高一数学知识点复习讲义6充分条件与必要条件.docx

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高一数学知识点复习讲义6充分条件与必要条件

高一数学知识点复习讲义

充分条件与必要条件

【学习口标】1•理解充分条件、必要条件的概念2了解充分条件与判定定理，必要条件与

性质定理的关系.3.能通过充分性、必要性解决简单的问题.

知识梳理梳理教材务实底础

知识点充分条件与必要条件

“若p,则4”为真命题

“若P，则Q”为假命题

推出关

系

〃三g

P制

条件关

p是q的充分条件

p不是q的充分条件

系

彳是卩的必要条件

0不是”的必要条件

定理关

判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件

系

性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件

思考若"是。

的充分条件,这样的条件P唯一吗？

答案不唯一.例如恢>1”是“x>0”的充分条件，”可以是“q2”“x>3”或“2v<3”等.

预习小测自我检验

1.若条件卩两个三角形相似，"两个三角形全等，则"是g的条件.

答案必要

2.已知则"xWA”是"xWB”的条件.

答案充分

3./?

：

Lrl=l>'l,q：

x=y,则”是<7的条件.

答案必要

解析\*x=y=>\x\=fy\,即q=>p,

:

・p是q的必要条件•

4."：

。

=0,q：

ab=0,则卩是§的条件.

答案充分

题型探究探究重点素养提升

1%

一、充分条件的判断

例1⑴下列命题中，〃是g的充分条件的是.

1p：

（x—2）（x—3）—0,q：

x—2=0：

2p：

两个三角形面积相等，g：

两个三角形全等；

3p：

m<—2,q：

方程x2—x—加=0无实根.

答案③

解析①V（a-2）（a-3）=0,

二2或x二3,不能推出x-2=0.

:

・P不是q的充分条件•

②・・•两个三角形面积相等,不能推出两个三角形全等,：

・p不是"的充分条件.

③Tm<-2,12+4/n<0,方程x2-x-m=0无实木艮，•：

p是qg勺充分条彳牛.

⑵“a>2且b>2”是“o+b>4,">4”的条件.

答案充分

解析由a>2且b>2»+b>4,ab>4,

・・・是充分条件.

反思感悟充分条件的判断方法

（1）判定"是§的充分条件要先分清什么是/儿什么是q.即转化成p=q问题•

（2）除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断,若〃构成的集合为A,§构

成的集合为B,AUB，则〃是°的充分条件.

跟踪训练1恢>2”是“F>4”的条件.

答案充分

解析a>2=>.v2>4,故x>2是a2>4的充分条件.

二、必要条件的判断

例2在以下各题中，分析〃与g的关系：

（1）/?

：

x>2且y>3,q:

x+y>5；

（2）/7：

一个四边形的四个角都相等，q：

四边形是正方形.

解

（1）由于故〃是。

的充分条件"是p的必要条件.

⑵由于q=p,故g是〃的充分条件，p是§的必要条件•

反思感悟

（1）判断〃是q的什么条件，主要判断若〃成立时，能否推出q成立，反过来,若q成立时,能否推出“成立；若p=q为真，则〃是§的充分条件,若q=p为真，则

P是q的必要条件•

（2）也可利用集合的关系判断,如条件甲，条件乙“xWB”，若A^B.则甲是乙的必要条件•

跟踪训练2分析下列各项中“与g的关系.

（1）p：

a为锐角,q：

a=45°.

（2）/?

：

（x+l）（x-2）=0,?

：

x+l=O.

解

（1）由于贰八故〃是。

的必要条件川是〃的充分条件.

⑵由于q=p,故“是§的必要条件，§是〃的充分条件•

三、充分条件与必要条件的应用

例3已知卩：

实数x满足3a

q：

实数x满足一2WxW3.若”是g的充

分条件，求实数"的取值范圉.

解p3a

q:

-2W/W3,即集合B={aI-2WxW3}.

因为p=q,所以A^B,

“3心-2,

2

所以卜W3,=>巧0<0,

4VO

9

所以“的取值范围是・詐XO.

