直线与平面垂直的判定的教学实践与反思.docx

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直线与平面垂直的判定的教学实践与反思

“直线与平面垂直的判定”的教学实践与反思

“中学数学核心概念、思想方法结构体系及其教学设计研究”课题组在黄岩中学召开了第四次研讨会。

会前指定了五位教师根据“中学数学核心概念、思想方法教学设计框架结构（试行稿）”，以“直线与平面垂直的判定”和“算法的概念”为题，进行精心的教学设计，有的设计还经过集体讨论。

研讨会上，先由五位教师上课（实施教学设计），然后课题组以教学设计实施过程为载体，分析和评价教学过程，并反馈到教学设计环节，提出改进教学设计的方案。

“直线与平面垂直的判定”由三位老师执教。

我们采取比较的方式，在分阶段回顾三堂课的基础上，对教学设计和实施进行反思。

在不改变原意的前提下，我们对教师的语言作了适当精简。

1．课题的引入

三位教师采用了各不相同的引入方式。

1.1教师甲的引入

师：

同学们，空间一条直线与平面有哪几种位置关系？

学生1：

边演示边叙述，得到直线与平面的三种位置关系。

师：

直线在平面内、直线与平面平行已研究过，直线与平面相交的位置关系成为今天要研究的问题。

在日常生活中，你见过哪些可以抽象成直线与平面相交的位置关系（的形象）？

请举例说明。

学生：

日光灯的吊线与天花板相交；房子的柱子与天花板相交；插在碗里的筷子与（平的）碗底相交。

师：

同学们想像力非常丰富。

在生活中确实有许多可以抽象成直线与平面相交的例子。

再比如，教室中的墙角线（两个墙面的交线）与地面。

（展示图片）小区中的某些建筑、撑船师傅的竹竿与水平面都给我们以直线与平面相交的形象。

古诗词中描写某些自然景观，如“大漠孤烟直”，“一行白鹭上青天”的诗句，这些都给我们以直线与平面相交的形象。

（展示操场上的旗杆图片）旗杆与地面所在的平面也相交。

在直线与平面相交的模型中（位置关系中），你认为哪种相交最特殊？

生：

直线与平面垂直。

师：

今天我们就来研究这种关系（板书出示课题）。

1.2教师乙的引入

师：

（用PPT呈现龙卷风图片）同学们刚进教室就看到这样一幅美丽的图画，我不禁想到唐代诗人王维的诗句“大漠孤烟直”。

在广袤无垠的沙漠上一股炊烟冲天而起给沙漠带来无限生机。

欣赏这一美妙画面之后是否想到立体几何中什么与什么的关系。

生：

（齐声）线与面垂直。

师：

线与面垂直，很好。

说明同学们既有丰富的想像力又有很好的理性思维。

请想一想在日常生活中，有没有这种线与面垂直的其他例子。

生：

看电视时，视线与画面；电线竿直立与地面垂直。

师：

这样的例子很多，比如大桥桥柱与水面。

正是因为生活中有许多线与面垂直关系，所以，在几何里面有必要对线面垂直做进一步研究。

这堂课就来学习直线与平面垂直（板书出示课题）。

1.3教师丙的引入

师：

前面我们研究了直线与平面平行的判定与性质，今天我们要研究直线与平面的其他位置关系。

展示天安门广场上的国旗及旗杆。

这里先请大家看一幅图片，天安门广场的红旗迎风飘扬。

再看另一张图片，一桥飞架南北，天堑变通途。

请大家回答下面问题。

问题1：

请同学们观察图片，说出旗杆与地面、大桥桥柱与水面是什么位置关系？

生众：

垂直。

师：

从数学的角度看，就是什么与什么的垂直。

生众：

线与面。

师：

你还能举出一些类似的例子吗？

想一想（教师同时出示课题）。

生1：

音箱的边缘与地面；生2：

立竿见影，竿与地面垂直。

图1

教师又展示跨栏与跳高架的图片，说明跨栏的支架与地面、跳高架立竿与地面是垂直关系。

请大家将旗杆与地面这种位置关系画出相应的几何图形。

学生画图。

教师在黑板上画出图1。

师：

