第14章 整式的乘除与因式分解 人教版数学八年级上册随堂练习题含答案.docx

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第14章整式的乘除与因式分解人教版数学八年级上册随堂练习题含答案

14.1整式的乘法

一．选择题

1．若x+m与x+3的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　）

A．0B．1C．3D．﹣3

2．计算（a2）3的结果是（　　）

A．a5B．a6C．a8D．3a2

3．下列计算正确的是（　　）

A．b2b2＝b8B．x2+x4＝x6C．a3a3＝a9D．a8a＝a9

4．若（3x+a）（3x+b）的结果中不含有x项，则a、b的关系是（　　）

A．ab＝1B．ab＝0C．a﹣b＝0D．a+b＝0

5．若am＝8，an＝16，则am+n的值为（　　）

A．32B．64C．128D．256

6．计算：

a2（﹣a）3的结果正确的是（　　）

A．﹣a5B．a5C．﹣a6D．a6

7．计算：

（﹣

x2y）3，结果正确的是（　　）

A．﹣

B．﹣

C．﹣

D．

8．若M＝（a+3）（a﹣4），N＝（a+2）（2a﹣5），其中a为有理数，则M、N的大小关系是（　　）

A．M＞NB．M＜NC．M＝ND．无法确定

9．下列计算错误的是（　　）

A．＝x2+5x+4B．＝m2+m﹣6

C．＝y2+9y﹣20D．＝x2﹣9x+18

10．如果（x﹣2）（x+3）＝x2+px﹣q，那么p、q的值是（　　）

A．p＝1，q＝﹣6B．p＝5，q＝6C．p＝1，q＝6D．p＝5，q＝﹣6

二．填空题

11．﹣2xy2（﹣3x3y）2＝　　．

12．化简：

（2x﹣y）（x+3y）＝　　．

13．若x+3y＝4，则2x8y＝　　．

14．计算：

[﹣3a2（﹣ab）3]3＝　　．

15．如果（x+3）（x+a）＝x2﹣2x﹣15，则a＝　　．

三．解答题

16．计算：

（2a）2﹣a×3a+a2．

17．计算：

（2a2）3﹣a4a2﹣（a3）2

18．已知9an﹣6b﹣2﹣n与﹣2a3m+1b2n的积与25a4b是同类项，求m﹣n的值．

19．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：

如果ac＝b，那么（a，b）＝c．

例如：

因为23＝8，所以（2，8）＝3．

（1）根据上述规定，填空：

（3，9）＝　　，（5，125）＝　　，（﹣

，

）＝　　，（﹣2，﹣32）＝　　．

（2）令（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，试说明下列等式成立的理由：

（4，5）+（4，6）＝（4，30）．

参考答案与试题解析

一．选择题

1．【解答】解：

（x+m）（x+3）＝x2+（m+3）x+3m，

∵乘积中不含x的一次项，

∴m+3＝0，

∴m＝﹣3．

故选：

D．

2．【解答】解：

（a2）3＝a6．

故选：

B．

3．【解答】解：

A、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故A错误；

B、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故B错误；

C、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故C错误；

D、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故D正确；

故选：

D．

4．【解答】解：

（3x+a）（3x+b）＝9x2+3bx+3ax+ab＝9x2+3（a+b）x+ab，

∵（3x+a）（3x+b）的结果中不含有x项，

∴a+b＝0，

∴a、b的关系是a+b＝0；

故选：

D．

5．【解答】解：

∵am＝8，an＝16，

∴am+n＝am×an＝8×16＝128．

故选：

C．

6．【解答】解：

a2（﹣a）3＝﹣a5．

故选：

A．

7．【解答】解：

（﹣

x2y）3

＝﹣

x6y3．

故选：

C．

8．【解答】解：

∵M﹣N＝（a+3）（a﹣4）﹣（a+2）（2a﹣5）＝a2﹣a﹣12﹣2a2+a+10＝﹣a2﹣2≤﹣2＜0，

∵M＜N．

故选：

B．

9．【解答】解：

A、结果是x2+5x+4，正确，故本选项不符合题意；

B、结果是m2+m﹣6，正确，故本选项不符合题意；

C、结果是y2﹣y﹣20，错误，故本选项符合题意；

D、结果是x2﹣9x+18，正确，故本选项不符合题意；

故选：

C．

10．【解答】解：

∵（x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6，

又∵（x﹣2）（x+3）＝x2+px+q，

∴x2+px+q＝x2+x﹣6，

∴p＝1，q＝﹣6．

故选：

C．

二．填空题（共5小题）

11．【解答】解：

