四年级奥数讲义奇数偶数与奇偶分析.docx
《四年级奥数讲义奇数偶数与奇偶分析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《四年级奥数讲义奇数偶数与奇偶分析.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
四年级奥数讲义奇数偶数与奇偶分析
四年级奥数讲义：
奇数、偶数与奇偶分析
整数按能否被2整除分为两大类：
奇数和偶数，奇数与偶数有下列基本性质：
1．奇数≠偶数
2．两个整数相加（减）或相乘，结果的奇偶性如下表所示
3．若干个奇数之积是奇数，偶数与任意整数之积是偶数；偶数个奇数的和为偶数，若干个偶数的和为偶数．
4．设m、n是整数，则m土n，
的奇偶性相同．
5．设m是整数，则m与
，mn的奇偶性相同．
奇偶性是整数的固有属性，通过分析整数的奇偶性来解决问题的方法叫奇偶分析法．
例题
【例1】三个质数之和为86，那么这三个质数是．
思路点拨运用奇数、偶数、质数、合数性质，从分析三个加数的奇偶性人手．
注：
18世纪的哥尼斯堡，有7座桥把这儿的普雷格尔河中两个小岛与河岸联系起来，在这迷人的地方，人们议论着一个有趣的问题．一个游人怎样才能不重复地一次走遍7座桥，而最后又回到出发点．
1736年彼得堡院士欧拉巧妙地解决了这个问题．欧拉把一个复杂的实际问题化为一个简单的几何图形，他指出只要我们能从一点出发，不重复地一笔把这样的图形画出来，那么就可说明游人能够不重复地一次走遍这7座桥，这就是著名的“一笔画”问题的来历．
利用奇偶分析不难得到一般的结论：
凡是能一笔画成的图形，它上面除了起点和终点外的每一个点总是一笔进来，一笔出去．因此，除了起点和终点外的每一个点都有偶数条线和它相连．
简单地说，当且仅当图形中的奇结点（每点出发有奇数字线）的个数不大于2时，这个图形才能一笔画．
【例2】如果a、b、c是三个任意的整数，那么
（）．
A．都不是整数B．至少有两个整数C．至少有一个整数D．都是整数
思路点拨举例验证或从a、b、c的奇偶性说明．
【例3】
（1）设1，2，3，…，9的任一排列为al，a2，a3…，a9．求证：
（all一1）（a2—2）…（a9—9）是一个偶数．
（2）在数11，22，33，44，54，…20022002，20032003，这些数的前面任意放置“+”或“一”号，并顺次完成所指出的运算，求出代数和，证明：
这个代数和必定不等于2003．
思路点拨
（1）转换角度考察问题，化积的奇偶性为和的奇偶性来研究；
（2）由于任意添“十”号或“一”号，形式多样，因此不可能一一尝试再作解答，从奇数、偶数的性质人手．
【例4】已知
都是+1或一1，并且
，求证：
n是4的倍数．
思路点拨可以分两步，先证n是偶数2k，再证明k是偶数，解题的关键是从已知等式左边各项的特点受到启发，挖掘隐含的一个等式．
【例5】游戏机的“方块”中共有下面?
种图形．每种“方块”都由4个l×l的小方格组成．现用这7种图形拼成一个7×4的长方形（可以重复使用某些图形）．
问：
最多可以用这7种图形中的几种图形?
思路点拨为了形象化地说明问题，对7×4的长方形的28个小方格黑白相间染色，除“品字型”必占3个黑格1个白格或3个白格1个黑格，其余6个方格各占2个黑格2个白格．
注：
对同一个数学对象，从两个方向考虑（n项和与积），再将这两个方面合在一起整体考虑，得出结论，这叫计算两次原理，通过计算两次可以建立方程，证明恒等式等．
在一定的规则下，进行某种操作或变换，问是否（或证明）能够达到一个预期的目的，这就是所谓操作变换问题，此类问题变化多样，解法灵活，解题的关键是在操作变换中，挖掘不变量，不变性．
一些非常规数字问题需要恰当地数学化，以便计算或推理．引入字母与赋值法是数学化的两种常用方式方法．
所谓赋值法就是在解题时，将问题中的某些元素用适当的数表示，然后利用这些数值的大小，正负性、奇偶性等进行推理论证的一种解题方法．
【例6】桌上放着七只杯子；杯口全朝上，每次翻转四个杯子：
问能否经过若干次这样的翻动，使全部的杯子口都朝下?
