一个加筋复合土体的本构关系.docx

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一个加筋复合土体的本构关系

一个加筋复合土体的本构关系

陈永辉1，赵维炳1，汪志强2

（1.河海大学岩土工程研究所；2.江苏省建设厅）

摘要：

本文将加筋复合土体视为一种近视的横观各向同性体，引入摩擦等效附加应力的概念来模拟土与加筋体之间复杂的界面作用，充分考虑复合土体的各向异性以及土工合成材料的受力变形特点，得到一个加筋复合土体的本构关系，在不同的受力和变形条件下应采用不同的计算公式，本模型可用于加筋结构的研究分析之中。

关键词：

加筋复合土体；摩擦等效附加应力；本构关系；各向异性

中图分类号：

TU472              文献标识码：

A

土工合成材料（土工织物或土工格栅等）加筋的方法已经在各种堤坝工程中得到了广泛地应用。

目前加筋结构的有限元设计计算方法大致可分为两类：

一类是将加筋体和土体分开计算分别划分单元，用界面单元将加筋体单元和土体单元联系起来，这种方法可称之为分离式分析方法；另一类是将加筋体和附近的土体作为一种复合材料，即采用复合土体单元+土体单元计算，可称之为复合分析方法。

分离式分析方法需要得到合理的加筋材料、加筋材料和土体界面的本构关系，特别对于界面特性是非常复杂的，不易准确地模拟。

还有一个问题就是这种方法需要对界面和土工织物单独划分单元，单元数很多，而加筋体的厚度往往很小，其单元尺寸与土体单元相比相差太大，计算中会引入一些不合理的因素如计算舍入误差影响，不能真实地反映加筋材料的作用，使得计算出的土工合成材料加筋效果不理想。

而对于复合分析方法，关键在于如何准确地来模拟复合土体的应力-应变关系。

有的文献直接根据加筋土体的室内三轴试验或平面应变试验的应力-应变关系应用于实际工程的计算之中，由于加筋土体是各向异性的，同时又不是均质材料，存在着明显的尺寸效应，所以这种方法是不妥当的。

国外的复合材料分析方法[1,2]一般是将多层加筋土体作为宏观均质材料，采用复合材料力学来分析加筋复合土体的宏观性质。

这样得到的一些本构关系一般比较复杂，而且由于是直接从复合材料力学中引用过来的，未能充分考虑土工织物或格栅等柔性加筋材料的特性，所以目前并未广泛使用。

实际上复合体是一种成层的不均匀材料，且土工织物或格栅这种柔性材料只能受拉不能受压，所以加筋复合土体在宏观上应具有明显的各向异性，既包括原生各向异性，也有受力状态不同引起的各向异性。

因此在研究加筋复合体的应力-应变关系时应考虑它的各向异性。

文中引入摩擦等效附加应力的概念来代替较为复杂的土与加筋材料之间的摩擦力，通过一些假定来研究加筋复合土体的应力-应变关系，充分考虑土工合成材料的特点，建立一个加筋复合土体的本构模型，主要介绍一些概念和公式推导，限于篇幅对于本模型的应用情况即采用本模型进行复合有限元分析的方法将在续文《土工织物加筋堤坝的复合有限元分析方法》中介绍。

1加筋复合土体单元的本构模型

　　将加筋复合土体近似地作为非线性弹性横观各向同性体来研究，加筋体所在的平面为它的横向，垂直于加筋材料所在的方向为纵向，如图1所示建立坐标系，将xy平面平行于加筋材料所在的平面，近似假设加筋材料经向和纬向性质相同。

并记Ex=Ｅy，μxy=μyx=μx，Gx为平行于xy平面内的弹性模量、泊松比以及剪切模量，而Ez，μzx=μzy=μz，Gz为平行于xz或yz平面内的弹性模量、泊松比以及剪切模量。

作为弹性体，其应力-应变关系符合虎克定律表达式：

图1加筋复合土体单元本构模型示意

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

以上应力-应变关系式中一共包含反映加筋复合土体宏观力学特性5个未知的独立参数：

Ex，Ez，μx，μz，Gz。

首先从分析加筋土体的加筋机理入手利用摩擦等效附加应力的概念来分析这些参数。

2等效围压和摩擦等效附加应力的概念

　　在土体中加入抗拉强度或拉伸模量远大于土体的土工合成材料后，从受力角度分析，当复合体受到外力时，土体和加筋材料首先均会承受部分外力，在变形过程中，由于土体的变形模量远小于加筋材料，土体将比加筋材料发生更大的变形趋势，这种不相等的变形趋势使得土与筋体间发生相互摩擦限制作用来降低这种变形趋势的差异，而使它们尽可能的变形协调，或者说加筋材料通过对土体施加摩擦力（在应变协调情况下表现为静摩擦力，本文统称为摩擦力）来限制土体过分变形。

