四年级奥数讲义奇数偶数与奇偶分析.docx

1、四年级奥数讲义奇数偶数与奇偶分析四年级奥数讲义：奇数、偶数与奇偶分析整数按能否被2整除分为两大类：奇数和偶数，奇数与偶数有下列基本性质：1奇数偶数2两个整数相加(减)或相乘，结果的奇偶性如下表所示 3若干个奇数之积是奇数，偶数与任意整数之积是偶数；偶数个奇数的和为偶数，若干个偶数的和为偶数4设m、n是整数，则m土n，的奇偶性相同 5设m是整数，则m与，mn的奇偶性相同奇偶性是整数的固有属性，通过分析整数的奇偶性来解决问题的方法叫奇偶分析法例题 【例1】 三个质数之和为86，那么这三个质数是 思路点拨 运用奇数、偶数、质数、合数性质，从分析三个加数的奇偶性人手 注： 18世纪的哥尼斯堡，有7座桥

2、把这儿的普雷格尔河中两个小岛与河岸联系起来，在这迷人的地方，人们议论着一个有趣的问题一个游人怎样才能不重复地一次走遍7座桥，而最后又回到出发点 1736年彼得堡院士欧拉巧妙地解决了这个问题欧拉把一个复杂的实际问题化为一个简单的几何图形，他指出只要我们能从一点出发，不重复地一笔把这样的图形画出来，那么就可说明游人能够不重复地一次走遍这7座桥，这就是著名的“一笔画”问题的来历利用奇偶分析不难得到一般的结论：凡是能一笔画成的图形，它上面除了起点和终点外的每一个点总是一笔进来，一笔出去因此，除了起点和终点外的每一个点都有偶数条线和它相连 简单地说，当且仅当图形中的奇结点(每点出发有奇数字线)的个数不大

3、于2时，这个图形才能一笔画【例2】 如果a、b、c是三个任意的整数，那么（ ） A都不是整数 B至少有两个整数 C至少有一个整数 D都是整数 思路点拨 举例验证或从a、b、c的奇偶性说明 【例3】 (1)设1，2，3，9的任一排列为al，a2，a3，a9求证：(all一1)( a2 2)(a99)是一个偶数 (2)在数11，22，33，44，54，20022002，20032003，这些数的前面任意放置“+”或“一”号，并顺次完成所指出的运算，求出代数和，证明：这个代数和必定不等于2003思路点拨 (1)转换角度考察问题，化积的奇偶性为和的奇偶性来研究；(2)由于任意添“十”号或“一”号，形式

4、多样，因此不可能一一尝试再作解答，从奇数、偶数的性质人手【例4】已知都是+1或一1，并且，求证：n是4的倍数 思路点拨 可以分两步，先证n是偶数2k，再证明k是偶数，解题的关键是从已知等式左边各项的特点受到启发，挖掘隐含的一个等式 【例5】 游戏机的“方块”中共有下面?种图形每种“方块”都由4个ll的小方格组成现用这7种图形拼成一个7 4的长方形(可以重复使用某些图形) 问：最多可以用这7种图形中的几种图形? 思路点拨 为了形象化地说明问题，对74的长方形的28个小方格黑白相间染色，除“品字型”必占3个黑格1个白格或3个白格1个黑格，其余6个方格各占2个黑格2个白格 注：对同一个数学对象，从两

5、个方向考虑(n项和与积)，再将这两个方面合在一起整体考虑，得出结论，这叫计算两次原理，通过计算两次可以建立方程，证明恒等式等 在一定的规则下，进行某种操作或变换，问是否(或证明)能够达到一个预期的目的，这就是所谓操作变换问题，此类问题变化多样，解法灵活，解题的关键是在操作变换中，挖掘不变量，不变性一些非常规数字问题需要恰当地数学化，以便计算或推理引入字母与赋值法是数学化的两种常用方式方法所谓赋值法就是在解题时，将问题中的某些元素用适当的数表示，然后利用这些数值的大小，正负性、奇偶性等进行推理论证的一种解题方法 【例6】桌上放着七只杯子；杯口全朝上，每次翻转四个杯子：问能否经过若干次这样的翻动，

