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材料力学习题答案
第二章轴向拉伸与压缩
2-2
图示中部对称开槽直杆，试求横截面1-1和2-2上的正应力。
2-1试求图示直杆横截面1-1、2-2、3-3上的轴力，并画出轴力
12
12
解:
1.轴力
由截面法可求得，杆各横截面上的轴力为
FnF14kN
2.应力
（b）
Fn
14
103
11
MPa175MPa
A11
20
4
Fn
14
103
22
MPa350MPa
A22
20
104
10kN
\FN3
1Fn2
■
1
10
■+
Fn1=
-18kN
Fn（kN）
O
Fn2=
Fn3=
-15kN
10kN
L
18
15〔
o
10mm。
试求起重杆
AB和钢丝绳
2-3图示桅杆起重机，起重杆AB的横截面是外径为20mm、内径为18mm的圆环，钢丝绳BC的横截面面积为
BC横截面上的应力。
2-4图示由铜和钢两种材料组成的等直杆，铜和钢的弹性模量分
别为E1100GPa和E2210GPa。
若杆的总伸长为Al0.126mm,
试求载荷F和杆横截面上的应力。
解：
1.轴力
取节点
Fx0:
B为研究对象，受力如图所示,
FnbcFnabcos30Fcos45
Fy0:
由此解得：
2.应力
起重杆横截面上的应力为
Fnabsin30Fsin45
Fnab2.83kN,FNBC
Fnab
ab
Aab
202
4
钢丝绳横截面上的应力为
fnbc1.0410
2$31匚MPa
182
BC
abc
10
1.04kN
47.4MPa
MPa104MPa
解：
1•横截面上的应力由题意有
l11I2
2铜
1钢
Fl1Fl2
E1AE2A
l
0.126—.cm一
E1
I2
E2
600
ivira1ivira
400
3
21010
3
10010
2.载荷
F
A
15.9
2
-40N
4
20kN
l1l2
E1E2
由此得到杆横截面上的应力为
40
20
F=40kN
/
h—B
L400L
\[c
800i
r吓―
40
Fn（kN）
2-5图示阶梯形钢杆，材料的弹性模量E200GPa，试求杆横
截面上的最大正应力和杆的总伸长。
解：
1.最大正应力
由于杆各横截面上的轴力相同，故杆横截面上的最大正应力发生
在BC段的任一横截面上，即
40103
MPa127.3MPa
—202
FN
max
ABC
2.杆的总伸长
llab
lBC
FlAB
EAab
FlBC
EAbc
模量E200GPa。
在秤某一沿圆筒轴向作用的重物时，测得筒壁产生的轴向线应变49.8106。
试求此重物的重量G。
1
事
80
■■
^77
I9
FlAB
匚dAB
4
FlBC
EdBc
4
440103400
32
200103402
4FIab
匚dAb
lBC
dBc
解：
圆筒横截面上的轴力为
FnG
由胡克定律
G
eea
可以得到此重物的重量为
GEA
6322
49.81020010808092N
4
20kN
800
2mm
202
0.57mm
2-6图示电子秤的传感器为一空心圆筒形结构，圆筒材料的弹性
第三章材料的力学性质
拉压杆的强度计算
3-2图示油缸盖与缸体采用6个螺栓连接。
已知油缸内径
解：
由于内压的作用，油缸盖与缸体将有分开的趋势，依靠六个螺栓将它们固定在一起。
解：
立柱横截面上的正应力为
..3
丁600102Mpa59.7MPa[]A8024
所以立柱满足强度条件。
油缸盖受到的压力为
D2
p-
4
6个螺栓均匀分布，每个螺栓承受的轴向力为
D2
4
由于
F1
p-
66
由螺栓的强度条件
Fn
Fn
A
1D2
p-
64
竺
4
pD2市F]
D350mm，油压p1MPa。
若螺栓材料的许用应力[]40MPa，试求螺栓的内径。
可得螺栓的直径应为
350mm22.6mm
640
3-3图示铰接结构由杆AB和AC组成，杆AC的长度为杆AB长度的两倍，横截面面积均为A200mm2。
两杆的材料相同，许用
应力[]
3-4承受轴力Fn160kN作用的等截面直杆，若任一截面上的切应力不超过80MPa，试求此杆的最小横截面面积。
解:
由切应力强度条件
Fn
2A
w[]
max
2
可以得到
Fn
160
10322
A》
mm1000mm
2[]
2
80
由Fx
0:
Fnacsin30
Fnabsin45
可以得到:
FNAC
■-2FNABFNAB
即AC杆比AB杆危险，故
fnac
[]A160
200N
32kN
Fnab
1
—'FNAC
162kN
解:
0
由Fy0:
Fnabcos45Fnaccos30F0
可求得结构的许用载荷为[F]43.7kN
3-5试求图示等直杆AB各段内的轴力。
2F
FB
解：
为一次超静定问题。
设支座反力分别为由截面法求得各段轴力分别为
fnacfa，
静力平衡方程为
Fy0:
变形协调方程为
FNCD
fa2F,fndb
Fa
2F
Fb
lAC
