小学数学中培养学生推理能力的教学策略.docx
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小学数学中培养学生推理能力的教学策略
小学数学中培养学生推理能力的教学策略
小学生在数学课上学习一点有关推理的知识，是《课标》指定的一个重要教学内容。
在《课标》（修改稿）的第三页倒数第一行，就有明确的规定：
“在数学教学中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直觉、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。
”《课标》还具体地作出了解释“推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。
推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活经常使用的思维方式。
推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发按照逻辑推理的法则证明和计算。
在解决问题的过程中，合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。
在小学阶段，主要学习合情推理，即归纳推理和类比推理。
而归纳推理又多表现为“不完全归纳推理”。
一、知识结构、逻辑推理及相互间的关系
在小学数学教学中，构建良好的数学知识结构是培养发展学生逻辑思维能力的一个重要途径。
乌辛斯基早就指出：
“所谓智力发展不是别的，只是很好组织起来的知识体系。
”而知识体系因为其内在的逻辑结构而获得逻辑意义。
数学中基本的概念、性质、法则、公式等都是遵循科学的逻辑性构成的。
“数学作为一种演绎系统，它的重要特点是，除了它的基本概念以外，其余一切概念都是通过定义引入的”。
这种演绎系统一方面使得数学内容以逻辑意义相关联。
另一方面从知识结构所蕴含的逻辑思维形式中得到的研究方法（如逻辑推理等），再去获取更多的知识。
（二）上位关系——归纳推理
如果原有认识结构已形成几个观念，要在原有的观念上学习一个抽象、概括和包容性高于旧知识的新知识，即新旧知识建立上位联系时，那么适当运用归纳推理的规则，可由特殊的前提推出一般性的结论。
当需要研究某一对象集时，先要研究各个对象（情况），从中找出整个对象集所具有的性质，这就是归纳推理。
归纳推理的基础是观察和试验，是从具体的、特殊的情况过渡到一般情况（结论、推论）。
例如：
在学习两个奇数相加和是偶数时，先让学生列举出多个两个奇数相加的例子，最后得出两个奇数相加和是偶数的结论。
1和2互质，1和3互质，1和4互质→1和任意一个自然数互质。
2和3互质，3和4互质，4和5互质→相邻的两个自然数互质。
3和5互质，5和7互质，7和9互质→相邻的两个奇数互质。
教材中关于概念的形成，运算法则和运算定律、性质得出，一般是通过归纳推理得到的。
运用归纳推理传授知识时，要根据学生的实际经验，选取典型的特例，并能够通过典型特例的推理得出一般性的结论。
又要用这个“一般结论”，去解决具体特例。
在教与学的进程中，归纳和演绎不是孤立地出现的，它们紧密交织在一起。
（三）并列关系——类比推理
如果新旧知识间既不产生从属关系，又不能产生上位关系，但是新知识同原有知识有某种吻合关系或类比关系，则新旧知识间可产生并列关系。
那么可以运用类比推理。
教材中，商不变性质和分数基本性质，乘数是整数的乘法和乘数是分数的乘法等，学习这类与旧知识处于并列结合关系的新知识时，既不能以上位演绎推理到下位，又不能以下位归纳推理到上位，只能采用类比推理。
如五年级学习“一辆卡车平均每小时行40千米，0.3小时行了多少千米？
”时，学生还无法根据小数乘法的意义列出此题的解答等式。
所以，教学中一般用整数乘法中的数量关系来类推。
