与弹簧相关的机械能守恒问题高三物理一轮复习专题.docx
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与弹簧相关的机械能守恒问题高三物理一轮复习专题
一.必备知识精讲
1．弹簧类问题的突破要点
（1）弹簧的弹力大小由形变大小决定，解题时一般应从弹簧的形变分析入手，确定原长位置、现长位置、平衡位置等，再结合其他力的情况分析物体的运动状态。
（2）因软质弹簧的形变发生改变过程需要一段时间，在瞬间内形变量可以认为不变。
因此，在分析瞬间变化时可以认为弹力大小不变，即弹簧的弹力不突变。
（3）在求弹簧的弹力做功或弹簧的弹性势能时，通常可以根据系统的机械能守恒或功能关系进行分析。
2．弹簧类问题的考前须知
（1）弹簧处于相同状态时弹性势能相等；
（2）在不同的物理过程中，弹簧形变量相等，那么弹性势能的变化量相等。
（3）弹簧的弹性势能增加或减少时，弹簧与其它物体发生了能量的转移或转化。
二.典型例题精讲
题型一：
弹簧与一物体相连
例
1：
（多项选择）如下图，一轻弹簧一端固定在O点，另一端系一小球，将小球从与悬点O在同一水平面且使弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让小球自由摆下，不计空气阻力，在小球由A点摆向最低点B的过程中，以下说法中正确的选项是（ ）
A．小球的机械能守恒
B．小球的机械能减少
C．小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变
D．小球与弹簧组成的系统机械能守恒
答案:
BD
[解析] 小球由A点下摆到B点的过程中，弹簧被拉长，弹簧的弹力对小球做了负功，所以小球的机械能减少，应选项A错误，B正确；在此过程中，由于有重力和弹簧的弹力做功，所以小球与弹簧组成的系统机械能守恒，即小球减少的重力势能，等于小球获得的动能与弹簧增加的弹性势能之和，应选项C错误，D正确。
题型二：
弹簧与多物体相连
例2：
（多项选择）如下图，带有挡板的光滑斜面固定在水平地面上，斜面的倾角为θ＝30°。
质量均为1kg的A、B两物体用轻弹簧拴接在一起，弹簧的劲度系数为5N/cm，质量为2kg的物体C用细线通过光滑的轻质定滑轮与物体B连接。
开始时A、B均静止在斜面上，A紧靠在挡板处，用手托住C，使细线刚好被拉直，现把手拿开，让C由静止开始运动，从C开始运动到A刚要离开挡板的过程中，以下说法正确的选项是（g取10m/s2）（ ）
A．初状态弹簧的压缩量为1cm
B．末状态弹簧的压缩量为1cm
C．物体B、C与地球组成的系统机械能守恒
D．物体C克服绳的拉力所做的功为0.2J
答案：
AD
[解析] 初状态时，细线拉力为零，对B受力分析，弹簧处于压缩状态，弹簧弹力F＝mgsinθ＝kx，解得x＝1cm，A正确；末状态时，对A进行受力分析，弹簧处于伸长状态，弹簧弹力F＝mgsinθ＝kx，解得x＝1cm，B错误；B、C与地球组成的系统，在运动过程中弹簧对系统做功，机械能不守恒，C错误；对A、B、C、弹簧和地球组成的系统由机械能守恒定律得2Mgx－2mgxsinθ＝
（M＋m）v2，对C由动能定理得2Mgx－W＝
Mv2，解得W＝0.2J，D正确。
二.举一反三，稳固练习
1．如下图，一轻质弹簧竖直固定在水平地面上，O点为弹簧原长时上端的位置，一个质量为m的物体从O点正上方的A点由静止释放落到弹簧上，物体压缩弹簧到最低点B后向上运动，不计空气阻力，不计物体与弹簧碰撞时的动能损失，弹簧一直在弹性限度范围内，重力加速度为g，那么以下说法正确的选项是（ ）
A．物体落到O点后，立即做减速运动
B．物体从O点运动到B点，物体机械能守恒
C．在整个过程中，物体与弹簧组成的系统机械能守恒
D．物体在最低点时的加速度大于g
答案：
CD
[解析] 在O点时，重力大于弹力，物体继续向下加速，A错误；物体从O到B过程中，弹簧的弹性势能增加，物体的机械能减小，B错误；在整个过程中，只有重力势能、弹性势能、动能的相互转化，物体与弹簧组成的系统机械能守恒，C正确；在最低点，由简谐运动的对称性知加速度大于g，D正确。