所以，加筋材料在加筋复合体中的作用有两个：

（1）承受外力，如三轴试样中的tσ3（t为加筋材料的厚度）；

（2）提供摩擦限制作用。

在研究复合土体的力学特性时，除了要考虑加筋材料与土体本身的特性外，还特别需要研究它们之间的相互摩擦作用。

由于加筋材料与土体之间的摩擦作用相当复杂。

本文用摩擦等效附加应力来代替土与加筋材料的相互摩擦力。

就是把加筋材料提供给

土体的摩擦力等效为外力给予土体的侧向应力或围压，这个侧向应力这里称之为摩擦等效附加应力，记为σadsi（i为应力方向，如“x”、“y”或“z”等）。

对于土体对加筋材料的摩擦力，也同样可等效为作用在加筋材料两端的侧向应力，作为摩擦等效应力的反作用力，记为σadgi（i为应力方向，如“x”、“y”或“z”等），如图2。

图2摩擦等效应力示意

也有文献采用等效围压的概念（Equivalentconfiningstressconcept）来解释加筋的作用和机理。

这个概念最早是Yang[3]在三轴试验中分析加筋土的强度时得到的，认为加筋的作用相当于外力对土体产生一个围压的作用，这个围压就是“等效围压”。

许多文献已对等效围压的求解作过分析，如Yang,z.（1972）[3]、Gray,D.H.[3]等人根据加筋砂土的三轴试验得出三轴加筋试样的等效围压的经验公式，李广信等也先后得到一些计算公式[4,5]。

这些概念实际是把土工合成材料的加筋作用宏观等效为外部给予土体一个围压的作用。

我们从定义中可以发现，摩擦等效应力与等效围压类似，但也有所不同。

一般来说，等效围压是比较加筋土体和未加筋土体的试验结果或理论分析得出，它指的是加筋的综合作用或全部效果（受力方面），而摩擦等效应力仅将摩擦作用部分宏观等效的结果，它不包括加筋材料承受外力部分。

目前等效围压的公式中大多数含有待定参数，对每一种材料和土体均需要经过大量加筋土的室内试验确定，由室内小尺寸的试验得出的参数不一定能很好地反映实际工程中加筋复合体的受力状态和力学性质。

当加筋层数很多，加筋体的厚度在复合体高度中所占的比例不可忽略时，两者在数量上就会有所差别。

所以文中用了两个概念来定义，以示区别。

　　用摩擦等效附加应力来模拟土体与加筋材料的相互摩擦作用后，可以根据它们之间的相互作用和应变关系来求得，作如下假定：

（1）土体为各向同性体，其非线性弹性参数为：

Es，μs。

（2）加筋材料为横观各向同性体，其厚度方向即Z方向是弹性主向，近似认为加筋体经向和纬向两个方向力学性质相同，其非线性变形参数为：

Egz，μgz，Ex=Ey=Eg，μx=μy=μg，Gxz=Gg；织物在x或y方向只能受拉不能受压，不考虑其z方向受拉情况。

　　（3）土体与加筋材料相互错动之前，在加筋材料变形方向两者变形协调即变形相等，并与整个复合体的变形相同（此时实际上土与筋材之间表现为静摩擦力），当土体与加筋材料变形不协调时，两者即完全相互错动，它们之间的摩擦力达到极限即τ=τf=csg+σztanφsg，csg与φsg为两种材料界面的凝聚力和摩擦角；如果复合体变形过程中加筋材料被拉断时，土与筋体之间的摩擦力迅速变为0，此时，复合体在xy方向上的应变等于土体在xy方向上的应变，由于筋材的竖向变形和高度与土体的竖向变形和高度相比非常小，所以可以认为复合体的竖向变形或应变等于土体的竖向变形或应变，即复合体的应变与土体的应变始终相同。

