数奥小学复习纲要.docx

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数奥小学复习纲要

数学奥林匹克小学部分复习纲要

一、速算与巧算

1．近整法

99+107

2．分组法

99+107+203+307+303

3．基准法

346+353+339+327+343

4．定理法：

一般说来，将一个整数拆成两部分（或两个整数），两部分的差值越小时，这两部分的乘积越大。

5．规律法

I．33×34=1122333×334=111222

II．111×111=1232111111×11111=12345432111×1111=12221

III．25×25=62535×35=122545×45=202555×55=3025

IV．111111111=12345679×9

V．两个接近100、1000…的数相乘的速算

两个都略小于100（或1000、10000、…..）的数相乘（积的位数等于两个乘数位数的和）：

例如99×97=9603

两个都略大于100（或1000、10000、…..）的数相乘（积的位数等于两个乘数位数的和-1）：

例如102×105=10710

一个略大于100（或1000、10000、…..）、一个略小于100（或1000、10000、…..）的数相乘（积的位数等于两个乘数位数的和或-1）：

例如97×105=10185

6．公式法:

二、定义新运算

1．深入理解运算律（加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律）

三、等差数列及其运用

1．等差数列的定义

若前后两项的差为定值，我们把这样的数列称之为等差数列。

2．公式：

an=a1+（n-1）×d

sn=na1+n（n-1）d/2

sn=（a1+an）×n/2

1+3+5+7+9+…….+（2n-1）=n2

2+4+6+8+10+……+2n=n（n+1）

1+2+3+4+5+…….+（n-1）+n+（n-1）+……..+5+4+3+2+1=n2

等差中项：

如果在a和b中间插入一个数A，使a、A、b成等差数列，那么A叫做a和b的等差中项。

如果a、b、c三项成等差数列，则2b=（a+c）,这就是等差中项的基本性质。

四、等比数列

4．等比中项性质：

等比中项的值等于距该项等距的积的平方根。

五、方程

1．数阵图

2．填横式

3．列方程解应用题的基本步骤

I．根据题意，设未知数

II．寻求等量关系，建立方程

III．解方程，求出答案（注意：

要注意检验，一是要满足方程，二是要有实际意义。

IV．作答

4．不定方程

I．Ax+by=c

II．X+Y+XY=4（含交差项）

III．若整数系数方程ax+by=c的一组特解是

5．一元一次方程的解法步骤

I．有分母的先去分母，在去分母的同时，若分子是多项式，应添括号，与此同时，每一项都有应乘以最小公分母，特别是常数项。

II．去括号，在去括号的同时，要注意符号。

III．移项。

一般将含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到另一边。

IV．合并同类项。

V．化成最简形式：

ax=b

VI．讨论：

6．绝对值方程的解法

7．一次方程组的解法

五、应用题

1．行程问题

行程问题是研究物体运动的，它涉及的主要是速度、距离、时间三者之间的相依关系。

行程问题有一个物体运动甚至三个物体运动的情况，但主要是两个物体相向运动和同向运动。

两个物体相向和同向运动大致有以下四种情形：

同时相向而行：

相遇时间＝距离÷速度和

同时同地相背而行：

距离＝速度和×时间

同时同向而行：

速度慢的在前，快的在后，追及时间＝距离÷速度差

同时同地同向而行：

速度慢的在后，快的在前，距离＝速度差×时间

这类问题，除了速度、距离、时间外，还涉及如下一些重要因素，解题时千万不可忽视。

运动方向：

相向、相背、同向。

出发地点：

同地、不同地。

运动途径：

直线、圆周。

运动结果：

相遇、相距、交叉而过、追及。

解答这类问题，关键在于考虑相同的单位1与整体之间的关系，相同单位1的数也称“同数”，所以行程问题，又叫同数问题。

2．工程问题

工作总量（一般视为单位1）=工作效率×工作时间

3．浓度问题

溶液=溶质+溶剂

一种物质溶解到另一种物质里，形成均一的、相对稳定的混合物，通常叫做溶液。

我们把前一种物质叫做溶质，后一种物质叫做溶济。

解决浓度问题的关键是根据题意，明白溶质、溶液、与浓度三者之间的关系。

4．利率问题

利息=本金×期数×利率

备注：

在建立方程时，用加减号连接起来的每一项具有相同的物理意义；方程里每一个单项式都要有相同的物理意义。

七、几何问题

1．计数问题

定理一：

对于n×n个顶点，可作出斜向正方形的个数恰好等于（n-1）×（n-1）个顶点时所有正方形的个数。

例如：

顶点个数

2×2

3×3

4×4

5×5

正向正方形个数

1

5

14

30

斜向正方形个数

0

1

6

20

正方形总数

1

6

20

50

2．图形的剪拼

定理一：

剪拼前后，面积不变。

定理二：

将一个大正方形分割成n个大小、形状相同的图形，则分割线必过中心点，而且将其中一个绕中心点旋转360/n的倍数后，必与其它图形重合。

3．格点与面积

定理一：

如果用S表示面积，用N表示图形内的格点数，用L表示周界上的格点数，那么S=N+L/2-1（正方形格点，且最小正方形面积为1个单位）

定理二：

（同上，关于三角形格点的面积）S=2N+L-2（最小三角形面积为1个单位）

4．面积

如果两个图形能够完全重合，则这两个图形面积相等。

把一个图形分成有限个小部分，则整个图形的面积等于所有这些小部分的面积和。

这两条性质是面积割补的理论依据。

导出三角形：

以平行四边形的一条边为底边，第三顶点在平行四边形中这条边对边上的三角形，叫做该平行四边形的一个导出三角形。

同一个平行四边形的所有导出三角形的面积相等，且等于平行四边形面积的一半。