6、使全部的杯子口都朝下? 思路点拨 这不可能我们将口向上的杯于记为：“0”，口向下的杯子记为“1”开始时，由于七个杯子全朝上，所以这七个数的和为0，是个偶数一个杯子每翻动一次，所记数由0变为1，或由l变为0，改变了奇偶性每一次翻动四个杯子，因此，七个之和的奇偶性仍与原来相同所以，不论翻动多少次，七个数之和仍为偶数而七个杯子全部朝下，和为7，是奇数，因此，不可能 整数可以分为奇数和偶数两类 【例7】在1，2，3，2005前面任意添上一个正号或负号，它们的代数和是奇数还是偶数? 思路点拨 两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同，只要知道1+2+3+2005的奇偶性即可 因两个整数的和与差的奇偶性相

7、同，所以，在1，2，3，2005中每个数前面添上正号或负号，其代数和应与1+2+3+2005的奇偶性相同，而1+2+3+2005=(1+ 2005)2005=1003 2005为奇数；因此，所求代数和为奇数 注：抓住“a+b与ab奇偶性相同”，通过特例1十2十3十十2005得到答案 【例8】“ 元旦联欢会上，同学们互赠贺卡表示新年的：良好祝愿“无论人数是什么数，用来交换的贺卡的张数总是偶数”这句话正确吗?试证明你的结论 思路点拨 用分类讨论的思想方法，从“无论人数是什么数”入手，考虑人数为奇数或偶数的两种情况 这句话是正确的下面证明之 若联欢会上的人数为偶数，设为2m (m为整数)，则每个人赠

8、送给同学们的贺卡张数为奇数，即(2m1)那么，贺卡总张数为2m(2m1)=4m2-2m，显然是偶数 若联欢会上的人数为奇数，设为2m+1(m为整数，则每个人赠送给同学们的贺卡张数应是2m，为偶数贺卡总张数为(2m+1)2m，仍为偶数 故“用来交换的贺卡张数总是偶数”是对的 注：按奇数和偶数分类考虑问题是常见的解决此类问题的策略之一 【例9】桌面上放有1993枚硬币，第1次翻动1993枚，第2次翻动其中的1992枚，第3次翻动其中的1991枚，第1993次翻动其中一枚，试问：能否使桌面上所有的1993枚硬币原先朝下的一面都朝上?并说明理由 思路点拨 若要把一枚硬币原先朝下的一面朝上，应该翻动该硬

9、币奇数次因此，要把1993枚硬币原先朝下的一面都朝上，应该翻动这1993枚硬币的总次数为奇数现在1993次翻动的总次数为1+2+3+1993=1993(1+1993)/2=1993997是个奇数，故猜想可以使桌面上1993枚硬币原先朝下的一面都朝上 理由如下：按规定，1993次翻动的总次数为1+2+3+1993=1993(1+1993)/2=1993997，所以翻动的次数为奇数，而且可见每个硬币平均翻动了997次而事实上，只要翻动一枚硬币奇数次，就能使这枚硬币原先朝下的一面朝上按如下的方法进行翻动： 第1次翻动全部1993枚， 第2次翻动其中的1992枚，第1993次翻动第2次未翻动的那1枚，

10、 第3次翻动其中的1991枚，第1992次翻动第3次未翻动的2枚， 第997次翻动其中的997枚，第998次翻动第997次未翻动的996枚 这样，正好每枚硬币被翻动了997次，就能使每一枚硬币原来朝下的一面都朝上 注：灵活、巧妙地利用奇俩性分析推理，可以解决许多复杂而有趣的问题，并有意想不到的效果 【例10】在6张纸片的正面分别写上整数：1、2、3、4、5、6，打乱次序后，将纸片翻过来，在它们的反面也随意分别写上1-6这6个整数，然后，计算每张纸片的正面与反面所写数字之差的绝对值，得出6个数请你证明：所得的6个数中至少有两个是相同的 思路点拨 从反面人手，即设这6个数两两都不相等，利用与 (=