为什么画成这样呢？

这样直观性强，将直线画得与表示平面的平行四边形的一边垂直。

师：

接着前面内容的学习，下面我们要学习直线与平面垂直的定义、判定与性质。

1.4不同引入方式的比较与思考

应当说，三位教师的引入各有特色。

教师甲在直线与平面位置关系的系统中，以“在这些相交关系中，你认为哪种相交最特殊？

”引出课题，并伴以学生的动手操作、举例、想象和语言叙述。

这一设计的特点是：

注意知识的系统与联系；强调学生生活经验的作用。

这样容易唤起在“直线与平面平行”的学习中形成的经验，从而明确“研究什么”和“怎样研究”，使学习的自觉性得到提高。

教师乙利用一张生活图片提出“是否想到在立体几何中的什么与什么的关系”，由于“诱导”过分明显，学生就不假思索地齐声回答“线面垂直”。

虽然有后面的师生分别举例，但课题引入任务由这一句话已经完成。

虽然这一引入有单刀直入、开门见山的特点，但学生对看图片的意图、当前学习内容与已有知识与方法的联系与借鉴等很难觉察到。

另外，“线面垂直”的说法不好，至少出得太早。

另外，甲、乙两位老师用的“大漠孤烟直”的情景不能很好地反映当前学习内容的本质，不是一个好情景。

教师丙的引导语：

“前面我们研究了直线与平面平行的判定与性质，今天我们要研究直线与平面的其他位置关系”以及图片，目的都是直指“要研究直线与平面垂直”。

这样引入也稍嫌太快，学生对于“要学什么”“为什么要学”和“如何学”等的感知都不充分，要学的内容与已有经验的衔接不够自然。

良好的开端是成功的一半，课题引入是课堂教学的重要一环。

教学设计中，应当重点考虑：

如何利用新旧知识的联系与发展，以及学生相关的生活经验，创设问题情境，以自然、亲切地引出学习内容；如何在课题引入中融入“学什么、为什么、怎么学”的成分。

2．定义的形成过程

2.1教师甲的教学过程

师：

怎样给直线与平面垂直下定义呢？

请同学们回忆直线与直线垂直是如何定义的？

生：

直线与直线成90°，称这两条直线互相垂直。

师：

两条直线垂直可以分为两条直线“相交垂直”和“异面垂直”。

而“异面垂直”是转化为“相交垂直”来研究的，实际上是把空间问题转化为平面问题。

按照这样的思路能否将“线面垂直”的问题转化为“线线垂直”的问题呢？

请大家结合对下列问题的思考给出直线与平面垂直的定义。

（结合图片）阳光下，一条旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少度呢？

（图2，生众：

90°）。

图2

师：

旗杆所在的直线与影子所在的直线相互垂直。

那么，随着太阳的移动影子也会发生移动，在这个过程中，旗杆所在的直线与影子所在的直线位置关系是否会发生变化？

（生众：

不会。

）

师：

那么，说明旗杆AB所在的直线与地面上任意一条过B的直线始终垂直。

平面上不过点B的直线是否与旗杆AB也垂直呢？

（生众：

垂直。

）

师：

为什么？

生：

把B1C1平移过去（经过点B），存在一条过B的影子与旗杆AB垂直。

师：

很好。

这说明，地面上与不经过点B的其他直线也是垂直的。

也说明，旗杆所在的直线与地面上任意一条直线都垂直。

那么，你能用语言来概括直线与平面垂直的定义吗？

生：

如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么，我们就说这条直线与平面是互相垂直。

师：

很好。

我们借用“线线垂直”来定义“线面垂直”。

教师用幻灯片显示直线与平面垂直的定义，要求学生用图形语言、符号语言表示直线与平面垂直关系。

2.2教师乙的教学过程

师：

研究直线与平面垂直，我们首先要弄清：

到底怎样才算直线与平面垂直呢？

（开、闭教室的门）问：

“在门打开的过程中，门轴与接近地面的这条边保持什么关系？

”