平行四边形的一条对角形平分该平行四边形面积。

等底等高的三角形等积。

共边三角形面积与边比。

图形绕定点的旋转：

在平面图形的割补中，有时要将一个图形绕定点旋转到一个新的位置、产生一种新的图形结构。

利用这种图形结构可以帮我们解决面积的计算问题，当然，图形在转动过程中形状大小不发生改变。

轴对称与图形的折叠：

轴对称图形沿对称轴折叠，轴两侧的部分可以完全重叠，因此如果一个图形是轴对称图形，那么对称轴平分这个图形的面积。

等腰三角形是轴对称图形，由顶点引向底边的高所在的直线是它的对称轴。

长方形是轴对称图形，对边中点连线是它的对称轴。

长方形有两条对称轴。

正方形是轴对称图形，对边中点连线、两条对角线所在直线都是它的对称轴，正方形共有四条对称轴。

菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线是它的对称轴。

筝形也是轴对称图形，其中有一条对角线是另一条对角形的垂直平分线，这条对角线所在直线是筝形的对称轴。

圆是最典型的轴对称图形。

过圆心的任一条直线都是它的对称轴，因此，圆的对称轴有无数多条。

圆的直径平分圆的面积。

弦图的妙用（一般不要求掌握，但参加华赛杯竞赛理解）

I．三角形的等积变形

定理一：

等底等高的三角形面积相等。

定理二：

底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等。

定理三：

若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。

定理四：

梯形的两条对角线及两腰所夹的两个三角形面积相等。

定理五：

梯形的两条对角形及上、下两底所形成的两个三角形的面积比等于上、下底边长的平方。

定理六：

中线将三角形的面积平方。

定理七：

若两个三角形的两边的积相等，且夹角相等或互补，那么这两个三角形的面积相等。

II．面积公式：

正方形面积：

S=a2

长方形面积：

S=ab

平形四边形面积：

S=底×高

三角形面积：

S=底×高/2

等边三角形面积：

梯形的面积：

S=（a+b）Xh/2

III．度分秒与弧度的互化

IV．图形的变换（轴对称、中心对称图形、求几何最短距离、平移、轴变换、旋转变换）

轴对称和轴对称图形：

把一个图形沿着某一条直线折过来，如果它能够与另一个重合，那么我们说这两个图形叫做关于这条直线对称的轴对称图形。

两个图形的对应点（互相重合的点）叫做关于这条直线的对称点，这条直线叫做对称轴。

如果两个图形关于某直线对称，那么对应点的连线被对称轴垂直平分。

两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或其延长线相交，那么交点在对称轴上。

中心对称和中心对称图形：

把一个图形绕着一个点旋转180度后，它和另一个图形重合，那么我们说这两个图形叫做关于这个点对称的中心对称图形，这个点叫对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于这个对称中心的对称点。

平移变换：

一个图形沿着一定的方位移动一定距离的运动叫做图形的平移。

平移后的图形与原图形全等，即对应边、对应角都相等。

V．图形面积的巧算

5．周长公式：

6．体积公式：

7．基本元素

I．线段、角、角平分线、三角形中位线、梯形中位线、高、中线、相交线、平行线

II．三角形、等腰三角形、三角形的不等关系、直角三角形、勾股定理、四边形、平行四边形、平行四边形、矩形、正方形、梯形、菱形、筝形。

三角形中位线性质：

中位线平行于底边且等于底边长的一半。

三角形的不等关系：

两边之和大于第三边，两边之差（大减小）小于第三边。

这条性质也是判断三角形成立的依据。

等腰三角形性质：

两腰相等，底角相等。

平行四边形性质：

对边相等且平行，对角相等，邻角互补，对角线互相平分。

梯形性质：

两底平行，上、下两邻角互补。

勾股定理：

两直角边的平方和等于斜边的平方。

（在RtΔ中，a2+b2=c2）

直角三角形性质：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么该角所对的直角边等于斜边的一半。

直角三角形的性质：

在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。

角平分线定理：

角平分线上的点到该角两边的距离相等。

中垂线定理：

中垂线上的点到该线段两个端点的距离相等。

III．比例的四大性质

比例的基本性质：

两内项之积等于两外项之积。

如果a:

b=c:

d,则bc=ad

了解比例中项。

8．圆

基本元素：

圆周角、弦切角、直径、半径、弦、周长、弧、拱形、圆心角、公切线、优弧、劣弧、半圆

五心：

外心、内心、垂心、中心、旁心

定理一：

直径所对的圆周角为直角。

定理二：

同弦所对的圆心角等于圆周角的两倍。

九、排列组合

1．乘法原理

一般地，如果完成一件事需要n个步骤，其中，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，….，做第n步有mn种不同的方法，那么，完成这件事一共有

N=m1×m2×…×mn

种不同的方法。

2．加法原理

一般地，如果完成一件事有K类方法，第一类方法中有m1种不同方法，第二类方法中有m2种不同的方法，…..，第K类方法中有mk种不同的方法，则完成这件事共有

N=m1+m2+….+mk种不同的方法。

3．排列

一般地，从n个不同的元素中任取m个元素（m≤n），按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列。

一般地，从n个不同的元素中任取m个元素（m≤n）的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数，我们把它叫做Pnm.

4．组合

一般地，从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素组成一组不计较组内各元素的次