数学模型航空机票超订票问题.docx
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数学模型航空机票超订票问题
工程技术大学
数学建模课程成绩评定表
学期
2014-2015学年1学期
姓名
专业
班级
课程名称
数学建模
论文题目
航空机票超订票问题
评
定
标
准
评定指标
分值
得分
知识创新性
20
理论正确性
20
容难易性
15
结合实际性
10
知识掌握程度
15
书写规性
10
工作量
10
总成绩
100
评语:
任课教师
时间
2014年月日
备注
航空机票超订票问题
摘要
当今是一个经济发展迅猛的时代，做任何事情都要有超前意识，为赢得时间，快速的交通工具成为现代生活的必需品。
飞机成为我们生活当中日益重要的交通工具，订购机票也自然成为我们需要关心的一个问题。
本文基于“航空机票超票订票的问题”运用数学建模所学知识建立数学模型，运用MATLAB软件，通过计算解决以下问题：
（1）假设两地的机票价为1500元，每位旅客有0.04的概率发生有事、误机或退票的情况，问航空公司多售出多少票，使该公司的预期损失达到最小？
（2）上述参数不变的情况下，问航空公司多售出多少票，使该公司的预期利润达到最大，最大利润为多少？
关键词：
航空机票；数学建模；MATLAB软件；最大利润
1问题背景描述
随着社会的不断进步，经济的不断发展，人们生活节奏也越来越快，对效率的要求也越来越高，为了出行的效率，飞机成了人们通常的选择。
航空公司会针对社会现象推出相应的营运模式，从而使公司赢得最大的利润。
针对此种现象，航空公司一般都采用超量订票的运营模式，即每班售出票数大于飞机载客数。
按民用航空管理有关规定：
旅客因有事或误机，机票可免费改签一次，此外也可在飞机起飞前退票。
航空公司为了避免由此发生的损失，采用超量订票的方法，即每班售出票数大于飞机载客数。
但由此会发生持票登机旅客多于座位数的情况，在这种情况下，航空公司让超员旅客改乘其它航班，并给旅客机票价的20%作为补偿。
为了减少发生持票登机旅客多于座位数的情况，航空公司需要对乘客数量进行统计，从而对机票预售量做出一定估算，从而获得最大的利润。
2问题的提出
某航空公司执行两地的飞行任务。
已知飞机的有效载客量为150人。
按民用航空管理有关规定：
旅客因有事或误机，机票可免费改签一次，此外也可在飞机起飞前退票。
航空公司为了避免由此发生的损失，采用超量订票的方法，即每班售出票数大于飞机载客数。
但由此会发生持票登机旅客多于座位数的情况，在这种情况下，航空公司让超员旅客改乘其它航班，并给旅客机票价的20%作为补偿。
要求：
（1）假设两地的机票价为1500元，每位旅客有0.04的概率发生有事、误机或退票的情况，问航空公司多售出多少票，使该公司的预期损失达到最小？
（2）上述参数不变的情况下，问航空公司多售出多少票，使该公司的预期利润达到最大，最大利润为多少？
3分析与建立模型
（1）假设两地的机票价为1500元，每位旅客有0.04的概率发生有事、误机或退票的情况，问航空公司多售出多少票，使该公司的预期损失达到最小？
设飞机的有效载客数为N，超订票数为S（即售出票数为N＋S），k为每个座位的盈利值，h为改乘其他航班旅客的补偿值．设x是购票末登机的人数，是一随机变量，其概率密度为f（x）.当时，有S-x个人购后，不能登机，航空公司要为这部分旅客进行补偿。
当x＞S时，有x-S个座位没有人坐，航空公司损失的是座位应得的利润，因此，航空公司的损失函数为
满足方程的S是函数E[L（S）]的极小值点，使航空公司的损失达最小。
设每位旅客购票未登机的概率为p，共有m个旅客，则恰有x旅客未登机的概率
，即x服从二项分布。
因此,积分
即用二项分布计算。
（2）上述参数不变的情况下，问航空公司多售出多少票，使该公司的预期利润达到最大，最大利润为多少？
设飞机的有效载客数为N，超订票数为S（即售出票数为N+S），k为每个座位的盈利值，h为改乘其他航班旅客的补偿值．
若不超订票（即S=0），则盈利的期望值为
E0=每个座位的盈利×飞机座位有乘客的期望值=kN（1–p）.