11、1，2，3，4，5，6)的奇偶性相同，引入字母进行推理证明 设6张卡片正面写的数是，反面写的数对应为，则这6张卡片正面写的数与反面写的数的绝对值分别为，设这6个数两两都不相等，则它们只能取0，1，2，3，4，5这6个值 于是+=0+1+2+3+4+5=15是个 奇数另一方面，与 (=1，2，3，4，5，6)的奇偶性相同所以+与(a1一b1)+(a2一b2)+(a3一b3)+(a4一b4)+(a5一b5)+(a6一b6)= 一 =(1+2+3+4+5+6)一(1+2+3+4+5+6)=O的奇偶性相同，而0是个偶数，15是奇数，两者矛盾 所以，这6个数中至少有两个是相同的 注：反证法是解决奇、偶数

12、问题中常用的方法 【例11】有一只小渡船往返于一条小河的左右两岸之间，问： (1)若最初小船是在左岸，往返若干次后，它又回到左岸，那么这只小船过河的次数是奇数还是偶数? 如果它最后到了右岸，情况又是怎样呢? (2)若小船最初在左岸，它过河99次之后，是停在左岸还是右岸? 思路点拨 (1)小船最初在左岸，过一次河就到了右岸，再过一次河就由右岸回到左岸，即每次由左岸出发到右岸后再回到左岸，都过了两次河因此，小船由左岸开始，往返多次后又回到左岸，则过河的次数必为2的倍数，所以是偶数同样的道理，不难得出，若小船最后停在右岸，则过河的次数必为奇数 (2)通过(1)，我们发现，若小船最初在左岸，过偶数次河

13、后，就回到左岸；过奇数次河后，就停在右岸现在小船过河99次，是奇数次因此，最后小船该停在右岸 注 关键是对过河次数的理解：一个单程，即由左岸到右岸(或由右岸到左岸)就过河一次；往返一个来回就过河两次 【例12】黑板上写了三个整数，任意擦去其中一个，把它改写成另两个数的和减去1，这样继续下去，得到1995、1996、1997，问原来的三个数能否是2、2、2？ 思路点拨 如果原来的三个整数是2、2、2，即三个偶数，操作一次后，三个数变成二偶一奇，这时如果擦去其中的奇数，操作后三个数仍是二偶一奇如果擦去的是其中的一个偶数，操作后三个数仍是二偶一奇因此，无论怎样操作，得到的三个数都是二偶一奇，不可能得

14、到1995、1996、1997 所以，原来的三个数不可能是2、2、2注 解决本题的诀窍在于考查数字变化后的奇偶性【例13】将正偶数按下表排成五列： 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10 第3行 18 20 22 24 28 26 根据上面的排列规律，则2000应位于( )A第125行，第1列 B第125行，第2列 C第250行，第1列 D第250行，第2列 思路点拨 观察表格，第1行最右边的数为8，第2行最左边的数为16，第3行最右边的数为24，于是可猜测：当行数为奇数时，该行最右边的数为8行数；当行数为偶数时，该行最左边的数为8行数通

15、过验证第4行、第5行、第6行知，上述猜想是正确的，因为2000=8250，所以2000应在第250行，又因为250为偶数，故2000应在第250行最左边，即第250行第1列，故应选C 注：观察、寻找规律是解决这类问题的妙招 【例14】如图181，两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转，旋转停止时，每个轮子上方的箭头各指着轮子上的一个数字若左轮子上方的箭头指着的数字为a，右轮子上方的箭头指着的数字为b，数对(a，b)所有可能的个数为n，其中a+b恰为偶数的不同数对的个数为m，则等于( ) A B C D 思路点拨 依题意可知所有的数对n=43=12，其中a+b恰为偶数的数对m=31+12=5

16、因此，=，故选C 【例15】已知a、b、c中有两个奇数、一个偶数，n是整数，如果S=(a+2n+1)(b+2n十2)(c+2n十3)，那么( )AS是偶数 BS是奇数 CS的奇偶性与n的奇偶性相同 D S的奇偶性不能确定 思路点拨 弄清a+2n+1，b+2n+2，c+2n+3的奇偶性即可依题得：(a+2n+1)+(b+2n+2)+(c+2n+3)=a+b+c+6(n+1) a+b+c为偶数，6(n+1)为偶数， a+b+c+6(n+1)为偶数 a+2n+1，b+2n+2，c+2n+3中至少有一个为偶数，S是偶数故选A 注：三个数的和为偶数，则至少有一个为偶数；三个数中有一个为偶数，则三数之和为

