.1图 图一 图二 图三解: ( a) 由图可看出, 此为不稳定结构, 此结构在水平方向少了一个约束力, 在竖直方向多了一个约束力( b) 由图可看出, 第二根铰链与第三根铰链有交点, 因此这是个静定结构。无多余约束 ( c) 由图可知, 此为不稳定结构, 此结构在水平方向少了一个约束力 ( d) 由图可看出, 此结构为一次超静定结构。在支座B处多了

2、一个水平约束, ( 图一) 但在均布载荷q的作用下, 水平约束的支反力F=0, 即变形协调条件为F=0 ( e) 由图可看出, 此结构为一次超静定结构, 多了一个垂直约束, ( 图二) , 再此约束情况下, 有变形协调条件均布载荷载在B处引起的挠度等于支座B产生的支反力引起的变形, 即 ( f) 由图可看出, 此为不稳定结构, 此结构在垂直方向少了一个约束力 ( g) 由图可看出, 此结构是悬臂梁加根链杆移铰支座构成, 因此这是个静定结构。无多余约束 ( h) 由图可看出, 此结构为一次超静定结构, 在支座B处多了一水平约束, ( 图三) 但在均布载荷q的作用下, 水平约束的支反力F=0, 即

3、变形协调条件为F=010.2 如图所示受一对力F作用的等直杆件两端固定, 已知拉压刚度EA。试求A端和B端的约束力。 FFEA题10.2图解: 杆件AB为对称的受力结构, 设A、 B端的受力为, 。且有 对AC段进行考虑, ( 受拉) 对CD段进行考虑, ( 受压) 由变形协调方程 得: 即: A、 B端的受力均为( 拉力) 10.3 图示结构, AD为刚性杆, 已知F40 kN, 1、 2杆材料和横截面积相同, 且E1=E2=E=200 GPa, A1=A2=A=1 cm2, a=2 m, l1.5 m。试求1、 2两杆的应力。 题10.3图解: 设1、 2杆的受力分别为, , 变形为、 因

4、为杆AD为刚性杆, 其变形如图所示有平衡方程 得: ( 1) 其变形协调方程: =2 ( 2) 又有 联立方程( 1) 、 ( 2) 得: 有公式 得: = 10.4 图示为一个套有铜套的钢螺栓。已知螺栓的横截面积A1=600 m2,弹性模量E1=200 GPa; 铜套的横截面积A2=1200 m2,弹性模量E1=100 GPa。螺栓的长度l=750 mm, 螺距s=3 mm。设初始状态下钢螺栓和铜套刚好不受力, 试就下述三种情况求螺栓及套筒的轴力和: ( 1) 螺母拧紧1/4圈; ( 2) 螺母拧紧1/4圈, 再在螺栓两端加拉力F=80kN; ( 3) 由初始状态温度上升。设钢的线膨胀系数,

5、 铜的线膨胀系数铜l钢 题10.4图解: ( 1) 把螺母旋进1/4圈, 必然会使螺栓手拉而套筒受压。如将螺栓及套筒切开, 容易写出平衡方程现在寻求变形协调方程。设想把螺栓及套筒切开, 当螺母旋进1/4圈时, 螺母前进的距离为s/4。这时如再把套筒装上去就必须把螺栓拉长, 而把套筒压短, 这样二者才能配合在一起。设二者最后在某一位置上取得协调, 则变形之间的关系为式中和皆为绝对值。钢螺栓的抗拉强度为E1 A1 , 套筒的抗压刚度为E2 A2, 由胡克定律, 于是有 可解出 ( 2) 先把螺母旋进1/4圈, 则螺栓与套筒的轴力为再在螺栓两端加拉力F=80kN后, 螺栓的轴力( 受拉) 套筒的轴力

6、为0KN( 3) 先写出平衡方程 温度上升后变形条件为 由胡克定律, 联立上面的式子有10.5 如图所示结构, 其中杆AC为刚性杆, 杆1, 2, 3的弹性模量、 横截面面积 和长度均相同, 点C作用垂直向下的力。试求各杆内力值。 题10.5图解: 杆ABC的受力图如图所示, 平衡条件为 ( 1) ( 2) 变形的几何关系如图所示, 变形协调方程为 ( 3) 利用胡克定律将( 3) 式变为 ( 4) 联立( 1) 、 ( 2) 、 ( 4) 式, 解得 10.6 试求图示结构的许可载荷。已知杆AD, CE, BF的横截面面积均为A, 杆材料的许用应力为, 梁AB可视为刚体。题10.6图解: 这

7、是一次超静定问题, 梁的受力图如图所示其静力学平衡条件为 ( 1) ( 2) 变形协调条件为 ( 3) 利用胡克定律, 可得各杆的伸长 代入( 3) 式的补充方程 ( 4) 联立( 1) 、 ( 2) 、 ( 4) 式, 解得各杆内力 由杆1或杆2的强度条件得 由杆3 的强度条件得 比较和, 因此结构的许可载荷为10.7 图示结构中, ABC为刚性梁, 已知, 杆1和杆2的直径分别为, , 两杆的弹性模量均为。试求1、 2两杆的内力。22 m ABC1m1mF2 m12 m 题10.7图解: 这是一次超静定问题, 梁的受力图如图所示其静力学平衡条件为 ( 1) 变形协调条件为 ( 2) 利用胡

