数值积分和MonteCarlo方法数值积分令则零阶近似.docx
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数值积分和MonteCarlo方法数值积分令则零阶近似
第二章数值积分和MonteCarlo方法
第一节数值积分
令，则
零阶近似
一阶近似
∵
∴
从直观看，用近似比只用或好。
这方法也称Trapezoid方法。
这样的数值积分方法的
优点：
●简单直观，误差可以控制
缺点：
●“平均主义”，
在的区域，对S贡献很小，但消耗同等的机时。
在多自由度系统这弱点尤为特出。
问题：
直观地看，零级近似和一级近似的差别在哪？
习题：
编程序数值计算高斯积分。
第二节MonteCarlo方法
如何用随机方法求积分？
例如，可用‘抛石子’方法。
但这方法不比简单的数值积分有效。
1．简单抽样的MonteCarlo方法
均匀地随机地选取[]中，显然，
当M足够大，当然可以得到足够好的积分值。
问题：
为什么误差是？
答：
不妨把这看成一个M次测量的实验，假设每次测量都是独立的，由涨落理论，误差应为。
比较误差：
MonteCarlo方法
数值积分Trapezoid方法
对单自由度而言，数值积分方法要有效得多。
对多自由度，例如d自由度，
MonteCarlo方法！
！
数值积分Trapezoid方法
当d非常大，数值积分方法根本没法和MonteCarlo方法比较。
我们当然可以再改进数值积分方法的精度，但这种改进的量级没法和d的大小比拟。
在多体系统的数值模拟中，d通常至少是！
MonteCarlo方法真的是完美了吗？
当然不是。
●‘平均主义’的弱点其实还没改进
下面我们引入所谓的重要抽样MonteCarlo方法
●当引入重要抽样方法后，每次抽样的样品可能不独立
如何取得独立的抽样，是MonteCarlo方法的重点所在！
2．重要抽样的MonteCarlo方法
如果被积函数f（x）是均匀的函数，则简单抽样方法已经可以得到
相当准确的积分值。
如果被积函数f（x）不是均匀的函数----这在高维积分十分常见，则必须引入重要抽样。
我们希望在对积分贡献大的区域多取样品，在贡献小的区域少取样品。
设积分为
其中f（x）是均匀函数，W（x）是不均匀函数，而且，可以归一化，给予概率分布的含义。
假设我们可以按照分布W（x）得到，则
注意：
现在W（x）不出现在求和式子中，而是体现在的分布里。
证明：
如第一节方法，把[]分为n个小区间，
区间的数目约为
对
显然
关键：
如何按分布，产生M个（即上面的）
问题：
可以用产生随机数的方法产生吗？
答：
多自由度，有相互作用时不可能
3．Markov过程
产生的方法：
构造一个Markov过程，即给出一个动力学规则，由随机地产生。
那么，给一个，可产生
如果随机过程满足一定条件，则当足够大时，即达到“平衡态”时，按分布。
两个条件：
各态历经
从概率上说，在有限时间内可走遍[]
细致平衡
Markov过程由从到的转移概率定义。
设为过程从转移（或跃迁）到的概率，为从到的概率。
则细致平衡条件为
记忆：
从转移到的概率正比与
证明：
设为的“非平衡态”分布
细致平衡条件显然保证满足上述方程，所以，
不过，细致平衡条件是充分条件。
第三节Metropolis算法和Heat－bath算法
Markov过程的全部信息包含在转移概率中
●细致平衡条件是平衡态的要求
●是否各态历经常常可以直观判断
必须给出从任意x到任意x’的概率，但这并不一定要求从x到任意x’的概率都是零。
各态历经只要求在有限时间内，即的有限次作用，能到达x’。
1．Metropolis算法
Metropolis（1915-1999）
ThePaperwascited7500times
from1988to2003
令
设
设
即满足细致平衡条件。
但是，注意到是转移概率，所以应有归一化条件
上面的还不满足归一化条件。
所以，完整的Metropolis算法的转移概率是
其中是从x选中x’的概率，而且。
这样的转移概率仍然满足细致平衡条件。
当然，归一化条件也能保证。
例如，可选
1．，即均匀选取x’
2．
归纳起来，Metropolis算法包括如下步骤：
1）设，按选取尝试x’，
2）以概率取
以概率取（！
！
）
第二步要记住，初学者容易误解，以为一旦x’不被采纳，重新选取尝试x’。
不难理解，无论是1或2方案的，Metropolis算法都满足各态历经条件，因为只要，在有限时间取到x’的概率不为零。
Metropolis算法非常普遍。
一个重要的例子，在物理学中，常取为正则分布，
其中H（x）代表能量，T是温度，k是Boltzmann常数。
所以，跃迁概率为
如何在计算机上实现？
1设已到达点，按均匀分布随机地取
为一‘恰当’的数
例如，取为计算机上常用的“随机”数，则
②以概率取
以概率取
例如，计算，取随机数
如果，取，否则
③如何取？
这与具体系统有关。
通常通过尝试改变以判断是否够大，即随机过程是否已到达“平衡”态。
一般。
不过，对单自由度问题，不重要。
练习：
①
计算，和解析结果比较
②，计算
●讨论的作用
●对没有解析解的系统，如何判断数值结果的可靠性和正确性？
●有兴趣的同学还可以和数值积分比较，会发现MonteCarlo方法在单自由度情形没有优势
2．Heat-bath算法
Heat-bath算法没有Metropolis算法那么普遍
但也是多体系统研究中的典型方法之一
Heat-bath算法直接取转移概率为
这算法自然是各态历经并且满足细致平衡条件的。
●Heat-bath算法的特点是与x无关
在某些情形会显示出优越性
●当较复杂，在计算机上不一定能够找到简单的实现
事实上，对单自由度情形，已经是直接产生平衡态分布
例如，如果x只取x1和x2,可取
计算机上的实现：
取随机数
如果，取，否则
这一算法可简单推广到x取多个分立值情形。
当x是连续变量时，不一定能实现Heat-bath算法。
但我们可以结合Metropolis算法和Heat-bath算法。
例如，取
这算法Metropolis的特征多些。
归纳起来，Metrpolis算法或Heat-bath算法可以相当普遍地实现重要抽样的MonteCarlo模拟方法。
但是，对多体系统，抽样得到的样品可能不独立，即有关联。
设关联时间为,即每个样品才有一个是独立的。
那么，误差为
当很大时，MonteCarlo方法遇到极大困难。
对物理学家而言，这是MonteCarlo算法需要解决的重要问题。
第四节Langevin方程
问题：
系统的Hamiltonian量为S，
平衡态分布为，（这里温度已吸收到S）。
假设系统时处于一初始状态，系统如何演化至平衡态？
单自由度
Langevin方程
对固定
如果没有随机力，平衡态为，即能量取极小值。
如果存在随机力，体系会被推离能量极小，处于某种能量较高的平衡态。
由于随机力的存在，Langevin方程存在复杂性，因为我们必须考虑对随机力带来的奇异性。
为了简单起见，我们对
时间分立化在数值模拟中应用
较直观
，
Z=
∴
Langevin方程
令
∴
方程的解是随机变量，在数值模拟中给定初始值还不确定，与随机力有关。
也就是说，在t时刻，x遵从一个分布。
物理量的平均值
问题：
的含义？
答：
必须对t之前的所有随机力做平均。
Langevin方程其实也是一种MonteCarlo方法
设
注意到x和x’之差是无穷小，
Fokker-Planck方程的推导和平衡态
∵
∴
∵
又∵
∴
这里做分步积分时，假设
另一方面
Fokker-Planck方程
∴
显然
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