C.a
[答案] A
[解析] a=sin62°,b=cos26°=sin64°,c==sin60°,∴b>a>c.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)
13.若tanα=3,则sinαcosα的值等于________.
[答案]
[解析] sinαcosα====.
14.已知:
|a|=2,|b|=,a与b的夹角为,要λb-a与a垂直,则λ为________.
[答案] 2
[解析] 由题意a·(λb-a)=0,即λa·b-|a|2=0,∴λ·2××-4=0,即λ=2.
15.函数y=sin(-2x)+sin2x的最小正周期是________.
[答案] π
[解析] y=sincos2x-cossin2x+sin2x=cos2x+sin2x=cos(2x-),故T==π.
16.已知三个向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),且A、B、C三点共线,则k=________.
[答案] -2或11
[解析] 由A、B、C三点共线,可得=λ,即(4-k,-7)=λ(6,k-5),于是有方程组解得,或
三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本题满分10分)已知tanα=,求
的值.
[解析] 原式=
=
===
又∵tanα=,∴原式==-3.
18.(本题满分12分)已知函数f(x)=2sin(π-x)cosx.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间[-,]上的最大值和最小值.
[解析]
(1)f(x)=2sin(π-x)cosx=2sinxcosx=sin2x
∴函数f(x)的最小正周期T==π.
(2)由-≤x≤,知-≤2x≤π
∴-≤sin2x≤1
∴f(x)在区间[-,]上的最大值为1,最小值为-.
19.(本题满分12分)已知向量a=3e1-2e2,b=4e1+e2,其中e1=(1,0),e2=(0,1),求:
(1)a·b;|a+b|;
(2)a与b的夹角的余弦值.
[解析]
(1)a=3(1,0)-2(0,1)=(3,-2),
b=4(1,0)+(0,1)=(4,1),
a·b=3×4+(-2)×1=10.
∵|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=|a|2+20+|b|2
=13+20+17=50,
∴|a+b|=5.
(2)cos===.
20.(本题满分12分)(2011~2012浙江调研)设向量α=(sin2x,sinx+cosx),β=(1,sinx-cosx),其中x∈R,函数f(x)=α·β.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若f(θ)=,其中0<θ<,求cos(θ+)的值.
[解析]
(1)由题意得f(x)=sin2x+(sinx+cosx)·(sinx-cosx)=sin2x-cos2x=2sin(2x-),
故f(x)的最小正周期T==π.(5分)
(2)由
(1)知,f(θ)=2sin(2θ-),若f(θ)=,
则sin(2θ-)=.
又因为0<θ<,所以-<2θ-<,则2θ-=或2θ-=,故θ=或θ=.(9分)
当θ=时,cos(θ+)=cos(+)=coscos-sinsin=.(12分)
当θ=时,cos(θ+)=cos(+)=cos(π-)=-cos=-cos(+)=-.(15分)
21.(本题满分12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<)的最大值为2,最小值为-,周期为π,且图象过(0,-).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的单调递增区间.
[解析]
(1)∵f(x)=Asin(ωx+φ)+B的最大值为2,最小值为-.
∴A=,B=.
又∵f(x)=Asin(ωx+φ)+B的周期为π,
∴φ==π,即ω=2.
∴f(x)=sin(2x+φ)+
又∵函数f(x)过(0,-),∴-=sinφ+,即sinφ=-.
又∵|φ|<,
∴φ=-,
∴f(x)=sin(2x-)+.
(2)令t=2x-,则y=sint+,其增区间为:
[2kπ-,2kπ+],k∈Z.
即2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z.
解得kπ-≤x≤kπ+.(k∈Z)
所以f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+],k∈Z.
22.(本题满分12分)(2012·全国高考山东卷)已知向量m=(sinx,1),n=(Acosx,cos2x)(A>0),函数f(x)=m·n的最大值为6.
(Ⅰ)求A;
(Ⅱ)将函数y=f(x)的图象像左平移个单位,再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在上的值域。
[解析] (Ⅰ)f(x)=m·n=Acosxsinx+cos2x=Asin2x+cos2x=Asin,则A=6;
(Ⅱ)函数y=f(x)的图象像左平移个单位得到函数y=6sin的图象,再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数g(x)=6sin(4x+).
当x∈时,4x+∈,sin(4x+)∈,g(x)∈[-3,6]
故函数g(x)在上的值域为[-3,6].