﹣2xy2（﹣3x3y）2＝﹣2xy29x6y2＝﹣18x7y4．

故答案为：

﹣18x7y4．

12．【解答】解：

原式＝2x2+6xy﹣xy﹣3y2

＝2x2+5xy﹣3y2．

故答案为：

2x2+5xy﹣3y2．

13．【解答】解：

∵x+3y＝4，

∴原式＝2x+3y＝24＝16．

故答案为：

16．

14．【解答】解：

[﹣3a2（﹣ab）3]3＝（3a2a3b3）3＝27a15b9．

故答案为：

27a15b9．

15．【解答】解：

（x+3）（x+a）＝x2+（a+3）x+3a＝x2﹣2x﹣15，

可得a+3＝﹣2，

解得：

a＝﹣5．

故答案为：

﹣5．

三．解答题（共4小题）

16．【解答】解：

原式＝4a2﹣3a2+a2＝2a2．

17．【解答】解：

原式＝8a6﹣a6﹣a6

＝6a6．

18．【解答】解：

∵9an﹣6b﹣2﹣n与﹣2a3m+1b2n的积与25a4b是同类项，

∴

，

解得：

．

∴m﹣n＝2﹣3＝

．

19．【解答】解：

（1）∵32＝9，53＝125，（﹣

）4＝

，（﹣2）5＝﹣32，

∴（3，9）＝2，（5，125）＝3，（﹣

，

）＝4，（﹣2，﹣32）＝5，

故选：

2，3，4，5；

（2）令（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，

则4a＝5，4b＝6，4c＝30，

∵5×6＝30，

∴4a×4b＝4c，

∴4a+b＝4c，

∴a+b＝c，

∴（4，5）+（4，6）＝（4，30）．

14.2乘法公式

一．选择题

1．下列各式中，能用平方差公式进行计算的是（　　）

A．（﹣x﹣y）（x+y）B．（2x+y）（y﹣2x）

C．（2x+y）（x﹣2y）D．（﹣x+y）（x﹣y）

2．已知（x+y）2＝7，（x﹣y）2＝3，则x2+y2＝（　　）

A．58B．29C．10D．5

3．下列运算正确的是（　　）

A．a3﹣a2＝aB．（a﹣b）2＝a2﹣b2

C．a3•a2＝a5D．（2a+1）（2a﹣1）＝2a2﹣1

4．下列算式能用平方差公式计算的是（　　）

A．（3a+b）（3b﹣a）B．（

﹣1）（﹣

﹣1）

C．（x﹣y）（﹣x+y）D．（﹣a﹣b）（a+b）

5．已知M＝3（22+1）（24+1）（28+1）（216+1），则M的个位为（　　）

A．1B．3C．5D．7

6．若（2a+b）2＝（2a﹣b）2+（　　）成立，则括号内的式子是（　　）

A．4abB．﹣4abC．8abD．﹣8ab

7．若x﹣y＝2，x2+y2＝4，则x2016+y2016的值是（　　）

A．4B．20162C．22016D．42016

8．下列各式是完全平方式的是（　　）

A．16x2﹣4xy+y2B．m2+2mn+2n2

C．9a2﹣24ab+16b2D．

9．下列运算中，正确的是（　　）

A．a6÷a2＝a3B．（ab）3＝a3b3

C．2a+3a＝5a2D．（2a+b）（2a﹣b）＝2a2﹣b2

10．如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下部分沿图1中的虚线剪开后重新拼成一个梯形（如图2），利用这两幅图形面积，可以验证的乘法公式是（　　）

A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2

C．a（a+b）＝a2+abD．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2

二．填空题

11．已知x﹣y＝﹣3，x+y＝2，则x2﹣y2的值为　　．

12．若m﹣n＝6，且m+n＝4，则m2﹣n2＝　　．

13．计算：

（3x+7y）（3x﹣7y）＝　　．

14．用四张一样大小的长方形纸片拼成一个正方形ABCD，如图所示，它的面积是75，其中AE＝3

，空白的地方是一个正方形，那么这个小正方形的周长为　　．

15．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b＝7，ab＝13，则阴影部分的面积为　　．

三．解答题

16．如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．

（1）你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于　　；

（2）请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积．

方法①　　；

方法②　　；

（3）观察图②，直接写出（m+n）2，（m﹣n）2，mn这三个代数式之间的等量关系；

（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：

若a+b＝8，ab＝5，求（a﹣b）2的值．

17．如图，点M是AB的中点，点P在MB上．分别以AP，PB为边，作正方形APCD和正方形PBEF，连结MD和ME．设AP＝a，BP＝b，且a+b＝10，ab＝20．求图中阴影部分的面积．