思路点拨这不可能．我们将口向上的杯于记为：
“0”，口向下的杯子记为“1”．开始时，由于七个杯子全朝上，所以这七个数的和为0，是个偶数．一个杯子每翻动一次，所记数由0变为1，或由l变为0，改变了奇偶性．每一次翻动四个杯子，因此，七个之和的奇偶性仍与原来相同．所以，不论翻动多少次，七个数之和仍为偶数．而七个杯子全部朝下，和为7，是奇数，因此，不可能．
整数可以分为奇数和偶数两类．
【例7】在1，2，3，…，2005前面任意添上一个正号或负号，它们的代数和是奇数还是偶数?
思路点拨两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同，只要知道1+2+3+…+2005的奇偶性即可．
因两个整数的和与差的奇偶性相同，所以，在1，2，3，…，2005中每个数前面添上正号或负号，其代数和应与1+2+3+…+2005的奇偶性相同，而1+2+3+…+2005=
（1+2005）×2005=1003×2005为奇数；因此，所求代数和为奇数．
注：
抓住“a+b与a—b奇偶性相同”，通过特例1十2十3十…十2005得到答案．
【例8】“元旦联欢会上，同学们互赠贺卡表示新年的：
良好祝愿．“无论人数是什么数，用来交换的贺卡的张数总是偶数．”这句话正确吗?
试证明你的结论．
思路点拨用分类讨论的思想方法，从“无论人数是什么数”入手，考虑人数为奇数或偶数的两种情况．
这句话是正确的．下面证明之．
若联欢会上的人数为偶数，设为2m（m为整数），则每个人赠送给同学们的贺卡张数为奇数，即（2m—1）．那么，贺卡总张数为2m（2m—1）=4m2-2m，显然是偶数．
若联欢会上的人数为奇数，设为2m+1（m为整数，则每个人赠送给同学们的贺卡张数应是2m，为偶数．贺卡总张数为（2m+1）·2m，仍为偶数．
故“用来交换的贺卡张数总是偶数”是对的．
注：
按奇数和偶数分类考虑问题是常见的解决此类问题的策略之一．
【例9】桌面上放有1993枚硬币，第1次翻动1993枚，第2次翻动其中的1992枚，第3次翻动其中的1991枚，…，第1993次翻动其中一枚，试问：
能否使桌面上所有的1993枚硬币原先朝下的一面都朝上?
并说明理由．
思路点拨若要把一枚硬币原先朝下的一面朝上，应该翻动该硬币奇数次．因此，要把1993枚硬币原先朝下的一面都朝上，应该翻动这1993枚硬币的总次数为奇数．现在1993次翻动的总次数为1+2+3+…+1993=1993×（1+1993）/2=1993×997是个奇数，故猜想可以使桌面上1993枚硬币原先朝下的一面都朝上．
理由如下：
按规定，1993次翻动的总次数为1+2+3+…+1993=1993×（1+1993）/2=1993×997，所以翻动的次数为奇数，而且可见每个硬币平均翻动了997次．而事实上，只要翻动一枚硬币奇数次，就能使这枚硬币原先朝下的一面朝上．按如下的方法进行翻动：
第1次翻动全部1993枚，
第2次翻动其中的1992枚，第1993次翻动第2次未翻动的那1枚，
第3次翻动其中的1991枚，第1992次翻动第3次未翻动的2枚，
第997次翻动其中的997枚，第998次翻动第997次未翻动的996枚．
这样，正好每枚硬币被翻动了997次，就能使每一枚硬币原来朝下的一面都朝上．
注：
灵活、巧妙地利用奇俩性分析推理，可以解决许多复杂而有趣的问题，并有意想不到的效果．
【例10】在6张纸片的正面分别写上整数：
1、2、3、4、5、6，打乱次序后，将纸片翻过来，在它们的反面也随意分别写上1-6这6个整数，然后，计算每张纸片的正面与反面所写数字之差的绝对值，得出6个数．请你证明：
所得的6个数中至少有两个是相同的．
思路点拨从反面人手，即设这6个数两两都不相等，利用
与
（
=1，2，3，4，5，6）的奇偶性相同，引入字母进行推理证明．
设6张卡片正面写的数是
，反面写的数对应为
，则这6张卡片正面写的数与反面写的数的绝对值分别为
，
，
，
，
，
．设这6个数两两都不相等，则它们只能取0，1，2，3，4，5这6个值．
于是
+
+
+
+
+
=0+1+2+3+4+5=15是个奇数．
另一方面，
与
（
=1，2，3，4，5，6）的奇偶性相同．所以
+
+
+
+
+
与（a1一b1）+（a2一b2）+（a3一b3）+（a4一b4）+（a5一b5）+（a6一b6）=
一
=（1+2+3+4+5+6）一（1+2+3+4+5+6）=O的奇偶性相同，而0是个偶数，15是奇数，两者矛盾．
所以，
，
，
，
，
，
这6个数中至少有两个是相同的．
注：
反证法是解决奇、偶数问题中常用的方法．
【例11】有一只小渡船往返于一条小河的左右两岸之间，问：
（1）若最初小船是在左岸，往返若干次后，它又回到左岸，那么这只小船过河的次数是奇数还是偶数?
