人教版文数高考一轮复习 第3章 第3节 三角函数的图象与性质.docx
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人教版文数高考一轮复习第3章第3节三角函数的图象与性质
第三节 三角函数的图象与性质
[考纲传真] (教师用书独具)1.能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象,了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等),理解正切函数在区间内的单调性.
(对应学生用书第42页)
[基础知识填充]
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]图象的五个关键点是:
(0,0),,(π,0),,(2π,0).
余弦函数y=cosx,x∈[0,2π]图象的五个关键点是:
(0,1),,(π,-1),,(2π,1).
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
函数
y=sinx
y=cosx
y=tanx
图象
定义域
R
R
值域
[-1,1]
[-1,1]
R
单调性
递增区间:
,
k∈Z,
递减区间:
,
k∈Z
递增区间:
[2kπ-π,2kπ],
k∈Z,
递减区间:
[2kπ,2kπ+π],
k∈Z
递增区间
,
k∈Z
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心
(kπ,0),k∈Z
对称中心
,
k∈Z
对称中心
,k∈Z
对称轴
x=kπ+,(k∈Z)
对称轴
x=kπ(k∈Z)
周期性
2π
2π
π
[知识拓展]
1.对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
2.奇偶性
若f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0),则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ=+kπ(k∈Z);
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z).
[基本能力自测]
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)正切函数y=tanx在定义域内是增函数.( )
(2)y=sin|x|是偶函数.( )
(3)函数y=sinx的图象关于点(kπ,0)(k∈Z)中心对称.( )
(4)已知y=ksinx+1,x∈R,则y的最大值为k+1.( )
[答案]
(1)×
(2)√ (3)√ (4)×
2.(2018·昆明模拟)函数f(x)=cos的图象关于( )
A.原点对称 B.y轴对称
C.直线x=对称D.直线x=-对称
A [函数f(x)=cos=-sin2x是奇函数,则图象关于原点对称,故选A.]
3.函数y=tan2x的定义域是( )
A.B.
C.D.
D [由2x≠kπ+,k∈Z,得x≠+,k∈Z,
∴y=tan2x的定义域为.]
4.(2018·长沙模拟)函数y=sin,x∈[-2π,2π]的单调递增区间是( )
A.B.和
C.D.
C [令z=x+,函数y=sinz的单调递增区间为(k∈Z),由2kπ-≤x+≤2kπ+得4kπ-≤x≤4kπ+,而x∈[-2π,2π],故其单调递增区间是,故选C.]
5.(教材改编)函数f(x)=4-2cosx的最小值是________,取得最小值时,x的取值集合为________.
【导学号:
79170091】
2 {x|x=6kπ,k∈Z} [f(x)min=4-2=2,此时,x=2kπ(k∈Z),x=6kπ(k∈Z),所以x的取值集合为{x|x=6kπ,k∈Z}.]
(对应学生用书第43页)
三角函数的定义域与值域
(1)(2016·全国卷Ⅱ)函数f(x)=cos2x+6cos(-x)的最大值为( )
A.4 B.5
C.6 D.7
(2)函数y=lg(sin2x)+的定义域为________.
(1)B
(2)∪ [
(1)∵f(x)=cos2x+6cos-x=cos2x+6sinx
=1-2sin2x+6sinx=-22+,
又sinx∈[-1,1],∴当sinx=1时,f(x)取得最大值5.故选B.
(2)由得
∴-3≤x<-或0<x<,
∴函数y=lg(sin2x)+的定义域为∪.]
[规律方法] 1.三角函数定义域的求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借助三角函数线或三角函数图象来求解.
2.求三角函数最值或值域的常用方法
(1)直接法:
直接利用sinx和cosx的值域求解.
(2)化一法:
把所给三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,由正弦函数单调性写出函数的值域.
(3)换元法:
把sinx,cosx,sinxcosx或sinx±cosx换成t,转化为二次函数求解.
[变式训练1]
(1)已知函数y=2cosx的定义域为,值域为[a,b],则b-a的值是( )
A.2 B.3
C.+2 D.2-
(2)求函数y=cos2x+sinx的最大值与最小值.