8、克定律, 可得各杆的变形 ( 3) ( 4) 联立( 2) 、 ( 3) 、 ( 4) 有 再联立( 1) 有 10.8 刚杆AB悬挂于1、 2两杆上, 1杆的横截面积为60 mm2, 2杆为120 mm2, 且两杆材料相同。若F6 kN, 试求两杆的轴力及支座A的反力。1 m1 m1 mABF2 m12题10.8图解: 杆1和杆2的受力图如图所示, 这是一次超静定问题, 可利用的平衡方程只有一个 ( 1) 变形协调方程为 ( 2) 解( 1) 、 ( 2) 式, 得 由平衡条件 得 10.9 水平刚性横梁AB上部由杆1和杆2悬挂, 下部由铰支座C支撑, 如图所示。由于制造误差, 杆1的长度短

9、了 mm。已知两杆的材料和横截面积均相同, 且, 。试求装配后两杆的应力。A451.5 m11m2m2BC题10.9图解: 设1杆伸长则2杆伸长 满足: 代入得10.10 图示阶梯状杆, 左端固定, 右端与刚性平面相距 mm。已知左右两段杆的横截面积分别为600 mm2和300 mm2, 材料的弹性模量 GPa, 试求左右两段杆的内力。题10.10图解: 这是一次超静定问题, 受力图如图所示, 其静力学平衡方程为 ( 1) 变形协调方程为 ( 2) 利用胡克定律, 可得各段杆的变形 代入( 2) , 的补充方程 ( 3) 联立( 1) 、 ( 3) , 解得 10.11 两端固定的阶梯状杆如图

10、所示。已知左右两段杆的横截面积分别为A和2A, 材料的弹性模量GPa, 线膨胀系数。试求温度升高30时左右两段杆的应力。 题10.11图解: 阶梯状的受力图, 如图所示, 静力学平衡条件为 ( 1) 变形协调方程为 ( 2) 利用胡克定律, 可得各段杆的变形 连同温度变形 一并代入( 2) , 得补充方程 ( 3) 联立( 1) 、 ( 3) 得因此杆内各段的应力10.12 如图所示两端固定的阶梯状圆轴, 在截面突变处承受外力偶矩。已知左右两段轴的直径分别为和, 设, 材料的切变模量为。试求两固定端处的支反力偶矩MA和MB。题10.12图解: 此为一次超静定问题, 阶梯轴的受力图, 如图所示,

11、 其静力平衡条件为 ( 1) 因端面A和B均被固定, 因此端面A相对截面C与端面B相对截面C的扭转角相同, 即 ( 2) 端面A, B相对于截面C的扭转角分别为 ( 3) ( 4) 解上面四个式子可得固定段的支反力偶矩 10.13 图示一两端固定的钢圆轴, 直径 mm, 轴在截面C处受一外力偶矩。已知钢的切变模量=80 GPa。试求截面C两侧横截面上的最大切应力和截面C的扭转角。MeCAB0.5 m1 m题10.13图解: 此为一次超静定问题, 圆轴的受力图, 如图所示, 其静力平衡条件为 因端面A和B均被固定, 因此端面A相对截面C与端面B相对截面C的扭转角相同, 即 而且有 联立上面的式子

12、有 因此截面C左侧圆轴横截面上的最大切应力因此截面C右侧圆轴横截面上的最大切应力截面C的扭转角10.14 一空心圆管A套在实心圆杆B的一端, 如图所示。两杆在同一截面处各有一个直径相同的贯穿小孔, 但两孔的中心线成一个角。现在杆B上施加外力偶使杆B扭转, 以使两孔对准, 并穿过孔装上销钉。在装上销钉后, 卸除施加在杆B上的外力偶。试求管A和杆B横截面上的扭矩。设管A和杆B的材料相同, 切变模量为, 极惯性矩分别为和。AlAlBB题10.14解: 先对实心圆杆B施加一外力偶矩并使其截面C相对截面E转过角, 当套A和杆B上的孔对准重合后, 装上销钉, 然后取出外力偶矩, 这时杆B产生回弹, 并带动

13、套A的截面C相对截面D转过一个角, 杆B回弹后, 其截面C相对截面E的实际转角为, 而且有 ( 1) 达到平衡状态时的受力图如图所示, 其静力平衡条件为 ( 2) 将 代入( 1) 后与( 2) 联立, 可解得10.15 试求图示AB梁B截面的挠度。设AB梁各截面的抗弯刚度均为EI, BC杆的抗拉刚度为EA。题10.15图解: 这是一次超静定问题, 解除拉杆对梁的约束, 代之以轴力, 如图所示, 变形协调条件是在梁的均布载荷q和轴力的作用下, 梁在B点的挠度等于拉杆的伸长, 即 应用叠加原理有因此有10.16 求图示超静定梁的两端反力。设固定端沿梁轴线的反力能够省略。AaBq ( a) ( b

14、) 题10.16图解: ( a) 图示为二次超静定结构, 因结构和载荷均对称, 从中间把梁切开, ( 图) 截面上的反对称内力即剪力必为零, 只有弯矩, 问题简化为一次超静定。因对称截面的转角为零, 因此正则方程为 ( 1) 利用图乘法( 图) 求系数和常数 ( 2) ( 3) 将( 2) 、 ( 3) 入上述正则方程( 1) 式得根据平衡条件求约束反力, ( 逆时针) ( 向上) 有对称性可求得( 顺时针) ( 向上) ( b) 如图所示, 图示为二次超静定结构, 解除B端约束代之以反力, , 静定基如( 图) 所示。 正则方程为利用图乘法( 图) 求系数和常数将后面五个式子代入正则方程组有 ( 向上) ( 顺时针) 由静力平衡方程可求得( 向上) ( 逆时针) 10.17 直梁在承受载荷前搁置在支座、 上, 梁与支座间有一间隙。在加上均布载荷