新旧知识的三种联系与三类推理相呼应，不是一种巧合，是知识结构本身科学的逻辑结构使然。
正确地运用逻辑推理的原则可以将学生的认识结构分化的程度提高，教师会不断注意新知识的稳定性、清晰性，新知识的固定点、生长点。
数学教学更富有科学意义。
三、在小学数学教学中培养学生推理能力的策略
（一）新知识转化旧知识的学习中，沟通的策略。
（二）习得新知以后深化旧知，用新的视角看旧知的策略。
（三）在学习新知时，关键处设问引发思考点拨思路的策略。
（四）设计开放练习，培养学生推理能力的策略。
（五）构建可操作的教学模式，培养学生推理能力的策略。
（一）新知识转化旧知识的学习中，沟通的策略
1．立体图形的体积计算，分为两个阶段，长、正方体体积；圆柱、圆锥的体积。
学习了圆柱体积计算之后，可以把长方体，正方体，圆柱都看成是柱体，他们的体积都可以用底面积乘高来计算。
如图，它们的体积公式可以统一成（V＝sh）。
2．学习了小数除法，要沟通整数除法中有余数的除法，和小数除法的关系。
例如：
教师设计的开放练习；
甲数除以乙数的商是12，余数是8，如果商用小数表示是12.5，那么甲数是（），乙数是（）。
（二）学了新知以后深化旧知，用新的视角看旧知的策略
学习了分解质因数之后，可以深化整除的概念。
A＝2×3×5；B＝2×3²×5因为我们知道B包含A的所有因数，那么B是A的倍数，A是B的因数。
质数、合数的概念，是依据一个数的因数个数多少来分类建立概念的。
学习了分解质因数的概念后，学生又认识到，任何一个合数都可以表示成几个质因数相乘的形式。
教师应及时深化概念。
从新的角度看旧知。
（三）在学习新知时，关键处设问引发思考点拨思路的策略
1．关键处点拨：
案例：
商不变的性质教学片段。
首先是计算：
80÷4=（）÷（）学生都能找到一个正确答案，方法无一例外都是先算出商20，然后想哪两个数相除商是20，学生很难将两个算式中的被除数和除数建立起联系。
第二是观察：
我写出一组算式：
20÷2=10
40÷4=10
80÷8=10，
让学生说说发现了什么？
学生都发现了商没变，被除数和除数变了，
具体说说怎样变了？
有的学生说被除数增加了，除数也增加了，有的学生说被除数扩大了，除数也扩大了，学生习惯上从上向下观察，从直观上感知被除数和除数发生了变化，增加了或扩大了，但对于被除数和除数变化之中的内在联系却很难发现。
如何让学生主动探求被除数和除数的变化规律，并有所发现呢？
我通过对情境的加工，提取出数学实例，学生在观察、猜想、验证、反思等学习过程中，运用不完全归纳法总结出商不变的性质，从而丰富学生探索规律的数学活动经验。
我充分利用教材中猴王分桃子的情境：
3只小猴子，猴王给了6个桃子，小猴子说不够不够，每人才2个桃子，太少了。
猴王说：
“少？
没关系，我有神奇宝盒，那给你们变一变，”
猴王利用宝盒变成：
60个桃子分给30个小猴子，600个桃子分给300只小猴子。
600和300，你们猜结果怎样？
真让你们猜对了小猴子还是觉得少，奇怪了，桃子明明是越变越多了，小猴子为什么还说不够呢？
学生很容易发现虽然桃子也就是被除数多了，分给猴子的只数也就是除数也多了，每个人分得的桃子也就是商没变。
• 真是神奇，被除数和除数同时都变了，商竟然没变，那是不是不管被除数和除数怎样变，商都不变呢？
• 提出猜想：
你认为被除数、除数发生怎样的变化，商就能不变呢？
2．在观察中引发思考。
3．在确定思考方向处教师应设问点拨
蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿。
现在这两种小虫共18只，共有118条腿。
问蜘蛛有几只？
列表解答鸡兔问题，可以从中间设数枚举。
但是下一个数需要思考。
确定试算的方向。
教师应设问点拨。
（四）设计开放练习，培养学生推理能力的策略。
1．追根寻源:
如果下图中圆的面积等于长方形的面积，那么圆的周长（）长方形的周长。