2．（多项选择）（·全国卷Ⅱ）如图，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于O点，另一端与小球相连。
现将小球从M点由静止释放，它在下降的过程中经过了N点。
在M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM<∠OMN<
。
在小球从M点运动到N点的过程中（ ）
A．弹力对小球先做正功后做负功
B．有两个时刻小球的加速度等于重力加速度
C．弹簧长度最短时，弹力对小球做功的功率为零
D．小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差
答案：
BCD
[解析] 小球在从M点运动到N点的过程中，弹簧的压缩量先增大，后减小，到某一位置时，弹簧处于原长，再继续向下运动到N点的过程中，弹簧又伸长。
弹簧的弹力方向与小球速度方向的夹角先大于90°，再小于90°，最后又大于90°，因此弹力先做负功，再做正功，最后又做负功，A项错误；弹簧与杆垂直时，小球的加速度等于重力加速度，当弹簧的弹力为零时，小球的加速度也等于重力加速度，B项正确；弹簧长度最短时，弹力与小球的速度方向垂直，这时弹力对小球做功的功率为零，C项正确；由于在M、N两点处，弹簧的弹力大小相等，即弹簧的形变量相等，根据动能定理可知，小球从M点到N点的过程中，弹簧的弹力做功为零，重力做功等于动能的增量，即小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差，D项正确。
3．（·理综）如下图，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态。
现让圆环由静止开始下滑，弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L（未超过弹性限度），那么在圆环下滑到最大距离的过程中（ ）
A．圆环的机械能守恒
B．弹簧弹性势能变化了
mgL
C．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零
D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变
答案：
B
[解析] 圆环沿杆下滑的过程中，圆环与弹簧组成的系统动能、弹性势能、重力势能之和守恒，选项A、D错误；弹簧长度为2L时，圆环下落的高度h＝
L，根据机械能守恒定律，弹簧的弹性势能增加了ΔEp＝mgh＝
mgL，选项B正确；圆环下滑到最大距离时，具有向上的加速度，合力不为零，选项C错误。
4.（·高考）（多项选择）如下图，三个小球A、B、C的质量均为m，A与B、C间通过铰链用轻杆连接，杆长为L。
B、C置于水平地面上，用一轻质弹簧连接，弹簧处于原长。
现A由静止释放下降到最低点，两轻杆间夹角α由60°变为120°。
A、B、C在同一竖直平面内运动，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为g。
那么此下降过程中（ ）
A．A的动能到达最大前，B受到地面的支持力小于
mg
B．A的动能最大时，B受到地面的支持力等于
mg
C．弹簧的弹性势能最大时，A的加速度方向竖直向下
D．弹簧的弹性势能最大值为
mgL
答案 AB
解析 取A、B、C整体研究，三个小球皆静止时，地面对B、C球的弹力各为
mg，当A球下降时，只要A球未达最大速度，就有竖直向下的加速度，A球就处于失重状态，此时地面对B球的支持力小于
mg，A正确；A球的动能最大时，aA＝0，系统在竖直方向上F合＝0，那么地面对B球的弹力为
mg，B正确；弹簧的弹性势能最大时，对应着弹簧伸长量最大，A球运动到最低点，此时vA＝0，但aA≠0，加速度方向竖直向上，C错误；两杆间夹角由60°变为120°，A球下落的距离h＝Lsin60°－Lsin30°＝
