人教版高中数学必修二圆的方程优质课教案.docx

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人教版高中数学必修二圆的方程优质课教案

第四章圆与方程

本章教材分析

上一章,学生已经学习了直线与方程,知道在直角坐标系中,直线可以用方程表示,通过方程,可以研究直线间的位置关系、直线与直线的交点坐标、点到直线的距离等问题,对数形结合的思想方法有了初步体验.本章将在上章学习了直线与方程的基础上,学习在平面直角坐标系中建立圆的代数方程,运用代数方法研究点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系,了解空间直角坐标系,以便为今后的坐标法研究空间的几何对象奠定基础,这些知识是进一步学习圆锥曲线方程、导数和微积分的基础,在这个过程中进一步体会数形结合的思想,形成用代数方法解决几何问题的能力.

通过方程,研究直线与圆、圆与圆的位置关系是本章的重点内容之一,坐标法不仅是研究几何问题的重要方法,而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法,通过坐标系把点和坐标、曲线和方程联系起来,实现了形和数的统一,因此在教学过程中,要始终贯穿坐标法这一重要思想,不怕反复.用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素:

点、直线、圆;然后对坐标和方程进行代数运算;最后把运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是坐标法解决几何问题的三步曲.坐标法还可以与平面几何中的综合方法、向量方法建立联系,同时可以推广到空间,解决立体几何问题.

本章教学时间约需9课时,具体分配如下（仅供参考）:

4.1.1

圆的标准方程

1课时

4.1.2

圆的一般方程

1课时

4.2.1

直线与圆的位置关系

2课时

4.2.2

圆与圆的位置关系

2课时

4.3.1

空间直角坐标系

1课时

4.3.2

空间两点间的距离公式

1课时

本章复习

1课时

§4.1圆的方程

§4.1.1圆的标准方程

一、教材分析

在初中曾经学习过圆的有关知识,本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上,进一步运用解析法研究圆的方程,它与其他图形的位置关系及其应用.同时,由于圆也是特殊的圆锥曲线,因此,学习了圆的方程,就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础.也就是说,本节内容在教材体系中起到承上启下的作用,具有重要的地位,在许多实际问题中也有着广泛的应用.由于“圆的方程”一节内容的基础性和应用的广泛性,对圆的标准方程要求层次是“掌握”,为了激发学生的主体意识,教学生学会学习和学会创造,同时培养学生的应用意识,本节内容可采用“引导探究”型教学模式进行教学设计,所谓“引导探究”是教师把教学内容设计为若干问题,从而引导学生进行探究的课堂教学模式,教师在教学过程中,主要着眼于“引”,启发学生“探”,把“引”和“探”有机的结合起来.教师的每项教学措施,都是给学生创造一种思维情境,一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会,激发学生的求知欲,促使学生解决问题.

二、教学目标

1．知识与技能

（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程.

（2）会用待定系数法求圆的标准方程.

2．过程与方法

进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题发现问题和解决问题的能力.

3．情感态度与价值观

通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣.

三、教学重点与难点

教学重点：

圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确.

教学难点:

会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程.

四、课时安排

1课时

五、教学设计

（一）导入新课

思路1.课前准备：

（用淀粉在一张白纸上画上海和山）

说明:

在白纸上要表演的是一个小魔术,名称是《日出》,所以还缺少一个太阳,请学生帮助在白纸上画出太阳.要求其他学生在自己的脑海里也构画出自己的太阳.

课堂估计：

一种是非尺规作图（指出数学作图的严谨性）；一种作出后有同学觉得不够美（点评:

其实每个人心中都有一个自己的太阳,每个人都有自己的审美观点）.

然后上升到数学层次：

不同的圆心和半径对应着不同的圆,进而对应着不同的圆的方程.

从用圆规作图复习初中所学圆的定义：

到定点的距离等于定长的点的轨迹.

那么在给定圆心和半径的基础上,结合我们前面所学的直线方程的求解,应该如何建立圆的方程？

教师板书本节课题:

圆的标准方程.

思路2.同学们,我们知道直线可以用一个方程表示,那么,圆可以用一个方程表示吗？

圆的方程怎样来求呢?

这就是本堂课的主要内容,教师板书本节课题:

圆的标准方程.

（二）推进新课、新知探究、提出问题

①已知两点A（2,-5）,B（6,9）,如何求它们之间的距离?

若已知C（3,-8）,D（x,y）,又如何求它们之间的距离?

②具有什么性质的点的轨迹称为圆？

③图1中哪个点是定点？

哪个点是动点？

动点具有什么性质？

圆心和半径都反映了圆的什么特点？

图1

④我们知道,在平面直角坐标系中,确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角,那么,决定圆的条件是什么?

⑤如果已知圆心坐标为C（a,b）,圆的半径为r,我们如何写出圆的方程?

⑥圆的方程形式有什么特点？

当圆心在原点时,圆的方程是什么？

讨论结果：

①根据两点之间的距离公式,得

|AB|=,

|CD|=.

②平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆,定点是圆心,定长是半径（教师在黑板上画一个圆）.

③圆心C是定点,圆周上的点M是动点,它们到圆心距离等于定长|MC|=r,圆心和半径分别确定了圆的位置和大小.

④确定圆的条件是圆心和半径,只要圆心和半径确定了,那么圆的位置和大小就确定了.

⑤确定圆的基本条件是圆心和半径,设圆的圆心坐标为C（a,b）,半径为r（其中a、b、r都是常数,r＞0）.设M（x,y）为这个圆上任意一点,那么点M满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件=r.①

将上式两边平方得（x-a）2+（y-b）2=r2.