　　通过以上假定，对于图1所示的复合体，根据虎克定律可以推求复合体的摩擦等效附加应力，由于一般加筋材料只能受拉而不能受压，受压时不能发挥作用，因此需分几种情况分析。

（1）若εx<0，εy<0（以压为正），这时土体和织物除了分别受到外力之外，它们之间还存在着相互作用的摩擦等效应力，如图1，它们在x方向和y方向的变形有：

（7）

（8）

（9）

（10）

式（8）和式（10）中，μgz非常小已经近似取为0。

上面4式，再加上根据假定，在土体与织物发生完全错动之前它们应变协调，应有两个方程：

εgx=εsx和εgy=εsy，再根据作用力和反作用力，即σadgx·t=σadsx·s和σadgy·t=σadsy·s，又有两个方程。

所以8个未知量σadsx，σadsy，σadgx，σadgy，σsx，σsy，σgx，σgy可由上述8个方程求解得到，其中摩擦等效附加应力的求解公式为

（11）

（12）

式中：

；其它符号见图1、图2所示。

（2）当εx>0且εy>0时，由于加筋材料只能受拉而不能受压，所以加筋材料不能起到加筋作用，σadsx=0，σadsy=0。

　　（3）如果x和y中的某一个方向为压应变时即εi>0（i=x，y），这个方向上的摩擦等效附加应力应为0，另一个方向上的摩擦等效附加应力仍然存在，以上公式需重新推导，此时只需将式（7）、式（8）中的σadsy取为0（当εy>0时）或式（9）、式（10）中的σadsx取为0（当εx>0时）其它方程不变，即可求解另一个方向上的摩擦等效应力。

如当εx<0，εy>0时，求解公式为

（13）

（4）当某个方向处于平面应变状态（如εy=0），加筋复合土体及其土体与加筋材料均处于平面应变状态，εxy=εgy=0，εsy=εgy=0，这两式代入式（9）和式（10），与其它方程联立求解可以求得

（14）

（5）在常规三轴试验条件下，摩擦等效附加应力又有所不同，此时σ2=σ3，εsx=εsy=εs3，εgx=εgy=εg3，σadsx=σadsy=σads2=σads3=σads，与前面8个方程一样建立方程组，容易得到常规三轴试验条件下的摩擦等效附加应力公式：

（15）

以上列出了工程上常见的几种受力状态下摩擦等效附加应力的求解公式，在其它受力情况下也可按以上思路和方法来推导。

从以上附加应力的公式中可以看到，在不同的应力状态下摩擦等效附加应力是不同的，这也反映了加筋复合体的各向异性特性。

　　以上各摩擦等效附加应力的公式均是在土体与加筋材料应变协调的情况下求得的，随着荷载和变形的不断增大，土与加筋材料的摩擦力将达到极限摩擦力，此时应变将不协调。

根据假定（3），这时土与加筋材料的摩擦力τ=τf。

在整个变形过程中应有σadsi·s=σadgi·t≤τfl，当由以上公式求出的σadsi·s=σadgi·t≥τfl时，应取σadgi=τf·l/t或σadsi=τf·l/s。

还有如果τf·l>Tf时，这里Tf为加筋材料的单宽抗拉强度，这时首先应有σadsi·s=σadgi·t≤Tf，所以若计算得σadsi·s≥Tf时，筋体已被拉断，附加应力为0。

这两种情况加筋复合体已达到受力极限状态，属于强度问题，可见文献[6]中的讨论。

3加筋复合体的弹性参数

　　有了摩擦等效附加应力的概念和求解公式后，就可以对加筋复合体弹性非线性本构关系即式

（1）～式（6）中几个未知参数进行分析。

　　从式

（1）～式（3）中可以看到，当外力Δσz≠0，Δσx=Δσy=0时，加筋复合体竖向弹性模量有：

，这时虽然外力Δσx=Δσy=0，但对于复合体中的土体来说，除了竖向应力增量作用外还受到加筋材料对它有摩擦等效附加应力增量的作用，其竖向应变增量为：

（16）

　　而整个复合体的竖向应变增量：

（17）

　　根据假定土体与整个复合体的变形一致，即Δεsz=Δεcz，由式（16）和式（17）可得到

（18）

式（18）就是加筋复合体竖向模量与土体模量之间的关系。

　　当考察应力增量状态为：

Δσz≠0，Δσx=Δσy=0，与竖向模量类似方法分析，可以得到复合体竖向泊松比：

（19）

　　当应力增量状态为Δσx≠0，Δσz=Δσy=0时，类似方法可得水平向泊松比和水平向模量：

（20）

（21）

　　将前面摩擦等效附加应力的计算公式代入式（18）～式（21），需分几种应变状况代入。

（1）在εx<0，εy<0的情况下，当Δσz≠0，Δσx=Δσy=0时，摩擦等效附加应力的计算公式由式（11）和式（12）或者常规三轴条件下的式（15）均可得到：