若超订票数为1（即S=1），盈利的期望值为
E1=不超订票时盈利的期望值+P{该旅客乘机}×P{该旅客有座位}×每个座位的盈利-P{该旅客乘机}×P｛该旅客无座位｝×该旅客的补偿=E0+（1–p）·P{N个旅客至少有1人不乘机}·k–（1–p）·P{N个旅客至多有0人不乘机}·h=E0+（1-p）[1-binopdf（0,N,p）]·k-（1-p）·binopdf（0,N,p）·h=E0+（1-p）[k-（k+h）binopdf（0,N,p）].
因此，只要计算出超订票数S=0,1,2,…的期望值,并比较它们的大小，就可以得到最优的超订票数和最大盈利的期望值。
4MATELABE运算过程
（1）假设两地的机票价为1500元，每位旅客有0.04的概率发生有事、误机或退票的情况，问航空公司多售出多少票，使该公司的预期损失达到最小？
Matlab软件中提供二项分布函数
根据题意N=300，p=0.04，k=1500。
假设机票价就是航空公司的盈利，h=1500*0.2=300。
Matlab中相应的程序:
N=150;
p=0.04;
k=1500;
h=300;
S=0;
whilebinopdf（S,N+S,p）S=S+1;
end
S
结果
S=9
答案：
超订票数在8-9之间，即每班售出的票数在158-159之间。
程序截图如下：
程序结果如下
（2）上述参数不变的情况下，问航空公司多售出多少票，使该公司的预期利润达到最大，最大利润为多少？
matlab程序设计如下:
seats=1:
150;
extra=1:
15;
EPROFIT=linspace（0,0,15）;
k=1500;
h=300;
p=0.04;
N=15;
EPROFIT0=k*N*（1-p）;
EPROFIT
（1）=EPROFIT0+（1-p）*（k-（k+h）*binopdf（0,N,p））;
whileextra（i）||i>1
EPROFIT（i）=EPROFIT（i-1）+（1-p）*（k-（k+h）*binopdf（i-1,N+i-1,p））;
end
EPROFIT（x）
结果如下：
EPROFIT=
217436.2218849.7220194.6221400.4222393.5223124.5223584.7
223803.4223832.6223728.7223540.1223302.3223038.1222760.7
222477.2
答案:
比较EPROFIT数组中的结果得超订票数为9时，航空公司获利润最大，预期的期望值达到223832.6元。
程序截图如下：
程序结果截图如下：
5建模的应用与推广
模型的应用与推广，在高速发展的社会，再快节奏的生活中，飞机的必然成了既舒适又高效的交通工具，随着机票打折飞机成了越来越多人的出行选择，该模型可在实际情况中得到应用，不仅可以保证每次航班的使用效率，提高运载能力，同时也可以使航空公司获得更高的利润。
所以在众多的机场中，订票管理部门皆可使用本模型。
也可在火车或长途客运的售票中运用该模型，以做到利润最大。
但是现实中还有好多实际问题有待解决，模型只提供了理论上支持。
6参考文献
[1]理学院应用数学系.数学建模简介及其MATLAB的实现[M].：
工程技术大学理学院应用数学系，2008
[2]金星,薛毅.51单片机C语言程序设计快速入门[M].:
清华大学，2005
[3]谭永基，俞文ci，《数学模型》，复旦大学，1997
[4]尚志等，《数学实验》，高等教育，1999
7附录MATLAB的用途
MATLAB的名称源自MatrixLaboratory，它是一种科学计算软件，专门以矩阵的形式处理数据。
MATLAB将高性能的数值计算和可视化集成在一起，并提供了大量的置函数，从而被广泛地应用于科学计算、控制系统、信息处理等领域的分析、仿真和设计工作，而且利用MATLAB产品的开放式结构，可以非常容易地对MATLAB的功能进行扩充，从而在不断深化对问题认识的同时，不断完善MATLAB产品以提高产品自身的竞争能力。
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