延伸探究

1•将本例中条件P改为“实数X满足d

解pa

q:

-2WxW3,即集合B={aI-2WxW3}.

因为q^P,所以B^A,

3a>3t

所以"丘0.

、">0

2.将例题中的条件“q:

实数x满足-2WxW3”改为“q:

实数x满足-30WO”其他条件不变,求实数"的取值范围•

解p:

3a

q:

-3WxWO,即集合B={aI-3WxWO}.

因为卩是Q的充分条件,所以p=q,所以A^B,

3心-3,

所以vaWO,n-

、avO

所以a的取值范围是-1WxO.

反思感悟充分条件与必要条件的应用技巧

（1）应用：

可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题.

（2）求解步骤：

先把p,q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式（组）进行求解•

随堂演练基础况固学以致用

\

1.若卩是§的充分条件，则§是卩的（）

A.充分条件

B.必要条件

C.既不是充分条件也不是必要条件

D.既是充分条件乂是必要条件

答案B

解析因为"是。

的充分条件,所以，所以§是p的必要条件.

2.下列命题中，"是g的充分条件的是（）

A./?

：

abHO,q：

aHO

B.p：

a'+b'NO,q：

且b^O

C.p：

a2>1,q：

x>\

D.p：

a>b,q：

&>书

答案A

解析根据充分条件的概念逐一判断.

3.“同位角相等”是“两直线平行”的（）

A.充分条件

B.必要条件

C.既是充分条件，也是必要条件

D.既不充分乂不必要条件

答案C

4.若“Q1”是的充分条件，则G的取值范围是.

答案aWl

解析因为x>l=>x>a,所以dW1.

5.“F=2x”是“x=0”的条件，“x=0”是“工=*‘的条件（用

“充分”“必要”填空）.

答案必要充分

解析由于x=0^=2x,所以“宀"”是恢二0”的必要条件，“x=0”是二

的充分条件•

-课堂小结

1.知识清单：

（1）充分条件、必要条件的概念•

（2）充分性、必要性的判断.

（3）充分条件与判定定理,必要条件与性质定理的关系.

⑷充分条件与必要条件的应用•

2.常见误区：

充分条件、必要条件不唯一;求参数范围能否取到端点值•

课时对点练注重双基强化落实

9基础巩固

1•使x>3成立的一个充分条件是（）

A..v>4B..v>0C.x>2D.x<2答案A

解析只有x>4=>x>3,其他选项均不可推出x>3.

2.使x>l成立的一个必要条件是（）

A.a>0B.a>3C.a>2D.x<2答案A

解析只有x>1=>x>0,其他选项均不可由x>1推出，故选A.

3.下列"是g的必要条件的是（）

A.p：

a=l,q：

\（i\—1

B./?

：

—1

a<\

C.p：

a

dVb+1

D./?

：

a>b9q：

a>b~\~1

答案D

解析要满足"是§的必要条件，即q=>p,只有q:

U>b+\=>q\a-b>1=>/?

:

a>b,故

选D.

4.下列“若",则g”形式的命题中，"是q的充分条件的是（）

A.若——贝0x=yB.若x2—1»则x=1

Ay

C.若则S=&D.若x

答案A

解析B项中,x2=1=>x=1或x二-1；C项中，当x二y<0时，S，心无意义；D项中，

当xx2>y2,所以B,C,D中〃不是q的充分条件.

5.下列命题中，〃是g的充分条件的是（）

A.p：

。

是无理数，q：

I”是无理数

B.p：

四边形为等腰梯形，q：

四边形对角线相等

C./?

：

a>0,q-.

D.p：

a>b,q：

ac2>bc2

答案B

6.下列说法不正确的是•（只填序号）

1「>5”是匚>4”的充分条件；

2“心=0”是“x=0且y=0”的充分条件；

3“一2心<2”是“xv2”的充分条件.

答案②

解析②中由卩二0不能推出x二0且），二0,则②不正确；①③正确.