17、偶数 学力训练1若按奇偶性分类，则12+22+32+20022002是 数2能不能在下式， 的各个方 框中分别填人“+”号或“一”号，使等式成立?答： 3已知三个质数a、b、c满足a+b+c+abc99，那么的值等于 4已知n为整数，现有两个代数式：(1)2n+3，(2)4n一1，其中，能表示“任意奇数”的( ) A只有(1) B只有(2) C有(1)和(2) D一个也没有5如果a，b，c都是正整数，且a，b是奇数，则3a+(b一1)2c是( ) A只当c为奇数时，其值为奇数 B只当c为偶数时，其值为奇数 C只当c为3的倍数，其值为奇数 D无论c为任何正楚数，其值均为奇数6已知a，b，c 三个

18、数中有两个奇数、一个偶数，n是整数，如果S=(a+n+1)(b+ 2n+2)(c+3n+3)，那么( )A S是偶数 BS是奇数 CS的奇偶性与n的奇偶性相同 DS的奇偶性不能确定 7(1)是否有满足方程x2y2=1998的整数解x和y?如果有，求出方程的解；如果没有，说明理由 (2)一个立方体的顶点标上+1或一1，面上标上一个数，它等于这个面的4个顶点处的数的乘积，这样所标的14个数的和能否为0?8甲、乙两人玩纸牌游戏，甲持有全部的红桃牌(A作1，J，Q，K分别作11，12，13，不同)，乙持有全部的黑桃牌，两人轮流出牌，每次出一张，得到一对牌，出完为止，共得到13对牌，每对牌彼此相减，问这

19、13个差的乘积的奇偶性能否确定?9在1，2，3，,1998之前任意添上“十”或“一”号，然后相加，这些和中最小的正整数是 101，2，3，98共98个自然数，能够表示成两整数平方差的数的个数是 11在一次象棋比赛中，每两个选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分，平局每个选手各记1分，今有4个人统计百这次比赛中全部得分总数，由于有的人粗心，其数据各不相同，分别为1979，1980，1984，1985，经核实，其中有一人统计无误，则这次比赛共有 名选手参加12已知p、q、pq+1都是质数，且p一q40，那么满足上述条件的最小质数p ；q 13设a，b为整数，给出下列4个结论 (1)若a+5b

20、是偶数，则a一3b是偶数；(2)若a十5b是偶数，则a一3b是奇数；(3)若a+5b是奇数，则a一3b是偶数；(4)若a+5b是奇数，则a一3b是奇数，其中结论正确的个数是( ) A0个 B2个 C4个 D 1个或3个14下面的图形，共有( )个可以一笔画(不重复也不遗漏；下笔后笔不能离开纸) A0 B1 C 2 D3 15的前24位数值为3.14159265358979323846264，在这24个数字中，随意地逐个抽取1个数字，并依次记作a1，a2，a24，则(a1一a2)( a3一a4)(a23一a24)为( )A奇数 B偶数 C奇数或偶数 D质数16.没标有A、B、C、D、C、F、G记

21、号的7盏灯顺次排成一行，每盏灯安装一个开关，现在A、C、E、G 4盏灯开着，其余3盏灯是关的，小刚从灯A开始，顺次拉动开关，即从A到G，再从A始顺次拉动开关，即又从A到G，他这样拉动了1999次开关后，问哪几盏是开的?17有1997枚硬币，其中1000枚国徽朝上，997枚国徽朝下现要求每一次翻转其中任意6枚，使它们的国徽朝向相反，问能否经过有限次翻转之后，使所有硬币的国徽都朝上?给出你的结论，并给予证明 18对一个正整数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加1，如此进行直到1时操作停止，求经过9次操作变为l的数有多少个？ 19高为50cm，底面周长为50cm的圆柱，在此圆柱的侧面上划分(如图所示)边长为lcm的正方形，用四个边长为lcm的小正方形构成“T”字形，用此图形是否能拼成圆柱侧面?试说明理由参考答案