生众：

垂直。

又通过教具说明旗杆与地面上的影子保持垂直。

门边与下面的（不同位置的）边缘、旗杆与（不同位置的）影子都是相交的。

（借助教具）在平面内，有的直线与旗杆不相交，它和旗杆是否也是垂直关系？

生众：

是的。

师：

为什么？

我们可以将它平移到过旗杆的根部。

这就为我们提供了线面垂直的定义。

板书线面垂直的定义，给出画法以及垂线、垂面、垂足的意义。

2.3教师丙的教学过程

师：

接下去，我们要研究直线与平面垂直的定义、判定和性质。

首先我们看直线与平面垂直的定义。

展示图片，提出思考题：

如何定义一条直线和一个平面垂直？

在我们前面学习的“线面平行”的位置关系中，我们将“线面平行”关系转化为“线线平行”这样的位置关系考查，体现了“平面化”和“降维”的思想。

现在我们要研究直线与平面垂直，也可以将它转化为直线与平面内的直线的位置关系问题。

下面来看问题2（PPT显示）：

（1）如图2，阳光下，观察直立于地面的旗杆AB及它在地面上的影子BC，旗杆所在的直线与影子所在的直线有什么位置关系？

（2）旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线a有什么位置关系？

演示在不同时刻时，旗杆所在直线与影子所在直线的位置关系。

生众：

垂直。

师：

旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线a垂直，能说说理由吗？

生：

将直线a平移到与AB相交。

师：

这就体现将两条异面直线的问题转化为共面直线的问题。

直线a是平面α内的任意一条，由此可以得到什么结论呢？

生：

如果一条直线与平面垂直，那么这条直线与平面内的任意一条直线都垂直。

显示问题3：

通过上述观察分析，你认为应该如何定义直线l与平面α垂直？

生：

如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，那么直线l垂直于平面α。

教师：

板书直线与平面垂直的定义。

并辨析“任意一条”是否可以换成“无数条”。

2.4不同教学过程的比较与思考

本环节涉及如下几个问题：

定义的教学时间、典型实例的使用特别是提出什么问题、概括定义的过程中师生活动的安排、数学思想方法的渗透、定义辨析活动的内容和过程等。

（1）关于定义的得出过程

教师甲注意利用学生已有的知识基础、生活经验，并注意研究方法的引导。

把“异面直线垂直”转化为“相交直线垂直”是可以借鉴的经验，教师通过提示，不仅引导了思考方向，而且也渗透了类比、化归、降维等数学思想方法。

怎样的“线线垂直”可以导致“线面垂直”？

教师构建了“旗杆与变动的影子的关系”的情景，在学生得出“旗杆与变动的影子都垂直”之后，提问“地面上不是影子的直线是否与旗杆也垂直”？

学生由“异面直线垂直”转化为“相交直线垂直”的经验，采用平移的方法（空间问题化归为平面问题的最常用方法），得出“也垂直”的结论。

在充分认知“旗杆和地面上任意一条直线都垂直”之后，再给直线与平面垂直下定义就比较自然了。

这一过程既是学生对定义的充分感知过程，也是体会定义合理性的过程。

在教师甲的教学中，一开始让学生回忆直线与直线垂直的定义是一个不恰当的环节，因为它容易把学生的思路引到“当直线与平面成90°时，直线与平面垂直”。

虽然可以再追问“如何刻画直线与平面成90°”，但这是一个学生“够不着”的问题。

所以，直接让学生回忆直线与直线垂直的研究方法更好，因为它是与本节内容直接相关的知识“生长点”。

教师丙也注意到思想方法的引导。

回顾“线面平行”位置关系研究中曾将“线面平行”关系转化为“线线平行”，体现了“平面化”和“降维”的思想，并指出“要研究直线与平面垂直，也可以转化为直线与平面内的直线垂直的问题。

”然后也利用了“旗杆与影子的关系”这一情景，引导学生感知直线与平面垂直的特征，并让学生自己下定义。

教师乙的过程比较简单。

由教师自己举出直线与平面垂直的实际事例（“门轴问题”与“旗杆问题”），由教师自己指明可以将其他直线平移到过旗杆底部的位置。

因为采用了“告诉”的方法进行定义教学，因此很快（约3分钟）完成直线与平面垂直的定义。

显然，这样的教学大大压缩了定义的形成过程，定义过程中体现的数学思想方法没有得到挖掘，学生的生活经验、已有知识的作用都没有得到充分发挥，概念的概括过程不充分，知识之间的联系性也建立的不牢固。

特别是，学生的思维停留在模仿、机械记忆的层次上，自主性得不到发挥。

实际上，教师在提出“到底怎样才算直线与平面垂直呢？

”以后，应该让学生谈谈自己对“直线与平面垂直”的直观感受，通过例子说明直线与平面垂直的内涵，让他们参与到概念的概括过程中来。

与其它两位老师比较，教师乙在引导学生感知直线与平面垂直关系特征时所用的时间较少。

这一现象有代表性，即当前的数学课堂中，教师不舍得在概念、定义的发生发展过程上花时间，认为这样“太虚”，不如让学生多做几个题目实在。

因而概念教学常常用“一个定义三项注意”的方式，告诉学生定义的内容，强调