lCD
lDB0
物理方程为
lAC
FNACa
EA
lCD
Fncd2a
EA
由①②③④联立解得：
Fa-F,Fb-F
44
故各段的轴力分别为：
FnAc-F,Fncd
4
—,Fndb_F°
44
¥
Fnac
Fa和Fb
Fb
lDB
2
2F
fndb
FNCD
Fndba
EA
3-6图示结构的横梁AB可视为刚体，杆
各杆的材料相同，许用应力为[]。
试求许用载荷[F]°
积均为A,
l
tA
21
1、2和3的横截面面
a
Fnce
If
Fnbf
解：
为一次超静定问题。
由对称性可知，FNADFNBF,lAD静力平衡条件：
①
Fy0:
Fnad
Fnce
FNBF
F0
②
②
变形协调条件：
lAD
lCE
③
即
Fnad1
FNCE
2l
EA
EA
即
FNAD
2FNCE
③
④
由①②③解得：
FNAD
Fnbf
2Fnce
Zf
①
5
lBF°
BF
2F5
丁F]，可得该结构的
由AD、BF杆强度条件ad
许用载荷为
5
[F][]A
2
CD杆受压，压力为F,由压杆的强度条件
cFw[c]3[t]
A
可得Fw3[t]A
由①②可得结构的许用载荷为[F]..2[t]A。
3-7图示铰接正方形结构，各杆的材料均为铸铁，其许用压应力
与许用拉应力的比值为
[c][t]3，各杆的横截面面积均为
A。
试
3-8图示横担结构，小车可在梁AC上移动。
已知小车上作用的
求该结构的许用载荷[F]。
载荷F15kN，斜杆AB为圆截面钢杆，钢的许用应力[]170MPa。
若载荷F通过小车对梁AC的作用可简化为一集中力，试确定斜杆AB
Fn
（a）
（b）
解：
B点受力如图⑻所示，由平衡条件可得：
FnF一2
由对称性可知，AD、BD、AC、BC四杆受拉，拉力均为F.2，
由拉杆的强度条件
F2…
tw[t]
A
可得Fw.2[t]A
①
D点受力如图（b）所示，由平衡条件可得：
Fn应FnF
解:
由几何关系，有sin
取AC杆为研究对象
Mc0:
0.8m
0.8
.0.821.92
Fnabsin1.9Fx0
由此可知：
当x1.9m时,
F
FNABFnabmax
sin
0.388
kN38.66kN
0.388
ABmax
FNABmax
~2~
d4
由剪切强度条件
F_
d24
可得
4FNABmax
[]
4派66103mm17mm
170
w[]，可得
截面n-n
TF
n
D
0
3-9图示联接销钉。
已知F100kN，销钉的直径d30mm,材料的许用切应力[]60MPa。
试校核销钉的剪切强度，若强度不够，应改用多大直径的销钉。
3-10图示凸缘联轴节传递的力偶矩为Me200Nm，凸缘之
间用四个对称分布在D080mm圆周上的螺栓联接，螺栓的内径
d10mm,螺栓材料的许用切应力[]60MPa。
试校核螺栓的剪切
强度。
解：
1.校核销钉的剪切强度
F22F
d24d2
2100103
2
302
MPa
70.7MPa[]
••销钉的剪切强度不够。
2.设计销钉的直径
解：
设每个螺栓承受的剪力为Fq，则由
DoFq04Me
2
可得
Fq
Me
2D0
螺栓的切应力
Me
Fq
2D。
2Me
2
200
103MPa15.9MPa[]
80
A
d2
d2D0
102
4
螺栓满足剪切强度条件。
可得
F
3
50103
>-
mm200mm
b[]
2501
bl
3-11图示矩形截面木拉杆的接头。
已知轴向拉力面的宽度b250mm,木材顺纹的许用挤压应力[
纹的许用切应力[]1MPa。
试求接头处所需的尺寸
F50kN
bs]10MPa
l和a。
，截
，顺
3-12
图示螺栓接头。
已知F
130MPa，许用挤压应力[bs]
40kN,螺栓的许用切应力
F
bsw
[bs]
ab
可得
F
50
103
a>
mm20mm
b[bs]
250
10
解:
1.由挤压强度条件
2.由剪切强度条件
do
解:
300MPa。
试求螺栓所需的直径
1.由螺栓的剪切强度条件
可得
240103V130
mm
14mm
2.由螺栓的挤压强度条件
f
[bs
]
bs
w
d
20
d>
f
40
103
mm
20[
bsl
20
300
可得
6.7mm
综合1、2，螺栓所需的直径为d>14mm。
即:
即:
由①②解得:
各杆中的应力:
钢杆伸长:
Fnbe22Fncd1
E2A2
Fnbe
Fncd
Ed
E2A2
E1A1
Fncd
100
BE
CD
lBEBE
200250
100500
100kN
疋MPa
400MPa
250
他空MPa
200MPa
500
lBE
BE
E2
1BE
上企210
20010
3mm4mm
BE杆的长度为2m，横截面面积为
200GPa。
试求CD杆和BE杆中的应
3-13图示结构的AB杆为刚性杆，A处为铰接，AB杆由钢杆BE与铜杆CD吊起。
已知CD杆的长度为1m，横截面面积为500mm2，铜的弹性模量E1100GPa；
250mm2，钢的弹性模量E?