18．如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，图②是边长为m﹣n的正方形．

（1）请用图①中四个小长方形和图②中的正方形拼成一个大正方形，画出示意图（要求连接处既没有重叠，也没有空隙）；

（2）请用两种不同的方法列代数式表示

（1）中拼得的大正方形的面积；

（3）请直接写出（m+n）2，（m﹣n）2，mn这三个代数式之间的等量关系；

（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：

若a+b＝6，ab＝4，求（a﹣b）2的值．

19．发现与探索

你能求（x﹣1）（x2019+x2018+x2017+…+x+1）的值吗？

遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手．先分别计算下列各式的值：

①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；

②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；

③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；

…

由此我们可以得到：

（x﹣1）（x2019+x2018+x2017+…+x+1）＝　　．

请你利用上面的结论，完成下面两题的计算：

（1）32019+32018+32017+…+3+1；

（2）（﹣3）50+（﹣3）49+（﹣3）48+…+（﹣3）．

参考答案与试题解析

一．选择题

1．【解答】解：

＝﹣（x+y）2，不能用平方差公式进行计算；

＝﹣（2x+y）（2x﹣y），能用平方差公式进行计算；

不能用平方差公式进行计算；

＝﹣（x﹣y）2，不能用平方差公式进行计算．

故选：

B．

2．【解答】解：

已知等式整理得：

（x+y）2＝x2+y2+2xy＝7①，（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝3②，

①+②得：

2（x2+y2）＝10，

则x2+y2＝5，

故选：

D．

3．【解答】解：

A、两项不是同类项，不能合并，故本选项错误；

B、根据完全平方公式，得（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故本选项错误；

C、a3a2＝a5，故本选项正确；

D、根据平方差公式，得（2a+1）（2a﹣1）＝4a2﹣1，故本选项错误．

故选：

C．

4．【解答】解：

选项A：

没有两项完全相同，也没有两项属于相反数，故不能用平方差公式计算；

选项B：

和﹣

是相反数，﹣1和﹣1是相同项，故可以用平方差公式计算；

选项C：

x与﹣x是相反数，﹣y与y也是相反数，故不能用平方差公式计算；

选项D：

﹣a和a是相反数，﹣b和b也是相反数，故不能用平方差公式计算；

综上，只有选项B符合题意．

故选：

B．

5．【解答】解：

M＝3（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）÷（22﹣1）

＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）

＝（28﹣1）（28+1）（216+1）

＝（216﹣1）（216+1）

＝232﹣1

∵21、22、23、24、25、…，个位分别是2、4、8、6、2、…，

∴232的个位上是6，

∴M的个位为5．

故选：

C．

6．【解答】解：

设括号内的式子为A，则

A＝（2a+b）2﹣（2a﹣b）2＝4a2+4ab+b2﹣（4a2﹣4ab+b2）＝8ab．

故选：

C．

7．【解答】解：

∵（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝22＝4，x2+y2＝4，

∴﹣2xy＝0，

即xy＝0，

∴要么x＝0；要么y＝0，

当x＝0时，y＝﹣2，∴x2016+y2016＝0+（﹣2）2016＝22016；

当y＝0时，x＝2，∴x2016+y2016＝22016+0＝22016；

故选：

C．

8．【解答】解：

A、不是完全平方式，故本选项错误；

B、不是完全平方式，故本选项错误；

C、是完全平方式，故本选项正确；

D

、不是完全平方式，故本选项错误；

故选：

C．

9．【解答】解：

A、原式＝a4，不符合题意；

B、原式＝a3b3，符合题意；

C、原式＝5a，不符合题意；

D、原式＝4a2﹣b2，不符合题意，

故选：

B．

10．【解答】解：

图1阴影部分的面积等于a2﹣b2，

图2梯形的面积是

（2a+2b）（a﹣b）＝

根据两者阴影部分面积相等，可知＝a2﹣b2

比较各选项，只有D符合题意

故选：

D．

二．填空题（共5小题）

11．【解答】解：

∵x﹣y＝﹣3，x+y＝2，

∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝﹣3×2＝6，

故答案为：

﹣6．

12．【解答】解：

∵m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n），m﹣n＝6，且m+n＝4，