化简可得（x-a）2+（y-b）2=r2.②

若点M（x,y）在圆上,由上述讨论可知,点M的坐标满足方程②,反之若点M的坐标满足方程②,这就说明点M与圆心C的距离为r,即点M在圆心为C的圆上.方程②就是圆心为C（a,b）,半径长为r的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程.

⑥这是二元二次方程,展开后没有xy项,括号内变数x,y的系数都是1.点（a,b）、r分别表示圆心的坐标和圆的半径.当圆心在原点即C（0,0）时,方程为x2+y2=r2.

提出问题

①根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件是什么?

②确定圆的方程的方法和步骤是什么?

③坐标平面内的点与圆有什么位置关系?

如何判断?

讨论结果：

①圆的标准方程（x－a）2＋（y－b）2=r2中,有三个参数a、b、r,只要求出a、b、r且r＞0,这时圆的方程就被确定,因此确定圆的标准方程,需三个独立条件,其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件.

②确定圆的方程主要方法是待定系数法,即列出关于a、b、r的方程组,求a、b、r或直接求出圆心（a,b）和半径r,一般步骤为：

1°根据题意,设所求的圆的标准方程（x－a）2＋（y－b）2=r2；

2°根据已知条件,建立关于a、b、r的方程组；

3°解方程组,求出a、b、r的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程.

③点M（x0,y0）与圆（x-a）2+（y-b）2=r2的关系的判断方法：

当点M（x0,y0）在圆（x-a）2+（y-b）2=r2上时,点M的坐标满足方程（x-a）2+（y-b）2=r2.

当点M（x0,y0）不在圆（x-a）2+（y-b）2=r2上时,点M的坐标不满足方程（x-a）2+（y-b）2=r2.

用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为:

1°点到圆心的距离大于半径,点在圆外（x0-a）2+（y0-b）2＞r2,点在圆外;

2°点到圆心的距离等于半径,点在圆上（x0-a）2+（y0-b）2=r2,点在圆上;

3°点到圆心的距离小于半径,点在圆内（x0-a）2+（y0-b）2＜r2,点在圆内.

（三）应用示例

思路1

例1写出下列各圆的标准方程：

（1）圆心在原点,半径是3；

⑵圆心在点C（3,4）,半径是;

（3）经过点P（5,1）,圆心在点C（8,-3）；

（4）圆心在点C（1,3）,并且和直线3x-4y-7=0相切.

解:

（1）由于圆心在原点,半径是3,所以圆的标准方程为（x-0）2+（y-0）2=32,即x2+y2=9.

（2）由于圆心在点C（3,4）,半径是5,所以圆的标准方程是（x-3）2+（y-4）2=（5）2,即（x-3）2+（y-4）2=5.

（3）方法一:

圆的半径r=|CP|==5,因此所求圆的标准方程为（x-8）2+（y+3）2=25.

方法二:

设圆的标准方程为（x-8）2+（y+3）2=r2,因为圆经过点P（5,1）,所以（5-8）2+（1+3）2=r2,r2=25,因此所求圆的标准方程为（x-8）2+（y+3）2=25.

这里方法一是直接法,方法二是间接法,它需要确定有关参数来确定圆的标准方程,两种方法都可,要视问题的方便而定.

（4）设圆的标准方程为（x-1）2+（y-3）2=r2,由圆心到直线的距离等于圆的半径,所以r=.因此所求圆的标准方程为（x-1）2+（y-3）2=.

点评：

要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程.

例2写出圆心为A（2,-3）,半径长等于5的圆的方程,并判断点M1（5,-7）,M2（-,-1）是否在这个圆上.

解:

圆心为A（2,-3）,半径长等于5的圆的标准方程是

（x-2）2+（y+3）2=25,

把点M1（5,-7）,M2（-,,-1）分别代入方程（x-2）2+（y+3）2=25,

则M1的坐标满足方程,M1在圆上.M2的坐标不满足方程,M2不在圆上.

点评:

本题要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程,然后给一个点,判断该点与圆的关系,这里体现了坐标法的思想,根据圆的坐标及半径写方程——从几何到代数；根据坐标满足方程来看在不在圆上——从代数到几何.

例3△ABC的三个顶点的坐标是A（5,1）,B（7,-3）,C（2,-8）,求它的外接圆的方程.

活动：

教师引导学生从圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2=r2入手,要确定圆的标准方程,可用待定系数法确定a、b、r三个参数.另外可利用直线AB与AC的交点确定圆心,从而得半径,圆的方程可求,师生总结、归纳、提炼方法.

解法一:

设所求的圆的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2,因为A（5,1）,B（7,-3）,C（2,-8）都在圆上,

它们的坐标都满足方程（x-a）2+（y-b）2=r2,于是

解此方程组得所以△ABC的外接圆的方程为（x-2）2+（y+3）2=25.

解法二:

线段AB的中点坐标为（6,-1）,斜率为-2,所以线段AB的垂直平分线的方程为y+1=（x-6）.

同理线段AC的中点坐标为（3.5,-3.5）,斜率为3,所以线段AC的垂直平分线的方程为y+3.5=3（x-3.5）.

解由①②组成的方程组得x=2,y=-3,所以圆心坐标为（2,-3）,半径r==5,所以△ABC的外接圆的方程为（x-2）2+（y+3）2=25.

点评:

△ABC外接圆的圆心是△ABC的外心,它是△ABC三边的垂直平分线的交点,它到三顶点的距离相等,就是圆的半径,利用这些几何知识,可丰富解题思路.

思路2

例1图2是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,在建造时每隔4m需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的长度（精确到0.01m）.

图2

解:

建立坐标系如图,圆心在y轴上,由题意得P（0,4）,B（10,0）.

设圆的方程为x2+（y-b）2=r2,因为点P（0,4）和B（10,0）在圆上,

所以解得

所