7.条件"：

5—a<0，条件q：

X>a,若卩是§的充分条件，则a的取值范围是•

答案{alaW5}

解析p:

a>5,若p是®的充分条件,则p=>q,也就是说,p对应集合是q对应集合

的子集，所以泾5・

8.下列式子：

①a

其中能使+£成立的充分条件有.（只填序号）

答案①②④

解析当a

当b

当b

当0

所以能使成立的充分条件有①②④.

9.指出下列各组命题中，〃是q的什么条件：

（1）在ZiABC中，p：

A>B,q：

BC>AC；

（2）pa=3,q：

@+2）（°—3）=0；

（3）/7：

a

#vl・

解在

（1）中，由大角对大边,且A>B知BOAC,反之也正确,所以p既是q的充分条

件，也是。

的必要条件；

在⑵中，若a二3,则（a+2）（6/-3）二0,但（a+2）（a-3）=0不一定a=3,所以〃是g的充分条件但不是必要条件；

，所以〃既

在⑶中，当d二-2,b=-1时f^=2>1；当a=2,b=-1时，彳二-2<不是q的充分条件,也不是必要条件•

10.

（1）是否存在实数加，使Zv+w<0是xv—l或x>3的充分条件？

（2）是否存在实数m,使2a+/h<0是a<-1或x>3的必要条件？

解（1儆使2x+/n<0是x<-1或x>3的充分条件，

则只要卜x<-y|?

c{xLv<-1或x>3},

即只需・y^-l，所以心.

故存在实数加22，使2x+m<0是a<-1或a>3的充分条件.

（2）欲使2x+m<0是X-1或Q3的必要条件，则只要{xlxv-1或x>3}C*这是不可能的•

故不存在实数m,使2t+m<0是xv-1或a>3的必要条件.

Y综合运用

11•对任意实数"，"，C,下列命题中，真命题是（）

A.“aobc”是“Qb”的必要条件

B.iiac=bctf是“a=b”的必要条件

C.“Qbc”是“Qb”的充分条件

D.aac=bc9f是“d=b"的充分条件

答案B

解析n”=>=>==>uac=bcn,:

.uac=bcv是"二

b”的必要条件•

12.已知集合A={x&R\-\

条件是xGA,则实数加的取值范围是（）

A.m^2B・加W2

C.m>2D.—2

答案A

解析因为xEB成立的一个充分条件是xEA,

所以A^B,所以3Wm+1,即心2.

13.若A={x\a3},且人是B的充分条件，则实数d的取

值范围为•

答案{alaW—3,或“M3}

解析因为A是B的充分条件,

所以A^B,

又A二{Ak/3}.

因此“+2W-1或心3,

所以实数“的取值范围是{屁W-3,或心3}.

14.已知条件p：

xv—1或x>3,条件<7：

x<—m+1或Q”+l（〃?

>0）,若条件卩是条件g

的充分不必要条件，则实数加的取值范用是答案{〃”0v”v2}

解析由题意,设集合A={xlx<-1或a>3）,B-{aI<-m+1或x>m+1},因为条件p是条件q的充分不必要条件,即集合A是集合B的真子集,

■加+1$-1#所以

m+1<3

又/n>0,所以实数m的取值范围是Osv2.

N拓广探究

15.设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么（）

A.丙是中的充分条件，但不是屮的必要条件

B.丙是中的必要条件，但不是甲的充分条件

C.丙既是中的充分条件，乂是中的必要条件

D.丙既不是中的充分条件，也不是中的必要条件

答案A

解析因为甲是乙的必要条件,所以乙=甲•

又因为丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,所以丙=乙,但乙并丙,

如图•

综上,有丙=甲,但甲并丙,

即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件•

16.若p：

—2<^<0,0

<1；q：

关于x的方程x2-\-ax~\-b=0有两个小于1的不等正根，则”是°的什么条件？

解若“二-1,b=2•则』=d?

-4/?

<0,关于A-的方程A-+OV+/?

二0无实根,故p*q.

若关于x的方程X1+ax+h=0有两个小于1的不等正根,不妨设这两个根为xi,X2,且

0<\1<%2<1，贝*JXi+X2=-a,A1X2=b.

于是0<-av2,0vbvl,

即-2

<1,故qnp.

所以〃是q的必要条件，但不是充分条件•