∴m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）＝6×4＝24，

故答案为24．

13．【解答】解：

（3x+7y）（3x﹣7y）＝9x2﹣49y2；

故答案为：

9x2﹣49y2．

14．【解答】解：

∵正方形ABCD的面积是75，

∴AB＝5

，

∵AE＝3

，

∴BE＝2

，

∴空白小正方形的边长3

﹣2

＝

，

∴小正方形的周长为4

；

故答案为4

；

15．【解答】解：

根据题意得：

当a+b＝7，ab＝13时，S阴影＝

a2﹣

b（a﹣b）＝

a2﹣

ab+

b2＝

[（a+b）2﹣2ab]﹣

ab＝5．

故答案为：

5

三．解答题（共4小题）

16．【解答】解：

（1）根据拼图可得，阴影部分是边长为（m﹣n）的正方形，

故答案为：

m﹣n；

（2）方法①，从大正方形中减去四个小长方形的面积，

即：

（m+n）2﹣4mn，

方法②根据正方形的面积公式直接表示小正方形的面积为（m﹣n）2

，

故答案为：

①（m+n）2﹣4mn，②（m﹣n）2；

（3）由

（2）知，（m+n）2﹣（m﹣n）2＝4mn；

（4）由于（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，

又∵a+b＝8，ab＝5，

∴（a﹣b）2＝64﹣20＝44．

17．【解答】解：

∵a+b＝10，ab＝20，

∴S阴影部分＝S正方形APCD+S正方形BEFP﹣S△AMD﹣S△MBE

＝a2+b2﹣

a（

）﹣

b（

）

＝a2+b2﹣

＝（a+b）2﹣2ab﹣

＝100﹣40﹣

＝100﹣40﹣25

＝35．

18．【解答】解：

（1）如图所示；

（2）方法1：

大正方形的边长为（m+n），因此面积为：

（m+n）（m+n）＝（m+n）2；

方法2：

大正方形的面积等于各个部分的面积和，

即边长为（m﹣n）的正方形的面积与4个长为m，宽为n的长方形的面积和，

即（m﹣n）2+4mn；

（3）（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；

（4）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝62﹣4×4＝36﹣16＝20．

19．【解答】解：

①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；

②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；

③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；

…

由此我们可以得到：

（x﹣1）（x2019+x2018+x2017+…+x+1）＝x2020﹣1；

故答案为：

x2020﹣1；

（1）原式＝（3﹣1）（32019+32018+32017+…+3+1）×

＝

（32020﹣1）；

（2）原式＝（﹣3﹣1）[（﹣3）50+（﹣3）49+（﹣3）48+…（﹣3）+1]×（﹣

）﹣1

＝﹣

×[（﹣3）51﹣1]﹣1

＝

+

﹣1

＝

．

14.3《因式分解》

一．选择题.

1.下列由左到右的变形,属于因式分解的是（　　）

A.（x+2）（x-2）=x2-4

B.x2+4x+4=x（x+4）+4

C.ax2-4a=a（x2-4）

D.x2+3-4x=（x-1）（x-3）

2.分解因式-4x2y+2xy2-2xy的结果是（　　）

A.-2xy（2x-y+1）B.2xy（-2x+y）

C.2xy（-2xy+y-1）D.-2xy（2x+y-1）

3.下列因式分解正确的是（　　）

A.x2-xy+x=x（x-y）B.ax2-9=a（x+3）（x-3）

C.x2-2x+4=（x-1）2+3D.a3+2a2b+ab2=a（a+b）2

4.把多项式m2（a-2）+m（2-a）分解因式正确的是（　　）

A.（a-2）（m2+m）　　　　B.m（a-2）（m+1）

C.m（a-2）（m-1）D.（2-a）（m2+m）

5.代数式（a-3b）2-4（a-3b）c+4c2可以写成（　　）

A.（a-3b+3c）2B.（a-3b-2c）2

C.（a+3b+2c）2D.（a+3b-2c）2

6.若a为实数，则a2（a2-1）-a2+1的值（　　）

A.非正数B.恒为正数C.恒为负数D.非负数

7.多项式①4x2-x;②（x-1）2-4（x-1）;③1-x2;④-4x2-1+4x,分解因式后,结果中含有相同因式的是（　　）

A.①和②B.③和④C.①和④D.②和③

8.若x2+kx+20能在整数范围内因式分解,则k可取的整数值有（　　）

A.2个　　　B.3个　　　C.4个　　　D.6个

二．填空题.

9.因式分解:

mn2-9m=____. 

10.若ab=3，a-2b=5，则a2b-2ab2的值是____.

11.如图,长宽分别为a,b的长方形的周长为14,面积为10,则a3b+ab3的值为____. 

12.已知（2x-21）（3x-7）-（3x-7）·（x-13）可因式分解为（3x+a）（x+b），其中a，b均为整数，则a+3b=____.