(1)B [∵x∈,∴cosx∈,∴y=2cosx的值域为[-2,1],
∴b-a=3.]
(2)令t=sinx,∵|x|≤,∴t∈,3分
∴y=-t2+t+1=-2+,
∴当t=时,ymax=,当t=-时,ymin=,7分
∴函数y=cos2x+sinx的最大值为,最小值为.12分
三角函数的单调性
(1)(2018·洛阳模拟)已知ω>0,函数f(x)=sin在上单调递减,则ω的取值范围是( )【导学号:
79170092】
A.B.
C.D.(0,2]
(2)函数f(x)=sin的单调减区间为________.
(1)A
(2)(k∈Z) [
(1)由<x<π得ω+<ωx+<πω+,由题意知ω+,πω+⊆,所以解得≤ω≤.
(2)由已知函数为y=-sin,欲求函数的单调减区间,只需求y=sin的单调增区间即可.
由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
故所求函数的单调减区间为(k∈Z).]
[规律方法] 1.求三角函数单调区间的两种方法
(1)求函数的单调区间应遵循简化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”.
(2)求形如y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的单调区间时,要视“ωx+φ”为一个整体,通过解不等式求解.若ω<0,应先用诱导公式化x的系数为正数,以防止把单调性弄错.
2.已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解.
[变式训练2]
(1)函数f(x)=tan的单调递增区间是________.
(2)若函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间上单调递增,在区间上单调递减,则ω=________.
(1)(k∈Z)
(2) [
(1)由-+kπ<2x-<+kπ(k∈Z),得-<x<+(k∈Z).
(2)∵f(x)=sinωx(ω>0)过原点,
∴当0≤ωx≤,即0≤x≤时,y=sinωx是增函数;
当≤ωx≤,即≤x≤时,y=sinωx是减函数.
由f(x)=sinωx(ω>0)在上单调递增,
在上单调递减知,=,∴ω=.]
三角函数的奇偶性、周期性、对称性
角度1 奇偶性与周期性的判断
(1)(2018·大连模拟)在函数:
①y=cos|2x|,②y=|cosx|,③y=cos2x+,④y=tan中,最小正周期为π的所有函数为( )
【导学号:
79170093】
A.②④ B.①③④
C.①②③D.①③
(2)函数y=1-2sin2是( )
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为的奇函数
D.最小正周期为的偶函数
(1)C
(2)A [
(1)①y=cos|2x|=cos2x,T=π.
②由图象知,函数的周期T=π.
③T=π.
④T=.
综上可知,最小正周期为π的所有函数为①②③.
(2)y=1-2sin2=cos2=-sin2x,所以f(x)是最小正周期为π的奇函数.]
角度2 求三角函数的对称轴、对称中心
(2016·安徽江南十校3月联考)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为4π,且对任意x∈R,都有f(x)≤f成立,则f(x)图象的一个对称中心的坐标是( )
A.B.
C.D.
A [由f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为4π,得ω=.因为f(x)≤f恒成立,所以f(x)max=f,
即×+φ=+2kπ(k∈Z),
所以φ=+2kπ(k∈Z),由|φ|<,
得φ=,故f(x)=sin.
令x+=kπ(k∈Z),
得x=2kπ-(k∈Z),故f(x)图象的对称中心为(k∈Z),当k=0时,f(x)图象的一个对称中心的坐标为,故选A.]
角度3 三角函数对称性的应用
(1)如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点中心对称,那么|φ|的最小值为( )
A.B.
C.D.
(2)已知函数f(x)=sinx+acosx的图象关于直线x=对称,则实数a的值为
( )
A.-B.-
C.D.
(1)A
(2)B [
(1)由题意得3cos
=3cos=3cos=0,
∴+φ=kπ+,k∈Z,
∴φ=kπ-,k∈Z,取k=0,得|φ|的最小值为.
(2)由x=是f(x)图象的对称轴,可得f(0)=f,
即sin0+acos0=sin+acos,解得a=-.]
[规律方法] 1.对于函数y=Asin(ωx+φ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线x=x0或点(x0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断.
2.求三角函数周期的方法:
(1)利用周期函数的定义.
(2)利用公式:
y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为.
(3)借助函数的图象.