（22）

　　将式（22）分别代入式（18）、式（19）中便可求得此时的竖向模量Ez和竖向泊松比μz的公式：

（23）

（24）

　　同样将Δσx≠0，Δσz=Δσy=0代入式（11）和式（12）求出摩擦等效附加应力后再代入式（20）和式（21）并可求得水平向泊松比μx和模量Ex：

（25）

（26）

（2）一个方向应变为压应变时如εx<0，εy>0的情况下，分两种应力增量情况，同样方法可得如下公式[6]：

　　（3）两个方向应变都为压应变时，εx>0，εy>0的情况下，显然加筋材料不起作用，复合体参数与土体参数相同。

　　对于水平向模量，我们可以进一步分析几种应力条件下的情况。

当碰到三轴试样，若采用σ1=常数，Δσ2=Δσ3≠0的应力路径，水平向土体与加筋复合体应变一致的假定按上面同样的方法可得

（27）

　　如果是平面应变情况，即εy=εsy=εgy=0时，采用σz=常数，Δσx≠0的应力路径进行分析，附加应力采用平面应变条件下的公式，与前面类似的推导可得

（28）

式（27）、式（28）中存在着μx，使用时可近似假定μx≈μ，就可以求出此时的Ex。

　　对于竖向剪切模量Gz，也是独立的参数，这个参数的求解比较复杂，由于砂土不能受拉而加筋材料是片状材料以及只能受拉等特性，使得加筋复合体的竖向模量与其它刚性各向异性体相比更不易直接从试验中测出来。

可以参照复合材料力学的理论进行分析[6][7]。

（1）并联模型，假设复合体中的土体与加筋材料中以并联方式连接，即假定土体、筋材和整个复合体具有共同的剪应变，则有

（29）

（2）串联模型，假设复合体中的土体与加筋材料中以串联方式连接，即假定土体、筋材和整个复合体具有共同的剪应力，则有

（30）

　　式（29）和式（30）分别给出了并联和串联模型下Gz的求解公式，由于筋体与土体之间的相互作用较为复杂，兼有并联和串联的成分。

按其它复合材料试验的结果表明，若按串联模型计算会使得结果偏小，而按并联模型计算出的结果又偏大，试验值应介于上述两公式之间。

这个结论在复合材料力学中已得到证明[7]。

对于加筋材料与土体组成的复合体，由于Ggz»Gsz，式（29）算出的结果将会偏大，不符合实际情况。

所以靠近式（30）进行修正，并可整理为

（31）

式中：

η为修正系数，可通过试验来测定。

　　对于加筋复合土体用试验来准确测定竖向模型Gz是非常困难的，目前尚未找到比较符合实际工程的方法。

从复合材料力学得出的一些经验值由于材料的特性不同，所以不能直接用于（31）中。

再者，加筋材料的竖向模量Gz也不易确定。

因此用式（31）来计算目前有很大的困难和不确定性。

因此在缺乏试验资料的情况下可用下式[8]计算：

（32）

4结语

　　作者根据加筋的机理，利用摩擦等效附加应力的概念来模拟土与筋体之间复杂的界面作用，得到了加筋复合体的非线性弹性参数与土体参数之间的关系。

根据这个模型，水平向的模量与竖向模量不同，且一般水平向模量要大一些，而且由于加筋使得泊松比和剪切模量均发生变化，存在着各向异性，在变形条件不同时，即使同一个参数也应采用不同的公式，这些都符合实际情况，更加能够反映加筋的效果。

有的文献[4][8]虽然也是通过求得等效围压Δσ3，然后用增加的围压（σ3+Δσ3）代替邓肯模型Et中的σ3，认为修正后的公式即为加筋土弹性模量的计算公式：

。

式中的几个参数c、φ、k、n和Rf均是未加筋土体的参数。

这种方法能够反映筋材的加筋作用，但也有一定的局限性，如果假设加筋复合体的基体即土体为线弹性材料，那么加筋体的加筋作用通过这种方法是无法体现出来的。

而文中的方法直接求出了复合体的弹性参数，与上述方法有所区别。

关于文中模型存在的问题和在使用中应注意的事项，以及在实际工程的应用情况将在续文《土工织物加筋堤坝的复合有限元分析方法》中详细介绍。

参考文献：

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Proc.oftheInter.Sym.onEarthReinforcementPractice[C].Japan:

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[2]Sawicki,A.Rheologicalmodelofgeosynthetic-reinforcedsoil[J].GeotextilesandGeomembranes,1999,17:

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[3]GrayDH,Al-refeaiT.Behavioroffabric-versusfiber-reinforcedsand[J].J.GeotechEngrg.,ASCE,1986,112（8）:

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[4]李广信，等.加筋土体应力变形计算的新途径[J].岩土工程学报，1994，16（3）：

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[5]介玉新.加筋土的等效附加应力法分析及模型试验研究[D].北京：

清华大学，1998.

[6]陈永辉.土工织物加筋堤坝地基的计算理论和方法研究[D].南京：

河海大学，2000.

[7]王震鸣.复合材料力学和复合材料结构力学[M].北京：

机械工业出版社，1991.

[8]徐立新.土工织物加筋垫层的复合分析[D].杭州：

浙江大学，1990.

收稿日期：

2002-08-29

作者简介：

陈永辉（1972-），男，浙江人，河海大学岩土工程研究所，博士，主要从事软土地基处理的研究。