L1m
丄0.5m」-0.5m」
△lCD.
F
―*1
TF=200kN
I
*[△Ibe
Fncd
Fnbe
B
C
A
力以及BE杆的伸长。
3-14由两种材料粘结成的阶梯形杆如图所示，上端固定，下端
与地面留有空隙0.08mm。
铜杆的A40cm2,E1100GPa,
116.5106C1；钢杆的A220cm2,E2200GPa,
212.5106C1，在两段交界处作用有力F。
试求：
（1）F为多大时空隙消失；
（2）当F500kN时，各段内的应力；
（3）当F500kN且温度再上升20C时，各段内的应力。
Fncd12001.50
2lCD
解：
为一次超静定冋题。
静力平衡条件：
Ma0:
Fnbe
变形协调方程：
Ibe
解:
1•由
Fli
1铜
F
777777
1m
2m
可得
EiAi
3
EiA0.08i00i0340
liii03
F500kN时，空隙已消失，
2•当
故为一次超静定问题。
（i）静力平衡方程
Fy0:
FiF2F0
FiF2
3
500103
即:
变形协调方程：
Fili
EiA
FiiiO3
F212
E2A2
loo
Fi
即：
由①②解得:
103
2F2
40102
32
^N32kN
并在下端产生支反力，
2i03ccc
200i0320i02.
F2
Fi344kN,R2i56kN
如图所示,
344i03
2
40i02
MPa
156103
2MPa
20102
86MPa
78MPa
Fili
E1A1
F2I2
E2A2
1tli2
tI2
即
Fi1103
F2
2103
100
10340
10220010
94
2010
16.510
6201103
12.5106202103
即：
Fi
2F2
300103
由①③解得:
Fi
233.3kN,
R2266.7kN
3•当F500kN且温度再上升20C时，仍为一次超静定问题，此时
静力平衡方程仍为①式，而变形协调方程为
1
233.3103
2
40102
MPa
58.3MPa
0.08
266.7103
20102
MPa
133.4MPa
C
解：
（a）将梁从n-n横截面处截开，横截面的形心为O,取右半部分为研
究对象，设n-n横截面上的剪力弯距方向如图所示。
Fy0:
Fq
860，
Fq
14kN
Mo0:
M
8163
0，
M
26kNm
（b）对整个梁
Mb0:
FAy
4461
0，
FAy
6kN
将梁从n-n横截面处截开，横截面的形心为O,取左半部分为研
究对象，设n-n横截面上的剪力弯距方向如图所示。
Fy0:
642Fq0Fq2kN
Mo0:
62421M0M4kNm
弯矩。
设1-1横截面和2-2横截面无限接近于载荷作用位置。
第五章梁的基础问题
5-1试用截面法求图示梁中nn横截面上的剪力和弯矩。
5-2试用截面法求图示梁中1-1横截面和2-2横截面上的剪力和
（a）
（a）
（b）
Me=12kN•m
x
xT
A
FAy
3m——4
F=10kN
3m
解:
FQ（kN）
（a）以整个梁为研究对象，求得支反力：
FAyFBy专
由截面法，分别以1-1横截面的左半部分和2-2横截面的右半部分为
研究对象，
FFl
求得：
Fqi，M1
24
FFl
FQ2—，M2—
（b）以整个梁为研究对象，求得支反力：
FAy
解：
1.求支反力
MC0:
Me
l
FBy
Me
由截面法，分别以1-1横截面的左半部分和2-2横截面的右半部分为研究对象，
求得：
Fq1
Me
M1
M,
l，
2
Fq2
Me
M2
Me
l
2
5-3试写出图示梁的内力方程，并画出剪力图和弯矩图。
Fy0:
2.列内力方程
Fq（x）
M（x）
3.作内力图
（b）
7
612
FBy
10
10
7x
3（6
kN
kN
12
x）
kN
kN
FAy7kN
FBy3kN
匚x
q1
x»
ql1
mi
1m
B
（b）2
勺J
q
1II.1I
八A[b
LLc
a丄
lq
Fq
q
1
Mb0:
FAy
12
l-ql
2
1
ql—0,
2
FAy
0
Fy0:
FAy