A.等于 B.大于 C.小于
圆的周长是16.4厘米，阴影部分的周长是多少厘米？
阴影部分的周长等于圆的周长加1/4圆周
＝16.4×（1＋1/4）=20.5厘米。
2．估算要有方法。
三位同学晨练，张华5分钟走了351米，李明2分钟走了131米，陆宇3分钟走了220米，（）走得最快。
A.张华B.李明C.陆宇
李明＋陆宇＝张华。
张华１分钟大约走了70米，李明1分钟走路不足70米。
所以陆宇走路最快。
3．整体考虑：
用下面的三个图形可以拼成一个轴对称图形，把拼法画在下面的网格中，并画出所拼图形的对称轴。
三个图形拼成一个轴对称图形，对称轴可以有三个方向，沿着对称轴等成分两部分，每部分面积是8
横向：
3＋5＝8层次：
易。
纵向：
２＋３＋３＝８层次：
易。
三个图形拼成一个轴对称图形，对称轴可以有三个方向，沿着对称轴等成分两部分，每部分面积是8
45°方向：
0.5＋3.5＋4＝8层次：
难。
45°方向：
2.5＋3.5＝6每部分＋2＝8层次：
难。
（五）构建可操作的教学模式，有效发展推理能力
案例：
感知、猜想、验证、结论、推广应用五步教学法
三年级学生学习了乘数是两位数的乘法后，为了激发学生的学习的兴趣，使体验到数学计算中的趣味与魅力，在提高学生的计算能力的同时有意识地培养学生的推理能力，我们可以设计一些题组，清晰地呈现题组间逻辑关系，为学生提供充分观察思考的思维空间，让学生在经历观察、感知、猜想、验证结论、推广应用的数学活动中，培养学生比较、分析、概括、探究等能力，发展学生的数学思考能力。
1.利用题组，初步感知规律
先计算下列乘法算式的乘积，然后再认真观察：
你有什么发现？
学生通过计算后发现：
因数的特点：
1.一个因数都是67
2.一个因数数12,15,18……都是3的倍数
积的特点：
1、积的前两位数都是后两位数的2倍。
2.根据发现，提出猜想
是不是只要是3的倍数与67相乘，它们的乘积就可能具有这个2倍的关系呢？
3.结合实例，验证猜想
这时教师为学生提供如下的算式，让学生亲自对猜想加以验证：
练习：
通过计算以上题组加以验证，学生会发现自己的猜想得到了验证。
那为什么这些乘法算式的结果会呈现有趣的2倍的关系呢？
会不会是3倍、4倍呢？
4.明晰道理，提升认识
3×67=201
看来这些算式的乘积：
前两位数是后两位数的2倍，一定与67、以及3的倍数有关，于是在充分谈论的基础上明晰道理，提升认识。
奥秘在于：
所以：
概括推理，得出结论：
一个两位数与67相乘，如果这个数是3的倍数，那么乘积的前两位数一定是后两位数的2倍。
5.拓展结论，再次推理
你能根据一些特殊的数据自己设计一些有意思的题组，使它们的乘积也具有一些特殊性吗？
如：
教师课提供一些材料：
特殊的数是37，37×3=111.37×27=999利用倍数关系轻松计算。
12×34=24×34=36×34=51×34=63×34=
14×43=21×43=28×43=35×43=91×43=
如果说通过演绎推理可以培养学生的运算能力、空间想象能力和严谨的治学态度，那么通过合情推理则可以培养学生的创新思维能力、创造想象能力、创新实践能力。
因此可以说，推理是发展和培养学生创新能力的基础和必要条件，是21世纪新型人才应当具有的素质。
作为一名数学教师应当抓住时机，设计恰当的教学内容，让学生积极地参与数学活动，体会数学知识的形成过程，让学生感悟到推理的方法和效能，充分展现人的想象能力、抽象能力，充分展现人的智慧。
例如：
在教学正方形面积计算公式时,我们通过演绎推理得到的：
长方形面积＝长×宽
正方形长＝宽
因此得出正方形面积＝边长×边长
数学中的这种推理形式一旦被学生所熟识，他们又会运用它在已有知识的基础上作出新的判断和推理。
感悟数学思想，积累数学活动经验
课标在原有两基：
基本数学知识和基本数学技能的基础上增加了新两基，即基本数学思想方法和基本数学活动经验。