L，A球重力势能的减少量为ΔEp＝
mgL，由能量转化知，弹簧的弹性势能最大值为
mgL，D错误。
5.如图，两根相同的轻质弹簧，沿足够长的光滑斜面放置，下端
固定在斜面底部挡板上，斜面固定不动。
质量不同、形状相同的两物块分别置于两弹簧上端。
现用外力作用在物块上，使两弹簧具有相同的压缩量，假设撤去外力后，两物块由静止沿斜面向上弹出并离开弹簧，那么从撤去外力到物块速度第一次减为零的过程，两物块（ ）
A．最大速度相同
B．最大加速度相同
C．上升的最大高度不同
D．重力势能的变化量不同
答案：
C
[解析] 此题考查了弹性势能与重力势能及动能的变化。
解题关键是各物理量所对应弹簧所处的状态及受力情况。
开始压缩量相同，弹力相同，释放瞬间两球加速度最大，由牛顿第二定律，kx0－mgsinθ＝mam，am＝
－gsinθ，由于两物块质量不同，因此最大加速度不同，因此B选项错误；当物块加速为零时，速度最大，那么kx＝mgsinθ，由能量转化与守恒定律，有
kx
＝
kx2＋
mv
，所以v
＝
－
，m越大，vm越小，两物块质量不同，最大速度不同，选项A错误；到达最大高度时速度为零，弹性势能转化为重力势能，那么
kx
＝mgh，h＝
，两物块质量不同，上升的最大高度不同，选项C正确；弹簧相同，开始压缩量相同，全过程释放的弹性势能完全转化为重力势能，即ΔEPG＝EPO，重力势能的变化量相同，选项D错误。
6.（多项选择）如下图，轻质弹簧的一端与固定的竖直板P连接，另一端与物体A相连，物体A置于光滑水平桌面上，A右端连接一细线，细线绕过光滑的定滑轮与物体B相连。
开始时托住B，让A处于静止状态且细线恰好伸直，然后由静止释放B，直至B获得最大速度。
以下有关该过程的分析正确的选项是（ ）
A．B受到细线的拉力保持不变
B．A、B组成的系统机械能不守恒
C．B机械能的减少量小于弹簧弹性势能的增加量
D．当弹簧的拉力等于B的重力时，A的动能最大
答案 BD
解析 对A有FT－kx＝mAa，对B有mBg－FT＝mBa，联立有mBg－kx＝（mA＋mB）a，由于弹簧的伸长量x逐渐变大，从开始到B速度到达最大的过程中，B的加速度逐渐减小，可知，此过程中细线的拉力逐渐增大，是变力，A错误；A、弹簧与B组成的系统机械能守恒，而A、B组成的系统机械能不守恒，B正确；B机械能的减少量等于A机械能的增加量与弹簧弹性势能的增加量之和，故B机械能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量，C错误；当弹簧的拉力等于B的重力时，B的速度最大，A的速度也到达最大，那么动能最大，D正确。
7.（·八省联考卷）（多项选择）如图，一顶角为直角的“
〞形光滑细杆竖直放置。
质量均为m的两金属环套在细杆上，高度相同，用一劲度系数为k的轻质弹簧相连，弹簧处于原长l0。
两金属环同时由静止释放，运动过程中弹簧的伸长在弹性限度内。
对其中一个金属环，以下说法正确的选项是
（ ）
A．金属环的最大加速度为
g
B．金属环的最大速度为g
C．金属环与细杆之间的最大压力为
mg
D．金属环到达最大速度时重力的功率为mg2
答案 BC
解析 根据对称性可知，在金属环运动过程中，弹簧始终水平，刚释放时，弹簧处于原长，弹力为0，金属环的加速度最大，金属环的最大加速度为am＝gsin45°＝
g，故A错误；设弹簧的伸长量为x1时金属环速度最大，根据平衡条件，沿杆方向有mgcos45°＝kx1cos45°，由机械能守恒定律得2mg·
tan45°＝
kx
＋
×（2m）v
，联立解得金属环的最大速度为v0＝g
，金属环到达最大速度时重力的功率为P＝mgv0cos45°＝
，故B正确，D错误；当金属环下落到最低点时，金属环速度为0，金属环与细杆之间的压力最大，设此时弹簧的形变量为x2，由机械能守恒定律得2mg
tan45°＝
kx
，对金属环进行受力分析，垂直于杆方向有FN＝mgsin45°＋kx2sin45°，可解得金属环与细杆之间的最大压力为FN＝