FByq
lql0,
FBy
2ql
2.列内力方程
解：
1.求支反力
Fq（x）
qx0xl
qllx312
M（x）
qx[.20xl
ql（3l.2x）lx31..2
3.作内力图
5-4试画出图示梁的剪力图和弯矩图。
2qa
（C）
q
B
XLoLLL
卜C
XT
¥
|FAy=3ql/8
FBy=ql/8|
L—1/2——4
-l/2J
3ql/8
g
J
解:
31/8・
ql/8
A
Fq
F=20kN
q
q=30kN/m
AILL
CIDEJLUb
卜4-
FCy=40kN
|FEy=40kN
（d）
-1m“1m—1m—1m』
30
M
2
9ql/128
2
ql2/16
5-5试用
画出内力图，
（a）
Fq、M与q之间的微分关系判断图示梁的内力图形态,并求出Fq和M|
max
max°
q
Fq
qa
2
解：
Fq图：
AC段:
q为常数，且向上凸的抛物线。
Fq图从左到右为向下的斜直线,
M图为
M图：
CB段:
q为常数，且q
向下凹的抛物线。
在C截面处，Fq图连续,
Fq图从左到右为向上的斜直线,
M图光滑。
M图为
（b）
qa
By
在C截面处，Fq图连续，M图光滑。
（c）
P=qa
解：
1.求支反力
MB0:
FAy3aq2a
Fy0:
FAyFByq2a
2a
a
2
2qa
qa
2
2aqa0,
FAy
FBy
5qa
3
qa
3
解：
1.求支反力
MB0:
FAy
Fy0:
FAy
3aq2a2aqa2a0,FAy2qa
FByq2aqa0,
FByqa
2•判断内力图形态并作内力图
Fq图:
AC段：
q为常数，且q0,Fq图从左到右为向下的斜直线，M图为
5
向上凸的抛物线，在距A端5a截面处，M取极大值。
3
2•判断内力图形态并作内力图
M图：
CB段：
q0,Fq图为水平直线，且Fq0，M图从左到右为向下的斜直线。
Fq图:
AC段：
q为常数，且q0,Fq图从左到右为向下的斜直线，M图为
向上凸的抛物线。
C截面处，有集中力F作用，Fq图突变，M图不光滑。
M图：
CD段：
q为常数，且q0,Fq图从左到右为向下的斜直线，M图
为向上凸的抛物线。
DB段：
q0,Fq图为水平直线，且的斜直线。
（d）
Fq0；M图从左到右为向下
DB段，q0,为向上凸的抛物线;
在距B端2.45m截面处，Fq0，M取极大值。
5-6图示起吊一根单位长度重量为q（kN/m）的等截面钢筋混
凝土梁，要想在起吊中使梁内产生的最大正弯矩与最大负弯矩的绝对值相等，应将起吊点A、B放在何处（即a?
）？
解:
解：
1.求支反力
MB0:
FAy
Fy0:
FAy
12
68—640，FAy9.3kN
FBy640，FBy14.7kN
2•判断内力图形态并作内力图
Fq图：
AD段，q0，为水平直线；
DB段，q0,从左到右为向下的斜直线。
M图：
AC段，q0，且Fq0，从左到右为向上的斜直线；
C截面处，有集中力偶Me作用，有突变；
CD段，q0，且Fq0，从左到右为向上的斜直线，且与AC
段平行；
作梁的计算简图如图
作梁的弯矩图，图（
由MmaxM
qa2
2
f0
4
由此求得上述方程的非负解为
^21
al0.2071
2
示,
max
4a
max
a2
la
G--1
q
ql/2
ql/2
2
qllaql
即：
当移动载荷F位于梁的中点时梁的最大弯矩Mmax达到最大。
5-7图示简支梁受移动载荷F的作用。
试求梁的弯矩最大时载荷
F的位置。
解：
设载荷F移动到距A支座为x位置，梁的弯距图如图（b）所示梁的最大弯矩发生在载荷F所在截面，其值为
5-8长度|250mm、横截面宽度b25mm、高度h0.8mm的
薄钢尺，由于两端外力偶矩的作用而弯成中心角为60的圆弧。
已知
钢的弹性模量E210GPa，试求钢尺横截面上的最大正应力。
解：
根据题意
EI
可以得到
M_E旦
Izi
故钢尺横截面上的最大正应力为
MymaxE
max'~'
Izl
1、求支反力
Mb
0:
FAylF（l
lx
x）0，FAylF
2、做M图，
并求
Mm
升级会员 