人教版文数高考一轮复习 课时分层训练40 直线平面垂直的判定及其性质.docx

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人教版文数高考一轮复习课时分层训练40直线平面垂直的判定及其性质

课时分层训练（四十）　

直线、平面垂直的判定及其性质

（对应学生用书第284页）

A组　基础达标

（建议用时：

30分钟）

一、选择题

1．（2018·广州模拟）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（　　）

A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α

B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α

C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α

D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α

C　[A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊥α，错误；

B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；

C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；

D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误．]

2．在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是（　　）

A　[A选项中，因为CD⊥平面AMB，所以CD⊥AB，B选项中，AB与CD成60°角；C选项中，AB与CD成45°角；D选项中，AB与CD夹角的正切值为

.]

3．如图7510，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是（　　）

图7510

A．BC∥平面PDF

B．DF⊥平面PAE

C．平面PDF⊥平面PAE

D．平面PDE⊥平面ABC

D　[因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，

BC⊄平面PDF，

所以BC∥平面PDF，故选项A正确．

在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，DF∥BC，

所以BC⊥平面PAE，则DF⊥平面PAE，从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B，C均正确．]

4．如图7511，在三棱锥DABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是（　　）【导学号：

79170259】

图7511

A．平面ABC⊥平面ABD

B．平面ABD⊥平面BCD

C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE

D．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE

C　[因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.]

5．（2017·全国卷Ⅲ）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（　　）

A．A1E⊥DC1　　　　B．A1E⊥BD

C．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC

C　[如图，∵A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，∴B，D错；

∵A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1C⊥BC1，

∴A1E⊥BC1，故C正确；

（证明：

由条件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝C，

∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E⊂平面CEA1B1，∴A1E⊥BC1）

∵A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故A错．]

二、填空题

6．如图7512所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.（只要填写一个你认为是正确的条件即可）

图7512

DM⊥PC（或BM⊥PC等）　[由定理可知，BD⊥PC．

∴当DM⊥PC（或BM⊥PC）时，有PC⊥平面MBD.

又PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.]

7．如图7513，在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是________．

图7513

　[取BC的中点E，连接AE，DE，则AE⊥平面BB1C1C．

所以∠ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角．

设三棱柱的所有棱长为a，

在Rt△AED中，

AE＝

a，DE＝

.

所以tan∠ADE＝

＝

，则∠ADE＝

.

故AD与平面BB1C1C所成的角为

.]

8．（2016·全国卷Ⅱ）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：

①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.

②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.

③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.

④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．

其中正确的命题有________．（填写所有正确命题的编号）

【导学号：

79170260】

②③④　[对于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故错误．

对于②，由线面平行的性质定理知存在直线l⊂α，n∥l，又m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正确．

对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点．又m⊂α，所以m，β没有公共点，由线面平行的定义可知m∥β，故正确．

对于④，因为m∥n，所以m与α所成的角和n与α所成的角相等．因为α∥β，所以n与α所成的角和n与β所成的角相等，所以m与α所成的角和n与β所成的角相等，故正确．]

三、解答题

9.（2015·北京高考）在三棱锥VABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝

，O，M分别为AB，VA的中点．

图7514

（1）求证：

VB∥平面MOC；

（2）求证：

平面MOC⊥平面VAB；

（3）求三棱锥VABC的体积．

[解]　

（1）证明：

因为O，M分别为AB，VA的中点，

所以OM∥VB．3分

又因为VB⊂/平面MOC，所以VB∥平面MOC．5分

（2）证明：

因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB．

又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC⊂平面ABC，

所以OC⊥平面VAB．

所以平面MOC⊥平面VAB．8分

（3）在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝

，

所以AB＝2，OC＝1.

所以等边三角形VAB的面积S△VAB＝

.9分

又因为OC⊥平面VAB，

所以三棱锥CVAB的体积等于

OC·S△VAB＝

.

又因为三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等，所以三棱锥VABC的体积为

.12分

10．⊙O的直径AB＝4，点C，D为⊙O上两点，且∠CAB＝45°，F为

的中点．沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图7515②）．

①　　　　　②

图7515

（1）求证：

OF∥平面ACD；

（2）在AD上是否存在点E，使得平面OCE⊥平面ACD？

若存在，试指出点E的位置；若不存在，请说明理由．

[解]　

（1）证明：

由∠CAB＝45°，知∠COB＝90°，1分

又因为F为

的中点，

所以∠FOB＝45°，因此OF∥AC，3分

又AC⊂平面ACD，OF⊄平面ACD，

所以OF∥平面ACD.5分

（2）存在，E为AD中点，

因为OA＝OD，所以OE⊥AD.7分

又OC⊥AB且两半圆所在平面互相垂直．

所以OC⊥平面OAD.9分

又AD⊂平面OAD，所以AD⊥OC，

由于OE，OC是平面OCE内的两条相交直线，

所以AD⊥平面OCE.

又AD⊂平面ACD，

所以平面OCE⊥平面ACD.12分

B组　能力提升

（建议用时：

15分钟）

1．（2017·贵州贵阳二模）如图7516，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O，则下列说法正确的是（　　）

图7516

A．O是△AEF的垂心

B．O是△AEF的内心

C．O是△AEF的外心

D．O是△AEF的重心

A　[由题意可知PA，PE，PF两两垂直，

所以PA⊥平面PEF，从而PA⊥EF，

而PO⊥平面AEF，则PO⊥EF，因为PO∩PA＝P，

所以EF⊥平面PAO，

所以EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，

所以O为△AEF的垂心．]

2．如图7517，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.

图7517

a或2a　[∵B1D⊥平面A1ACC1，∴CF⊥B1D.

为了使CF⊥平面B1DF，只要使CF⊥DF（或CF⊥B1F）．

设AF＝x，则CD2＝DF2＋FC2，

∴x2－3ax＋2a2＝0，∴x＝a或x＝2A．]

3.（2016·四川高考）如图7518，在四棱锥PABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝

AD.

图7518

（1）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；

（2）证明：

平面PAB⊥平面PBD.【导学号：

79170261】

[解]　

（1）取棱AD的中点M（M∈平面PAD），点M即为所求的一个点．

理由如下：

连接CM，

因为AD∥BC，BC＝

AD，

所以BC∥AM，且BC＝AM.2分

所以四边形AMCB是平行四边形，

所以CM∥AB．

又AB⊂平面PAB，CM⊄平面PAB，

所以CM∥平面PAB．

（说明：

取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点）5分

（2）证明：

由已知，PA⊥AB，PA⊥CD，

因为AD∥BC，BC＝

AD，所以直线AB与CD相交，

所以PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.8分

因为AD∥BC，BC＝

AD，M为AD的中点，连接BM，

所以BC∥MD，且BC＝MD，

所以四边形BCDM是平行四边形，

所以BM＝CD＝

AD，所以BD⊥AB．

又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面PAB．

又BD⊂平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD.12分