mg，故C正确。
8.如下图，质量均为m的小滑块P、Q通过铰链用长为L的轻杆连接，P套在固定的竖直光滑杆上，Q放在光滑水平地面上，轻杆与竖直方向夹角α＝30°，原长为
的轻弹簧水平放置，右端与Q相连，左端固定在竖直杆O点上。
P由静止释放，下降到最低点时α变为60°，整个运动过程中，P、Q始终在同一竖直平面内，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为g。
那么P下降过程中（ ）
A．P、Q组成的系统机械能守恒
B．P、Q的速度大小始终相等
C．弹簧弹性势能最大值为
mgL
D．P到达最大动能时，Q受到地面的支持力大小为mg
答案 C
解析 在P下滑的过程中，对P、Q组成的系统，弹簧弹力做负功，那么系统机械能减小，故A错误；将P、Q的速度进行分解，如下图，可得vPcosα＝vQsinα，即有vP＝vQtanα，仅当α＝45°时，vP＝vQ，故B错误；当P下降到最低点时，弹簧的弹性势能最大，对P、Q及弹簧组成的系统，根据机械能守恒定律，可得Epmax＝mg（Lcos30°－Lcos60°）＝
mgL，故C正确；P到达最大动能时，P的加速度为零，那么P、Q、轻杆组成的系统在竖直方向的加速度为零，对系统受力分析可得，此时Q受到地面的支持力大小等于P、Q的总重力，即2mg，故D错误。
9．如图甲所示，轻质弹簧的下端固定在倾角为θ的固定光滑斜面的底部，在弹簧的上端从静止开始释放0.5kg的小球，小球的加速度a与弹簧压缩量x间的关系如图乙所示。
重力加速度g取10m/s2，那么（ ）
A．斜面的倾角θ＝60°
B．弹簧的劲度系数为12.5N/m
C．小球最大的动能为0.25J
D．弹簧最大弹性势能为1J
答案 BCD
解析 由图可知，当弹簧压缩量x0＝0时，a0＝5m/s2，那么有a0＝gsinθ＝5m/s2，解得θ＝30°，故A错误；当弹簧压缩量x1＝20cm＝0.2m时，a1＝0，那么有mgsinθ－kx1＝0，解得k＝
＝
N/m＝12.5N/m，故B正确；在ax图像中，图线与x轴所围成的面积表示ax的大小，当x1＝0.2m时，a1＝0，此时小球的速度最大，由2ax＝v2可知，vm＝
m/s＝1m/s，那么小球最大的动能为Ekm＝
mv
＝0.25J，故C正确；由运动的对称性可知，当弹簧的压缩量为x2＝0.4m时，小球速度为零，此时弹簧的弹性势能最大，从最高点到弹簧压缩量为x2＝0.4m的位置，对系统由机械能守恒定律可得，弹簧最大弹性势能为Epm＝mgx2sin30°＝0.5×10×0.4×
J＝1J，故D正确。
10.（·中学高三下学期开学考试）如下图，物体A、B通过细绳及轻质弹簧连接在轻滑轮两侧，物体A、B的质量分别为2m、m，开始时细绳伸直，用手托着物体A使弹簧处于原长且A与地面的距离为h，物体B静止在地面上，放手后物体A下落，与地面即将接触时速度大小为v，此时物体B对地面恰好无压力，不计一切摩擦及空气阻力，重力加速度大小为g，那么以下说法中正确的选项是（ ）
A．物体A下落过程中，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒
B．弹簧的劲度系数为
C．物体A着地时的加速度大小为
D．物体A着地时弹簧的弹性势能为mgh－
mv2
答案 AC
解析 由题可知，物体A下落过程中，物体B一直静止不动，对于物体A和弹簧组成的系统，只有重力和弹簧弹力做功，那么物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，故A正确；物体A与地面即将接触时，物体B对地面恰好无压力，那么此时弹簧的弹力为T＝mg，开始时弹簧处于原长，由胡克定律知：
T＝kh，联立解得弹簧的劲度系数为k＝
，故B错误；物体A着地时，弹簧的弹力为T＝mg，那么细绳对A的拉力也等于mg，对A，根据牛顿第二定律得2mg－mg＝2ma，解得a＝
，故C正确；物体A与弹簧组成的系统机械能守恒，有：
