数值分析复习题答案汇总.docx
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数值分析复习题答案汇总
数值分析复习题
一、填空
Chapter1绪论
近似数x*=0.4231关于真值x=0.4229有3位有效数字.
用
近似真值1000时，其有效数字有4位，
已知准确值x*与其有t位有效数字的近似值
的绝对误差为
。
设
是真值
的近似值，则
有 3 位有效数字。
设一近似数x*=2.5231具有5位有效数字，则其相对误差限是
，其绝对误差限是
。
当
很大时，为防止损失有效数字，应该使
。
Chapter2插值方法
设
，则
3。
若
则
0。
对
差商
0。
设
，则差商
1。
已知y=f（x）的均差
f[x4,x3,x2]=14，f[x0,x3,x2]=8,.那么均差f[x4,x2,x0]=9。
（交换不变性）
设有数据
则其2次Larange插值多项式为
，2次拟合多项式为（最佳平方逼近可求）。
？
？
？
以n+1个整数点k（k=0,1,2,…,n）为节点的Lagrange插值基函数为
（k=0,1,2,…,n），则
x。
？
？
（注：
，则有拉格朗日插值公式：
，即：
）
若
是三次样条函数，则：
a=_3_,b=_3_,c=0。
三次样条函数S（x）满足：
S（x）在区间[a,b]内二阶连续可导，S（xk）=yk（已知），k=0,1,2,…,n，且满足S（x）在每个子区间[xk,xk+1]上是不超过三次的多项式。
过（0，1），（2，4），（3，1）点的分段线性插值函数P（x）=
设有函数表如：
，则可利用分段三次Hermite插值，其插值多项式的次方为三次.？
？
Chapter3函数的最佳平方逼近
无
Chapter4数值积分与数值微分
牛顿—柯特斯求积公式的系数和
积分区间的长度（b-a）。
（验证梯形、辛普森、科特斯公式满足）？
？
数值求积公式
的代数精度为：
2次代数精度。
（依次将函数
代入验证是否满足，可得代数精度）
求积公式
的代数精度为：
3次代数精度。
求积分
的近似值，其辛卜生公式为
.
求积分
的近似值，其复化梯形公式为
设
，则用梯形公式得近似值为
n点高斯型求积公式其代数精度是2n-1。
如5点高斯求积公式，其代数精度为9。
Chapter5线性方程组的直接解法
能用高斯消元法求解
的充要条件是A的各阶顺序主子式不为零（P113）
当
满足条件
时（各阶顺序主子式不为零）,
可作LU分解,当
满足条件
时（A为n阶对称正定矩阵）,必有分解式
其中
是对角元素为正的下三角阵。
Chapter6线性方程组的迭代解法
设
，则
17，设A＝
，则
＝20。
设有矩阵
，则
10，
。
已知A＝
，x＝
，则
45。
设
，
，则：
。
方阵A的谱半径是指
矩阵
的条件数是指。
非奇异矩阵A的条件数Cond（A）＝？
？
，A是病态是指条件数数值很大。
？
？
已知
9。
Chapter8非线性方程的数值解法
解方程f（x）=0的简单迭代法的迭代函数（x）满足在有根区间内
，则在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛。
利用二分法求
在
上根的近似值，误差限为
。
设f（x）可微，则求方程x2=f（x）根的牛顿迭代格式为
。
求
的近似值，其牛顿迭代格式为
。
求
的近似值，其牛顿迭代格式是
。
求解方程
的Newton迭代公式为
，割线公式为
。
序列
满足递推关系：
，若
有误差,这个计算过程不稳定。
Chapter9常微分方程初值问题的数值解法
微分方程数值解的几何意义是指用直线代替曲线。
？
？
求解常微分方程处值问题
的改进Euler（梯形法）公式为
，它是二阶方法（二阶精度）。
Euler法是一阶方法（一阶精度）。
P218
解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报---校正公式是
。
预报值：
，校正值：
。
计算题
Chapter1绪论
无
Chapter2插值方法
一、求一个次数不高于4的多项式p4（x），满足下列插值条件：
解：
设：
根据已知条件（五个未知数五个已知条件）解方程组可得：
即：
二、设
在
上具有三阶连续导数，且
，
是区间
的中点，
是经过点
的二次多项式。
试证明对任意
有
，其中
。
证明：
由于，
是经过点
则可以构造出二次牛顿插值或拉格朗日插值，其误差均为：
本题中
，
，
，其中：
。
所以：
三、作一个三次多项式
使满足：
。
解：
为二次牛顿插值多项式，建立差商表，如下图所示：
可得：
，令
则
，因为
，解得
最后得满足条件的三次多项式：
。
四、对于积分
，若取节点
试推导一个插值型求积公式，并用这个公式求
的近似值。
P74
解：
1、构造出三节点的拉格朗日插值多项式的基函数，如下：
2、先计算系数
，具体过程如下：
然后构造出积分公式：
3、根据构造的积分公式，计算
，具体过程如下：
五、给定数据
试求
的3次Newton插值多项式，并写出插值余项。
解：
求解差商，如下表所示：
则：
插值余项：
Chapter3函数的最佳平方逼近
