直线与平面垂直的判定的教学实践与反思.docx

1、直线与平面垂直的判定的教学实践与反思“直线与平面垂直的判定”的教学实践与反思“中学数学核心概念、思想方法结构体系及其教学设计研究”课题组在黄岩中学召开了第四次研讨会。会前指定了五位教师根据“中学数学核心概念、思想方法教学设计框架结构（试行稿）”，以“直线与平面垂直的判定”和“算法的概念”为题，进行精心的教学设计，有的设计还经过集体讨论。研讨会上，先由五位教师上课（实施教学设计），然后课题组以教学设计实施过程为载体，分析和评价教学过程，并反馈到教学设计环节，提出改进教学设计的方案。“直线与平面垂直的判定”由三位老师执教。我们采取比较的方式，在分阶段回顾三堂课的基础上，对教学设计和实施进行反思。在

2、不改变原意的前提下，我们对教师的语言作了适当精简。1课题的引入三位教师采用了各不相同的引入方式。1.1教师甲的引入师：同学们，空间一条直线与平面有哪几种位置关系？学生1：边演示边叙述，得到直线与平面的三种位置关系。师：直线在平面内、直线与平面平行已研究过，直线与平面相交的位置关系成为今天要研究的问题。在日常生活中，你见过哪些可以抽象成直线与平面相交的位置关系（的形象）？请举例说明。学生：日光灯的吊线与天花板相交；房子的柱子与天花板相交；插在碗里的筷子与（平的）碗底相交。师：同学们想像力非常丰富。在生活中确实有许多可以抽象成直线与平面相交的例子。再比如，教室中的墙角线（两个墙面的交线）与地面。（

3、展示图片）小区中的某些建筑、撑船师傅的竹竿与水平面都给我们以直线与平面相交的形象。古诗词中描写某些自然景观，如“大漠孤烟直”，“一行白鹭上青天”的诗句，这些都给我们以直线与平面相交的形象。（展示操场上的旗杆图片）旗杆与地面所在的平面也相交。在直线与平面相交的模型中（位置关系中），你认为哪种相交最特殊？生：直线与平面垂直。师：今天我们就来研究这种关系（板书出示课题）。1.2教师乙的引入师：（用PPT呈现龙卷风图片）同学们刚进教室就看到这样一幅美丽的图画，我不禁想到唐代诗人王维的诗句“大漠孤烟直”。在广袤无垠的沙漠上一股炊烟冲天而起给沙漠带来无限生机。欣赏这一美妙画面之后是否想到立体几何中什么与什

4、么的关系。生：（齐声）线与面垂直。师：线与面垂直，很好。说明同学们既有丰富的想像力又有很好的理性思维。请想一想在日常生活中，有没有这种线与面垂直的其他例子。生：看电视时，视线与画面；电线竿直立与地面垂直。师：这样的例子很多，比如大桥桥柱与水面。正是因为生活中有许多线与面垂直关系，所以，在几何里面有必要对线面垂直做进一步研究。这堂课就来学习直线与平面垂直（板书出示课题）。1.3教师丙的引入师：前面我们研究了直线与平面平行的判定与性质，今天我们要研究直线与平面的其他位置关系。展示天安门广场上的国旗及旗杆。这里先请大家看一幅图片，天安门广场的红旗迎风飘扬。再看另一张图片，一桥飞架南北，天堑变通途。请

5、大家回答下面问题。问题1：请同学们观察图片，说出旗杆与地面、大桥桥柱与水面是什么位置关系？生众：垂直。师：从数学的角度看，就是什么与什么的垂直。生众：线与面。师：你还能举出一些类似的例子吗？想一想（教师同时出示课题）。生1：音箱的边缘与地面；生2：立竿见影，竿与地面垂直。图1教师又展示跨栏与跳高架的图片，说明跨栏的支架与地面、跳高架立竿与地面是垂直关系。请大家将旗杆与地面这种位置关系画出相应的几何图形。学生画图。教师在黑板上画出图1。师：为什么画成这样呢？这样直观性强，将直线画得与表示平面的平行四边形的一边垂直。师：接着前面内容的学习，下面我们要学习直线与平面垂直的定义、判定与性质。1.4不同