13.多项式4x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是__.

14.若9x2+kxy+4y2是完全平方式，则k=__.

三．解答题.

15.已知m+n=3，求2m2+4mn+2n2-6的值.

16.分解因式:

（a-b）2-4（a-b-1）.

17.若|x-m|+

=0，把多项式x2n-y2m分解因式（用m，n表示）.

18.

（1）化简:

（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2;

（2）利用

（1）题的结论,且a=2018x+2019,b=2018x+2020,c=2018x+2021,求a2+b2+c2-ab-bc-ca的值.

19.请阅读以下材料,并解决相应的问题:

材料一:

换元法是数学中的重要方法,利用换元法可以从形式上简化式子,在解某些特殊方程时,使用换元法常常可以达到转化与化归的目的,例如在求解一元四次方程x4-2x2+1=0时,令x2=t,则原方程可变为t2-2t+1=0,解得t=1,从而得到原方程的解为x=±1.

材料二:

杨辉三角形是中国数学史上的一个伟大成就,在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.它呈现了某些特定系数在三角形中的一种有规律的几何排列.如图为杨辉三角形:

（1）利用换元法解方程:

（x2+3x-1）2+2（x2+3x-1）=3;

（2）在杨辉三角形中,按照由上至下、从左到右的顺序观察,设an是第n行的第2个数（其中n≥4）,bn是第n行的第3个数,cn是第（n-1）行的第3个数.请利用换元法因式分解:

4（bn-an）·cn+1.

《因式分解》知识点复习能力提升专题练（解析版）

一．选择题.

1.下列由左到右的变形,属于因式分解的是（　D　）

A.（x+2）（x-2）=x2-4

B.x2+4x+4=x（x+4）+4

C.ax2-4a=a（x2-4）

D.x2+3-4x=（x-1）（x-3）

2.分解因式-4x2y+2xy2-2xy的结果是（　A　）

A.-2xy（2x-y+1）B.2xy（-2x+y）

C.2xy（-2xy+y-1）D.-2xy（2x+y-1）

3.下列因式分解正确的是（　D　）

A.x2-xy+x=x（x-y）B.ax2-9=a（x+3）（x-3）

C.x2-2x+4=（x-1）2+3D.a3+2a2b+ab2=a（a+b）2

4.把多项式m2（a-2）+m（2-a）分解因式正确的是（　C　）

A.（a-2）（m2+m）　　　　B.m（a-2）（m+1）

C.m（a-2）（m-1）D.（2-a）（m2+m）

5.代数式（a-3b）2-4（a-3b）c+4c2可以写成（　B　）

A.（a-3b+3c）2B.（a-3b-2c）2

C.（a+3b+2c）2D.（a+3b-2c）2

6.若a为实数，则a2（a2-1）-a2+1的值（　D　）

A.非正数B.恒为正数C.恒为负数D.非负数

7.多项式①4x2-x;②（x-1）2-4（x-1）;③1-x2;④-4x2-1+4x,分解因式后,结果中含有相同因式的是（　D　）

A.①和②B.③和④C.①和④D.②和③

8.若x2+kx+20能在整数范围内因式分解,则k可取的整数值有（　D　）

A.2个　　　B.3个　　　C.4个　　　D.6个

二．填空题.

9.因式分解:

mn2-9m=__m（n-3）（n+3）__. 

10.若ab=3，a-2b=5，则a2b-2ab2的值是_15___.

11.如图,长宽分别为a,b的长方形的周长为14,面积为10,则a3b+ab3的值为__290__. 

12.已知（2x-21）（3x-7）-（3x-7）·（x-13）可因式分解为（3x+a）（x+b），其中a，b均为整数，则a+3b=__-31___.

13.多项式4x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是-4x4

14.若9x2+kxy+4y2是完全平方式，则k=__±12.

三．解答题.

15.已知m+n=3，求2m2+4mn+2n2-6的值.

【解析】2m2+4mn+2n2-6=2（m+n）2-6.

∵m+n=3，

∴2（m+n）2-6=2×32-6=12.

16.分解因式:

（a-b）2-4（a-b-1）.

【解析】原式=（a-b）2-4（a-b）+4

=（a-b-2）2.

17.若|x-m|+

=0，把多项式x2n-y2m分解因式（用m，n表示）.

【解析】由|x-m|+

=0，可得x=m，y=n，

x2n-y2m=m2n-n2m=mn（m-n）.

18.

（1）化简:

（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2;

（2）利用

（1）题的结论,且a=2018x+20