如果它最后到了右岸，情况又是怎样呢?
（2）若小船最初在左岸，它过河99次之后，是停在左岸还是右岸?
思路点拨
（1）小船最初在左岸，过一次河就到了右岸，再过一次河就由右岸回到左岸，即每次由左岸出发到右岸后再回到左岸，都过了两次河．因此，小船由左岸开始，往返多次后又回到左岸，则过河的次数必为2的倍数，所以是偶数．同样的道理，不难得出，若小船最后停在右岸，则过河的次数必为奇数．
（2）通过
（1），我们发现，若小船最初在左岸，过偶数次河后，就回到左岸；过奇数次河后，就停在右岸．现在小船过河99次，是奇数次．因此，最后小船该停在右岸．
注关键是对过河次数的理解：
一个单程，即由左岸到右岸（或由右岸到左岸）就过河一次；往返一个来回就过河两次．
【例12】黑板上写了三个整数，任意擦去其中一个，把它改写成另两个数的和减去1，这样继续下去，得到1995、1996、1997，问原来的三个数能否是2、2、2？
思路点拨如果原来的三个整数是2、2、2，即三个偶数，操作一次后，三个数变成二偶一奇，这时如果擦去其中的奇数，操作后三个数仍是二偶一奇．如果擦去的是其中的一个偶数，操作后三个数仍是二偶一奇．因此，无论怎样操作，得到的三个数都是二偶一奇，不可能得到1995、1996、1997．
所以，原来的三个数不可能是2、2、2．
注解决本题的诀窍在于考查数字变化后的奇偶性．
【例13】将正偶数按下表排成五列：
第1列第2列第3列第4列第5列
第1行2468
第2行16141210
第3行18202224
……2826
根据上面的排列规律，则2000应位于（）
A．第125行，第1列B．第125行，第2列
C．第250行，第1列D．第250行，第2列
思路点拨观察表格，第1行最右边的数为8，第2行最左边的数为16，第3行最右边的数为24，于是可猜测：
当行数为奇数时，该行最右边的数为8×行数；当行数为偶数时，该行最左边的数为8×行数．通过验证第4行、第5行、第6行知，上述猜想是正确的，因为2000=8×250，所以2000应在第250行，又因为250为偶数，故2000应在第250行最左边，即第250行第1列，故应选C．
注：
观察、寻找规律是解决这类问题的妙招．
【例14】如图18—1，两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转，旋转停止时，每个轮子上方的箭头各指着轮子上的一个数字．若左轮子上方的箭头指着的数字为a，右轮子上方的箭头指着的数字为b，数对（a，b）所有可能的个数为n，其中a+b恰为偶数的不同数对的个数为m，则
等于（）
A．
B．
C．
D．
思路点拨依题意可知所有的数对n=4×3=12，其中a+b恰为偶数的数对m=3×1+1×2=5．因此，
=
，故选C．
【例15】已知a、b、c中有两个奇数、一个偶数，n是整数，如果S=（a+2n+1）（b+2n十2）（c+2n十3），那么（）
A．S是偶数B．S是奇数
C．S的奇偶性与n的奇偶性相同D．S的奇偶性不能确定
思路点拨弄清a+2n+1，b+2n+2，c+2n+3的奇偶性即可．
依题得：
（a+2n+1）+（b+2n+2）+（c+2n+3）=a+b+c+6（n+1）．
∵a+b+c为偶数，6（n+1）为偶数，
∴a+b+c+6（n+1）为偶数
∴a+2n+1，b+2n+2，c+2n+3中至少有一个为偶数，∴S是偶数．故选A．
注：
三个数的和为偶数，则至少有一个为偶数；三个数中有一个为偶数，则三数之和为偶数．
学力训练
1．若按奇偶性分类，则12+22+32+…+20022002是数．
2．能不能在下式，的各个方框中分别填人“+”号或“一”号，使等式成立?