课程标准指出“数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等。
”其中最基本的数学思想是抽象、推理、模型。
在义务教育阶段应结合具体的教学内容逐步渗透数学的基本思想。
一、数学思想——“悟”
1.反复理解螺旋上升
在义务教育阶段应结合具体的教材内容逐步渗透抽象、分类、转化、数形结合、演绎、归纳、模型等基本数学思想。
一个数学思想的形成需要经历一个从模糊到清晰，从理解到应用的长期发展过程，需要在不同的数学内容教学中通过提炼、总结、理解、应用等循环往复的过程逐步形成，学生只有经历这样的过程，才能逐步“悟”出数学知识、技能中蕴涵的数学思想。
比如“分类思想”是贯穿义务教育阶段的重要思想，在小学阶段，通过对实物分类，例如，对扣子的分类，通过对数学对象的分类，例如，角的分类、三角形的分类、四边形的分类等，到初中阶段，无论在对实际“事、物”和对数学对象分类方面都会有很大提升，例如，在数学对象方面，不仅学习对数、多项式进行分类，还会学习对模型分类——方程、不等式、函数，不仅在数学中会运用，还会在实际情景中进行识别和判断。
不同的知识内容体现出相同的数学思想，对不同内容，确定分类标准，按照标准，具体分类，分类时不重复不遗漏。
这种数学思想需要学生通过不断重复、不断深入思考、逐步“领悟”。
2.数学思想蕴含在数学内容中
数学思想离不开具体数学，空谈数学思想是没有意义的，数学知识与数学思想是紧密联系的。
数学知识的发生、发展过程，也是数学思想发生和凸显的过程。
正是数学知识与数学思想方法的这种辩证统一性，决定了数学思想的教学需要依附于数学知识的教学。
只有对数学内容进行深入的思考，才能逐步体会其中蕴含的数学思想；只有对相关的数学内容进行联想、类比，才能感悟数学思想；只有不断思考问题，才能体会数学思想的作用。
“数”和“形”是数学中最基本的两个概念，数学家华罗庚先生说“数无形时不直观，形无数时难入微”，这就是数形结合思想。
在分数的教学中，我们常用饼形图帮助学生理解分数的含义；而在有理数的教学中，我们需要借助数轴表示相反数、理解绝对值的意义、比较有理数大小，表示不等式组的共解集等。
在平时的教学中，教师要对具体的数学知识进行深入的分析，挖掘这部分内容蕴涵的数学思想，进行反复渗透，提高学生的认识水平。
3.感悟数学思想---在过程中实现
数学思想的形成需要在过程中实现，只有经历问题解决的过程，才能体会到数学思想的作用，才能理解数学思想的精髓，才能进行知识的有效迁移。
凸显知识的形成过程，让学生感悟数学思想的方法，关键是应让学生经历和体验一些数学知识的获取过程，让学生“读——理解”、“疑——提问”、“做——解决问题”、“说——表达交流”，并在其中获得对数学思想方法的感悟。
无论是数学概念的概括与形成，还是公式、法则、定理的发现与推导，教师都应通过创设问题情境，激发学生探索问题的需要，通过观察、实验、分析、综合、归纳、概括等过程，获得对问题的认识、理解和解决的同时，也获得对数学思想方法的认识和感悟，教学的设计要以学生的数学思想形成为目标。
比如“四边形的分类”的教学，可以先给学生不同形状的四边形卡片，让学生分小组探讨如何对四边形进行分类？
给出明确的分类标准，讨论同一类的判定、性质，不同四边形的关系。
学生在思考和解决这样问题的过程中，不断对“如何进行分类”这个问题进行深入思考，并且在与其他同学进行探讨的过程中不断修正和调整自己的想法，并且逐步找到合理的分类标准。
经历这样的过程，学生对“分类”思想的认识要比教师直接讲结论印象深刻的多。
这就是“悟”过程，理解数学思想就是在悟过程中，逐渐领悟的。
二、积累数学活动经验——“做”
1.积累数学活动经验-----数学教学的重要目标
课程标准特别强调“数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志。
帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标，是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果。
”积累数学活动经验的目的之一是建立数学的感悟、数学的直观。
数学活动的形式多种多样，观察、试验、猜测、验证、推理与交流、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、反思与建构等都是数学活动。
在数学教学中，进行数学活动的目的是让学生通过经历探究、思考、抽象、预测、推理、反思等过程，逐步达到对数学知识的意会、感悟，并能积累解决和分析问题的基本经验，将这些经验迁移运用到后续的数学学习中去。
这些经验是教师没有办法“教”给学生的，必须由学生通过经历大量的数学活动逐步获得，在“做”中获得的。
在数学学习中，要使学生真正理解数学知识，感悟数学的理性精神，形成创新能力，就需要让学生积累丰富而有效的数学活动经验。
充足的数学活动经验是学生学好数学、提高数学素养的重要基础，数学的基本知识和基本技能只有通过一定的“数学活动经验”才能内化成为学生的数学素养。
“数学活动经验”是在“做”中积累起来的，在义务教育阶段，学生的年龄和认知特点决定了学生的数学学习很多时候需要借助一定的外部活动来帮助理解。
学生从数学课堂上的“剪一剪”、“拼一拼”、“做一做”、“猜一猜”等数学活动中可获得丰富的数学活动经验，这种经验只是教学的起点，它还需要学生在自主探究、教师指导、同学交流等过程中去粗取精、反思、抽象、概括，从而内化为学生自身的活动经验。
2.设计有效地数学活动
分析学生已有的数学活动经验与新知识之间的结合点，这是设计有效地数学活动的前提。
在学习过程中，学生并不是让老师装内容的空容器，学生已有的数学知识、数学及学习的活动经验会对数学活动产生影响。
什么才是“有效的数学活动？
”很容易造成的错觉就是，“活动”就要动手实践、就要合作、就要小组讨论，其实数学学科的特点决定了数学活动本身有着与其他学科不同的特点。
数学活动首先是“数学”的，所从事的活动要有明确的数学目标，到底要不要动手实践、要不要小组合作、要不要同学交流都是形式上的保证，如何能够通过这项活动深化学生对数学的理解，对数学与其他学科联系的理解，对数学在实际中应用的理解，这是最重要的。
数学建模，数学探究都是很好的数学活动，有时，一道数学问题的分析和解决过程也是一个“有效的数学活动”。
教学中，要根据学段的不同、教学内容的不同，设计适合学生实际的“有效地数学活动”。
例如，在实际情境中——加油站，进行量的分析，寻找有用的函数关系；犹如，探索三角形的三边关系”，也可以设计出一个数学活动。
让学生通过自己的实践、猜测、验证，发现问题、研究问题和解决问题。
在这个过程中，学生获得的不仅仅是认识函数、认识“三角形任意两条边的和大于第三边”的结论，而是通过这样的过程，积累如何去发现、如何去研究的经验。
3.“综合与实践活动”是积累数学活动经验的重要载体
“综合与实践活动”是学生积累数学活动经验的重要载体。
“综合与实践活动“要求学生能够利用所学的数学知识完整的解决一个数学问题。
这种活动可以是一项统计调查、也可以设计一种春游方案，也可以是论证与探究数学的结论，这样的活动往往需要学生分小组合作进行，学生需要思考和讨论的问题也较为复杂。
在学习“统计”这一章内容时，可以让学生利用所学的统计知识和统计方法分小组开展一项统计调查活动。
要完成一次统计调查活动，学生需要制定调查方案，包括如何确定调查问题、如何编制调查问卷、如何进行数据收集、如何进行数据分析，如何得到统计结论并对统计结论进行解释等问题。
讨论和解决这些问题的过程，就是小组成员之间不断的分享经验的过程，也是学生积累基本活动经验的过程。