6、引入方式的比较与思考应当说，三位教师的引入各有特色。教师甲在直线与平面位置关系的系统中，以“在这些相交关系中，你认为哪种相交最特殊？”引出课题，并伴以学生的动手操作、举例、想象和语言叙述。这一设计的特点是：注意知识的系统与联系；强调学生生活经验的作用。这样容易唤起在“直线与平面平行”的学习中形成的经验，从而明确“研究什么”和“怎样研究”，使学习的自觉性得到提高。教师乙利用一张生活图片提出“是否想到在立体几何中的什么与什么的关系”，由于“诱导”过分明显，学生就不假思索地齐声回答“线面垂直”。虽然有后面的师生分别举例，但课题引入任务由这一句话已经完成。虽然这一引入有单刀直入、开门见山的特点，但学生

7、对看图片的意图、当前学习内容与已有知识与方法的联系与借鉴等很难觉察到。另外，“线面垂直”的说法不好，至少出得太早。另外，甲、乙两位老师用的“大漠孤烟直”的情景不能很好地反映当前学习内容的本质，不是一个好情景。教师丙的引导语：“前面我们研究了直线与平面平行的判定与性质，今天我们要研究直线与平面的其他位置关系”以及图片，目的都是直指“要研究直线与平面垂直”。这样引入也稍嫌太快，学生对于“要学什么”“为什么要学”和“如何学”等的感知都不充分，要学的内容与已有经验的衔接不够自然。良好的开端是成功的一半，课题引入是课堂教学的重要一环。教学设计中，应当重点考虑：如何利用新旧知识的联系与发展，以及学生相关的

8、生活经验，创设问题情境，以自然、亲切地引出学习内容；如何在课题引入中融入“学什么、为什么、怎么学”的成分。2定义的形成过程2.1教师甲的教学过程师：怎样给直线与平面垂直下定义呢？请同学们回忆直线与直线垂直是如何定义的？生：直线与直线成90，称这两条直线互相垂直。师：两条直线垂直可以分为两条直线“相交垂直”和“异面垂直”。而“异面垂直”是转化为“相交垂直”来研究的，实际上是把空间问题转化为平面问题。按照这样的思路能否将“线面垂直”的问题转化为“线线垂直”的问题呢？请大家结合对下列问题的思考给出直线与平面垂直的定义。（结合图片）阳光下，一条旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少度呢？（图2

9、，生众：90）。图2师：旗杆所在的直线与影子所在的直线相互垂直。那么，随着太阳的移动影子也会发生移动，在这个过程中，旗杆所在的直线与影子所在的直线位置关系是否会发生变化？（生众：不会。）师：那么，说明旗杆AB所在的直线与地面上任意一条过B的直线始终垂直。平面上不过点B的直线是否与旗杆AB也垂直呢？（生众：垂直。）师：为什么？生：把B1C1平移过去（经过点B），存在一条过B的影子与旗杆AB垂直。师：很好。这说明，地面上与不经过点B的其他直线也是垂直的。也说明，旗杆所在的直线与地面上任意一条直线都垂直。那么，你能用语言来概括直线与平面垂直的定义吗？生：如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么

10、，我们就说这条直线与平面是互相垂直。师：很好。我们借用“线线垂直”来定义“线面垂直”。教师用幻灯片显示直线与平面垂直的定义，要求学生用图形语言、符号语言表示直线与平面垂直关系。2.2教师乙的教学过程师：研究直线与平面垂直，我们首先要弄清：到底怎样才算直线与平面垂直呢？（开、闭教室的门）问：“在门打开的过程中，门轴与接近地面的这条边保持什么关系？”生众：垂直。又通过教具说明旗杆与地面上的影子保持垂直。门边与下面的（不同位置的）边缘、旗杆与（不同位置的）影子都是相交的。（借助教具）在平面内，有的直线与旗杆不相交，它和旗杆是否也是垂直关系？生众：是的。师：为什么？我们可以将它平移到过旗杆的根部。这就

11、为我们提供了线面垂直的定义。板书线面垂直的定义，给出画法以及垂线、垂面、垂足的意义。2.3教师丙的教学过程师：接下去，我们要研究直线与平面垂直的定义、判定和性质。首先我们看直线与平面垂直的定义。展示图片，提出思考题：如何定义一条直线和一个平面垂直？在我们前面学习的“线面平行”的位置关系中，我们将“线面平行”关系转化为“线线平行”这样的位置关系考查，体现了“平面化”和“降维”的思想。现在我们要研究直线与平面垂直，也可以将它转化为直线与平面内的直线的位置关系问题。下面来看问题2（PPT显示）：（1）如图2，阳光下，观察直立于地面的旗杆AB及它在地面上的影子BC，旗杆所在的直线与影子所在的直线有什么