一、已知观测数据（1，-5），（2，0），（4，5），（5，6），试用最小二乘法求形如
的经验公式。
（10分）
解：
二、求
上的一次最佳平方逼近多项式及平方误差。
解：
取
；
；
分别计算：
根据
代入求解得：
即得：
为
在多项式集合
的最佳平方逼近。
平方误差：
三、设
，试求
的一次最佳平方逼近多项式，并估计误差。
解：
方法同上
四、设
，试求
的一次最佳平方逼近多项式，并估计误差。
解：
方法同上
五、设
试在
中求
在区间
上的最佳平方逼近元。
解：
取
；
；
分别计算：
根据
代入求解得：
即得：
为
在多项式集合
的最佳平方逼近。
六、用最小二乘法确定一条经过原点的二次曲线，使之拟合下列数据
x01.02.03.0
y0.20.51.01.2
解：
因为过原点，所以取
；
；二次曲线为：
，
，
，
由：
，可得：
即得：
为
在多项式集合
的最小二乘法拟合曲线。
平方误差：
七、求解矛盾方程组：
解：
，
，
，
由：
，可得：
Chapter4数值积分与数值微分
一、把区间分成两等份，用复合辛卜生公式计算
的近似值。
保留小数点后四位，并说明误差是多少。
解：
根据复合辛卜生公式
误差分析：
二、如果
，证明用梯形公式计算积分
所得结果比准确值大，并说明其几何意义。
证明：
1、梯形积分公式余项：
，
因为
，所以
，
根据：
，可得用梯形公式计算积分
所得结果比准确值大。
2、几何意义：
？
？
？
？
？
？
利用梯形
的面积
近似的代替曲边梯形
的面积
。
（如上图所示）
三、给定数据
1.301.321.341.361.38
3.6020103.903304.255604.673445.17744
用Simpson公式计算
的近似值，并估计误差。
解：
？
？
？
？
？
1、将
进行n=2等分，则根据复合辛普森公式可计算，计算过程如下：
复化的Simpson公式：
（注：
（0.4/6）*（3.602010+5.17744+2*4.2556+4*3.9033+4*4.67344））
2、误差估计：
本题中：
，
，设
及其各阶导数的函数值在区间内不产生较大的变化，因而利用各点间的斜率代替曲线切线，最后计算取
，可得：
四、给定求积公式
，试决定
使它的代数精度尽可能得高。
解：
1、由于该求积公式有三个未知系数可以确定，根据代数精度的定义，可知，该求积公式至少是2次精度，则将
分别取
代入该求积公式可得三个等式，从而确定系数A、B、C，具体过程如下：
2、将
代入求得的积分公式进行验证，若
成立而
不成立，则该公式为m次代数精度，具体过程如下：
，精确成立；
，不能精确成立；
所以：
求得的积分公式为
，具有3次代数精度。
四、设
四阶连续可导，
试建立如下数值微分公式：
并推导该公式的截断误差。
P100
解：
由已知条件
得：
其中
为中间点，
分别为
的左右等距点，利用泰勒公式展开得：
（注：
四阶连续可导，展开公式有四项）
将
（1）、
（2）两式相加得：
将
（1）、
（2）两式相减得：
两个公式精度均为
。
Chapter5线性方程组的直接解法
Chapter6线性方程组的迭代解法
一、写出计算线性方程组
的高斯—赛德尔迭代格式，并分析此格式的收敛性.
解：
1、高斯—赛德尔迭代格式为：
，
2、判断该高斯—赛德尔迭代格式的收敛性：
迭代公式的矩阵形式：
，其中：
，求得：
，计算：
所以，该迭代公式不收敛（即：
发散）。
二、对下述方程组
直接应用高斯—塞德尔迭代法求解是否收敛？
如果不收敛试设法给出收敛的迭代公式，并简述理由。
解：
1、迭代公式的矩阵形式：
，其中：
，求得：
，计算：
，所以该迭代公式不收敛（即：
发散）。
2、构造收敛的迭代公式？
？
？
将
化为：
则可得到新的：
为严格对角占优矩阵，所以采用雅可比和高斯塞德尔迭代都收敛！
三、已知
用迭代公式
，其中：
。
求解
问取什么实数
可使迭代收敛，什么
可使迭代收敛最快。
解：
1、将
化为标准形式
令
，可得：
由已经条件可得：
，解得：
根据迭代法收敛的充要条件：
可得关于
的不等式：
，所以在
时，
，即迭代收敛。
2、求解
可使迭代收敛最快：
题三示意图
分别将
作出曲线图，如上图所示。
在
的区间内，
的曲线为黑色粗线，则
为折线的最低点（红点），即为曲线
和
的交点，求得：
，使得
最小。
判断
，越小收敛精度越高。
当
时，
，所以迭代收敛最快。
四、给定线性方程组
用列主元消元法求解所给线性方程组。
写出Gauss－Seidel迭代格式，并分析该迭代格式是否收敛。
解：
1、用列主元消元法求解所给线性方程组。
增广矩阵为：
对其进行列主元消元：
2、
检验高斯－赛德尔迭代，
，其中：
其过程同下题六
（2）！
五、给定线性方程组
（1）写出Gauss－Seidel迭代格式；
（2）分析该迭代格式是否收敛。
解：
检验高斯－赛德尔迭代，
，其中：
其过程同下题六
（2）！
六、给定线性方程组Ax＝b，其中A＝
，证明雅可比迭代法发散，而高斯－赛德尔迭代法收敛。
证明：
迭代公式的矩阵形式：
，分别检验
，进行敛散性判断。
1、检验雅可比迭代，
，其中：
，
，求解得：
，
所以雅可比迭代发散！
2、检验高斯－赛德尔迭代，
，
升级会员 