答：
．
3．已知三个质数a、b、c满足a+b+c+abc＝99，那么
的值等于．
4．已知n为整数，现有两个代数式：
（1）2n+3，
（2）4n一1，其中，能表示“任意奇数”的（）
A．只有
（1）B．只有
（2）C．有
（1）和
（2）D．一个也没有
5．如果a，b，c都是正整数，且a，b是奇数，则3a+（b一1）2c是（）．
A．只当c为奇数时，其值为奇数B．只当c为偶数时，其值为奇数
C．只当c为3的倍数，其值为奇数D．无论c为任何正楚数，其值均为奇数
6．已知a，b，c三个数中有两个奇数、一个偶数，n是整数，如果S=（a+n+1）（b+2n+2）（c+3n+3），那么（）．
A．S是偶数B．S是奇数
C．S的奇偶性与n的奇偶性相同D．S的奇偶性不能确定
7．
（1）是否有满足方程x2－y2=1998的整数解x和y?
如果有，求出方程的解；如果没有，说明理由．
（2）一个立方体的顶点标上+1或一1，面上标上一个数，它等于这个面的4个顶点处的数的乘积，这样所标的14个数的和能否为0?
8．甲、乙两人玩纸牌游戏，甲持有全部的红桃牌（A作1，J，Q，K分别作11，12，13，不同），乙持有全部的黑桃牌，两人轮流出牌，每次出一张，得到一对牌，出完为止，共得到13对牌，每对牌彼此相减，问这13个差的乘积的奇偶性能否确定?
9．在1，2，3，…,1998之前任意添上“十”或“一”号，然后相加，这些和中最小的正整数是．
10．1，2，3，…，98共98个自然数，能够表示成两整数平方差的数的个数是．
11．在一次象棋比赛中，每两个选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分，平局每个选手各记1分，今有4个人统计百这次比赛中全部得分总数，由于有的人粗心，其数据各不相同，分别为1979，1980，1984，1985，经核实，其中有一人统计无误，则这次比赛共有名选手参加．
12．已知p、q、pq+1都是质数，且p一q>40，那么满足上述条件的最小质数p＝；
q＝．
13．设a，b为整数，给出下列4个结论
（1）若a+5b是偶数，则a一3b是偶数；
（2）若a十5b是偶数，则a一3b是奇数；（3）若a+5b是奇数，则a一3b是偶数；（4）若a+5b是奇数，则a一3b是奇数，其中结论正确的个数是（）．
A．0个B．2个C．4个D．1个或3个
14．下面的图形，共有（）个可以一笔画（不重复也不遗漏；下笔后笔不能离开纸）．
A．0B．1C．2D．3
15．π的前24位数值为3.14159265358979323846264…，在这24个数字中，随意地逐个抽取1个数字，并依次记作a1，a2，…a24，则（a1一a2）（a3一a4）…（a23一a24）为（）．
A．奇数B．偶数C．奇数或偶数D．质数
16.没标有A、B、C、D、C、F、G记号的7盏灯顺次排成一行，每盏灯安装一个开关，现在A、C、E、G4盏灯开着，其余3盏灯是关的，小刚从灯A开始，顺次拉动开关，即从A到G，再从A始顺次拉动开关，即又从A到G…，他这样拉动了1999次开关后，问哪几盏是开的?
17．有1997枚硬币，其中1000枚国徽朝上，997枚国徽朝下．现要求每一次翻转其中任意6枚，使它们的国徽朝向相反，问能否经过有限次翻转之后，使所有硬币的国徽都朝上?
给出你的结论，并给予证明．
18．对一个正整数作如下操作：
如果是偶数则除以2，如果是奇数则加1，如此进行直到1时操作停止，求经过9次操作变为l的数有多少个？
19．高为50cm，底面周长为50cm的圆柱，在此圆柱的侧面上划分（如图所示）边长为lcm的正方形，用四个边长为lcm的小正方形构成“T”字形，用此图形是否能拼成圆柱侧面?
试说明理由．
参考答案
升级会员 