2mgh＝Ep＋
×2mv2，解得Ep＝2mgh－mv2，故D错误。
11.如下图，光滑水平轨道AB与光滑半圆形轨道BC在B点相切连接，半圆轨道半径为R，轨道AB、BC在同一竖直平面内．一质量为m的物块在A处压缩弹簧，并由静止释放，物块恰好能通过半圆轨道的最高点C.物块在到达B点之前已经与弹簧别离，重力加速度为g.求：
（1）物块由C点平抛出去后在水平轨道上的落点到B点的距离；
（2）物块在B点时对半圆轨道的压力大小；
（3）物块在A点时弹簧的弹性势能．
答案
（1）2R
（2）6mg （3）
mgR
解析
（1）因为物块恰好能通过C点，那么有：
mg＝m
x＝vCt，2R＝
gt2
解得x＝2R
即物块在水平轨道上的落点到B点的距离为2R；
（2）物块由B到C过程中机械能守恒，
那么有
mv
＝2mgR＋
mv
设物块在B点时受到的半圆轨道的支持力为FN，
那么有：
FN－mg＝m
，
解得FN＝6mg
由牛顿第三定律可知，物块在B点时对半圆轨道的压力大小FN′＝FN＝6mg.
（3）由机械能守恒定律可知，物块在A点时弹簧的弹性势能为
Ep＝2mgR＋
mv
，解得Ep＝
mgR.
12．如下图，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上。
现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。
A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计。
开始时整个系统处于静止状态；释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面。
求：
（1）斜面的倾角α。
（2）球A获得的最大速度vm。
[答案]
（1）α＝30°
（2）vm＝2g
[解析]
（1）由题意可知，当A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面。
物体A的加速度此时为零
由牛顿第二定律：
4mgsinα－2mg＝0
那么：
sinα＝
α＝30°。
（2）由题意可知，A、B两小球及轻质弹簧组成的系统在初始时和A沿斜面下滑至速度最大时的机械能守恒，同时弹簧的弹性势能相等，故有：
2mg＝kΔx
4mgΔxsinα－mgΔx＝
（5m）v
得：
vm＝2g
。
13.一劲度系数为k＝100N/m的轻弹簧下端固定于倾角为θ＝53°的光滑斜面底端，上端连接物块Q。
一轻绳跨过O点的定滑轮，一端与物块Q连接，另一端与套在光滑竖直杆的物块P连接，定滑轮到竖直杆的距离为d＝0.3m。
初始时在外力作用下，物块P在A点静止不动，轻绳与斜面平行，绳子张力大小为50N。
物块P质量为m1＝0.8kg，物块Q质量为m2＝5kg，不计滑轮大小及摩擦，取g＝10m/s2。
现将物块P静止释放，求：
（1）物块P位于A点时，弹簧的伸长量x1；
（2）物块P上升h＝0.4m至与滑轮O等高的B点时的速度大小；
（3）物块P上升至B点过程中，轻绳拉力对其所做的功。
答案
（1）0.1m
（2）2
m/s （3）8J
解析
（1）物块P位于A点时，绳子张力T＝50N，设弹簧的伸长量为x1，
对物块Q受力分析有T＝m2gsinθ＋kx1，
解得x1＝0.1m。
（2）由几何知识可知，OB垂直于竖直杆，d＝0.3m，那么此时物块Q速度为零，下降的距离为
Δx＝
－d＝0.2m，
那么弹簧压缩量为x2＝0.2m－0.1m＝0.1m，那么P从A到B弹簧的弹性势能不变。
物块P从A到B，对系统根据机械能守恒定律有
m2g·Δx·sinθ－m1gh＝
m1v
，
代入数据可得vB＝2
m/s。
（3）设此过程轻绳拉力对P做的功为WT，对物块P由动能定理有WT－m1gh＝
m1v
－0，
代入数据得WT＝8J。
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