12、位置关系？（2）旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线a有什么位置关系？演示在不同时刻时，旗杆所在直线与影子所在直线的位置关系。生众：垂直。师：旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线a垂直，能说说理由吗？生：将直线a平移到与AB相交。师：这就体现将两条异面直线的问题转化为共面直线的问题。直线a是平面内的任意一条，由此可以得到什么结论呢？生：如果一条直线与平面垂直，那么这条直线与平面内的任意一条直线都垂直。显示问题3：通过上述观察分析，你认为应该如何定义直线l与平面垂直？生：如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，那么直线l垂直于平面。教师：板书直线与平面垂直的定义。并辨析“任意一条

13、”是否可以换成“无数条”。2.4不同教学过程的比较与思考本环节涉及如下几个问题：定义的教学时间、典型实例的使用特别是提出什么问题、概括定义的过程中师生活动的安排、数学思想方法的渗透、定义辨析活动的内容和过程等。（1）关于定义的得出过程教师甲注意利用学生已有的知识基础、生活经验，并注意研究方法的引导。把“异面直线垂直”转化为“相交直线垂直”是可以借鉴的经验，教师通过提示，不仅引导了思考方向，而且也渗透了类比、化归、降维等数学思想方法。怎样的“线线垂直”可以导致“线面垂直”？教师构建了“旗杆与变动的影子的关系”的情景，在学生得出“旗杆与变动的影子都垂直”之后，提问“地面上不是影子的直线是否与旗杆也

14、垂直”？学生由“异面直线垂直”转化为“相交直线垂直”的经验，采用平移的方法（空间问题化归为平面问题的最常用方法），得出“也垂直”的结论。在充分认知“旗杆和地面上任意一条直线都垂直”之后，再给直线与平面垂直下定义就比较自然了。这一过程既是学生对定义的充分感知过程，也是体会定义合理性的过程。在教师甲的教学中，一开始让学生回忆直线与直线垂直的定义是一个不恰当的环节，因为它容易把学生的思路引到“当直线与平面成90时，直线与平面垂直”。虽然可以再追问“如何刻画直线与平面成90”，但这是一个学生“够不着”的问题。所以，直接让学生回忆直线与直线垂直的研究方法更好，因为它是与本节内容直接相关的知识“生长点”。

15、教师丙也注意到思想方法的引导。回顾“线面平行”位置关系研究中曾将“线面平行”关系转化为“线线平行”，体现了“平面化”和“降维”的思想，并指出“要研究直线与平面垂直，也可以转化为直线与平面内的直线垂直的问题。”然后也利用了“旗杆与影子的关系”这一情景，引导学生感知直线与平面垂直的特征，并让学生自己下定义。教师乙的过程比较简单。由教师自己举出直线与平面垂直的实际事例（“门轴问题”与“旗杆问题”），由教师自己指明可以将其他直线平移到过旗杆底部的位置。因为采用了“告诉”的方法进行定义教学，因此很快（约3分钟）完成直线与平面垂直的定义。显然，这样的教学大大压缩了定义的形成过程，定义过程中体现的数学思想方

16、法没有得到挖掘，学生的生活经验、已有知识的作用都没有得到充分发挥，概念的概括过程不充分，知识之间的联系性也建立的不牢固。特别是，学生的思维停留在模仿、机械记忆的层次上，自主性得不到发挥。实际上，教师在提出“到底怎样才算直线与平面垂直呢？”以后，应该让学生谈谈自己对“直线与平面垂直”的直观感受，通过例子说明直线与平面垂直的内涵，让他们参与到概念的概括过程中来。与其它两位老师比较，教师乙在引导学生感知直线与平面垂直关系特征时所用的时间较少。这一现象有代表性，即当前的数学课堂中，教师不舍得在概念、定义的发生发展过程上花时间，认为这样“太虚”，不如让学生多做几个题目实在。因而概念教学常常用“一个定义三项注意”的方式，告诉学生定义的内容，强调