只有亲自参与统计调查活动，才能体会到统计结论会受到问卷设计、数据收集、分析方法等各种因素的影响，统计活动是一个逐渐改进和完善，不断接近真理的过程，通过参加这些统计活动，才能更好的帮助学生形成的统计观念。
教学目标：
1.进一步加深对乘除法意义的理解，熟练利用乘法口诀计算。
2.进一步加强解决实际问题的能力，提高根据题意提问题并解决问题的能力。
3.利用奥运会的知识，让学生体会到祖国的伟大。
教学重点：
1．进一步巩固乘除法计算，提高学生提问题和解决问题的能力。
2．提高学生解决实际问题的能力。
教学难点：
培养学生的发散思维。
教学准备：
课件
教学过程：
一．谈话引入
师；孩子们，今年的8月8日，我们国家胜利的召开了世界的奥运会，对吧。
今天，我们也打算在动物学校召开一场“趣味运动会”（课件出示），咱们一起去看看吧。
2、出示主题图
师：
瞧！
操场上可真热闹啊。
请你仔细观察一下，说说你从画面中知道哪些信息？
3．师：
这是一场趣味运动会，比赛项目真多呀！
要进行这些比赛我们要准备什么呢？
看！
智慧老人来帮忙了，他给我们提供了一些体育用品。
二.购买体育用品
1、课件出示体育用品单价
2、师：
淘气和笑笑统计出了他们班同学喜欢的体育用品。
学完统计后，他们统计出了本班同学喜欢参加这些体育项目的人数。
（课件出示统计结果图）
活动
毽子
皮球
沙包
跳绳
参加人数
8人
4人
6人
10人
3、师：
观察统计表，你得出了哪些数学信息？
你能用学过的知识提问题吗？
4、师：
孩子们提的问题真不错，智慧老人夸我们是个会学习的好孩子。
看！
他给我们带来了一些挑战。
（1）挑战一：
体育用品的单价图，二
（2）班准备用40元购买两种体育用品，可以买些什么呢？
（2）挑战二：
孩子们的表现还不错，我们进入第二个挑战：
老师花了72元购买体育用品，她可能买哪些体育用品？
师：
想想老师的72元正好用完了吗？
那她可能买了那些用品，数量是多少呢？
单独说，再同桌交流买法。
三.解决实际问题
1．师：
在大家的精心筹备下，体育用品都买来了，可淘气遇到难题了，咱们一起看看他们在发愁什么呢？
24名同学报名参加50米赛跑，应该怎样分组呢？
师：
你觉得可以怎样分组呢？
想好怎么分组了吗？
那就把你的分法写在你的本子上吧。
（生写分法，教师巡视）
谁愿意把他的想法给大家展示一下。
（生展示、汇报）
2．师：
同学们提出的方案可真多呀！
你觉得该选择哪种方案比较合适呢？
为什么？
四.动手设计
1．师：
经历了这么多的考验，下面咱们轻松一下。
老师请你欣赏一下在奥运会开幕式的那天，我们国家的人民精彩的表演。
（课件出示一些队列表演）
2．师；看了这些精彩的表演，你想当小小设计师吗？
我们现在有36名同学要参加体操表演，（课件出示）
我们大家来为他们设计一个表演队形，你想怎样设计？
说说你的想法？
3、师：
我们的小老师，笑笑姐姐给了我们一个建议：
“你能用一个“○”代表一名同学”，在书上设计出出你的队形吗？
准备好了吗？
开始行动吧！
4、师：
设计时，想一想怎样用算式表示出你们摆的总人数正好是36人。
5、师：
孩子们的设计方案真多，你能和周围的同学交流一下你是怎么设计的吗？
（同桌交流）
五.总结
师：
孩子们，老师和你们度过了愉快的一节课，你能讲讲你有什么收获吗？
趣味运动会教学设计
教学目标
1．通过“趣味运动会”这幅图，引导学生提出有关乘除法的问题。
2．根据统计表提出问题，培养学生提问题的意识。
3．能根据图意解决问题，鼓励学生从统计的角度去思考问题，发展学生的统计观念。
教学过程
一、创设情境，激发兴趣
师：
同学们，冬天到了，你们有没有在冬天开过运动会?
生：
没有。
师：
过几天我们班就要举行一个冬季趣味运动会，你们高兴吗?
生：
高兴。
师：
冬季运动会和秋季运动会有很多不一样的地方，为了使我们班的运动会开得更好，同学们玩得更
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