江西省吉安市西路片七校届高三上学期第一次联考数学.docx
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江西省吉安市西路片七校届高三上学期第一次联考数学
江西省吉安市西路片七校2018届高三上学期第一次联考数学（理）试卷
学校：
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、选择题
1.已知全集,集合,集合,那么（ ）
A.
B.
C.
D.
2.若复数,其中为虚数单位,则复数的虚部是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.若等差数列的公差为,且是与的等比中项,则该数列的前项和取最小值时,的值等于（ ）
A.7 B.6 C.5 D.4
4.已知上的奇函数满足:
当时,,则（ ）
A.1 B.-1 C.2 D.-2
5.下列命题正确的个数为（ ）
①“都有”的否定是“使得”;
②“”是“”成立的充分条件;
③命题“若,则方程有实数根”的否命题为真命题.
A.
B.
C.
D.
6.函数的图象大致是（ ）
A.
B.
C.
D.
7.某几何体的三视图如图所示（单位:
）,则该几何体的体积等于（ ）
A.
B.
C.
D.
8.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:
“我有一壶酒,携着游春走,遇店添一倍,逢友饮一斗,店友经三处,没了壶中酒,借问此壶中,当原多少酒?
”用程序框图表达如图所示,即最终输出的,则一开始输入的的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
9.对锐角若,则（ ）
A.
B.
C.
D.
10.如图所示,在梯形中,,点为的中点,若向量在向量上的投影为,则（ ）
A.
B.
C.
D.
11.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点,为坐标原点.若双曲线的离心率为,的面积为,则（ ）
A.
B.
C.
D.
12.已知函数若关于的方程恰有四个不相等的实数根,则实数的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
13.若某学校要从名男生和名女生中选出人作为上海世博会的志愿者,则选出的志愿者中男女生均不少于名的概率是__________.（结果用最简分数表示）
14.,则展开式中,项的系数为__________.
15.已知满足的最大值为,若正数满足,则的最小值为__________.
16.正三角形的边长为,将它沿高翻折,使点与点间的距离为,此时四面体的外接球的表面积为__________.
三、解答题
17.等差数列的前项和为,数列是等比数列,满足,
1.求数列和的通项公式;
2.令,设数列的前项和为,求.
18.已知向量,,设函数,若函数的图象关于直线对称且.
1.求函数的单调递减区间;
2.在中,角的对边分别是,若,,求的最大值.
19.高考改革新方案,不分文理科,高考成绩实行“”的构成模式,第一个“”是语文、数学、外语,每门满分分,第二个“”由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物个科目中自主选择其中个科目参加等级性考试,每门满分分,高考录取成绩卷面总分满分分.为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况,“将市某一届学生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体,从学生群体中随机抽取了名学生进行调查,他们选考物理,化学,生物的科目数及人数统计表如下:
选考物理、化学、生物的科目数
1
2
3
人数
5
25
20
1.从所调查的名学生中任选名,求他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率;
2.从所调查的名学生中任选名,记表示这名学生选考物理、化学、生物的科目数量之差的绝对值,求随机变量的分布列和数学期望;
3.将频率视为概率,现从学生群体中随机抽取名学生,记其中恰好选考物理、化学、生物中的两科目的学生数记作,求事件“”的概率.
20.如图,四棱锥中,平面平面,底面为等腰梯形,,,,为正三角形.
1.求证:
平面;
2.设的中点为,求平面与平面所成二面角的平面角的余弦值.
21.已知椭圆的离心率为,、分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上除长轴端点外的任意一点,且的周长为.
1.求椭圆的方程;
2.过点作直线与椭圆交于、两点,点满足（为原点）,求四边形面积的最大值,并求此时直线的方程.
22.已知函数.
1.当时,求函数的单调递增区间;
2.当时,求函数在上的最小值;
3.记函数的图象为曲线,设点是曲线上的不同两点,点为线段的中点,过点作轴的垂直交曲线于点,判断曲线在点处的切线是否平行于直线,并说明理由.
参考答案
一、选择题
1.答案：
B
解析：
2.答案：
A
解析：
3.答案：
B
解析：
4.答案：
B
解析：
5.答案：
B
解析：
6.答案：
D
解析：
7.答案：
C
解析：
8.答案：
D
解析：
9.答案：
C
解析：
10.答案：
B
解析：
11.答案：
A
解析：
12.答案：
B
解析：
二、填空题
13.答案：
解析：
14.答案：
解析：
15.答案：
解析：
16.答案：
解析：
三、解答题
17.答案：
1.设数列的公差为,数列的公比为,则
由得解得
所以,
2.由1可知
①
②
①-②得:
解析：
18.答案：
1.
函数的图象关于直线对称,则
则,且,则
∴,令,解得
∴函数的单调递减区间为.
2.,且是内角,∴,则,
所以,则,
∵,由余弦定理
则,而,所以,
当且仅当时,所以的最大值为
解析：
19.答案：
1.记“所选取的名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件则
所以他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率为
2.由题意可知的可能取值分别为
从而的分布列为
3.所调查的名学生中物理、化学、生物选考两科目的学生有名
相应的概率为,所以~
所以事件“”的概率为
解析：
20.答案：
1.在等腰梯形中,过点作于点,
如图所示:
有∴在中,有,即
又因为平面平面且交线为,∴平面
2.由平面平面,且为正三角形,为的中点,
∴,得平面.如图所示,以为坐标原点,所在直线为轴,
所在直线为轴,过点平行于所在直线为轴,建立空间直角坐标系.
由条件,则,,..
则,,,.
在等腰梯形中,过点作的平行线交延长线于点如图所示:
则在中,有,,∴.
（另解:
可不做辅助线,利用求点坐标）
∴,,设平面的法向量
则 ,取,则,,
∴面的法向量.
同理有,,设平面的法向量
则 ,取,则,,
∴面的法向量.
设平面与平面所成二面角的平面角为,
∴.
即平面与平面所成二面角的余弦值为.
解析：
21.答案：
1.
又的周长为,
椭圆的方程为
2.∵,∴四边形为平行四边形,
显然直线的斜率存在,设的方程为,
把代入得,
由得,
∴,,
∵
∴,
令,∴,
∴
当且仅当,即时取等号,∴,此时的方程为.
解析：
22.答案：
1.∵,
∵,解,得的单调增区间为
2.当时,由,得
①当,即时,在上是减函数,
在上的最小值为.
②当,即时,在上是减函数,在上是增函数,
的最小值为.
③当,即时,在上是增函数,
的最小值为.
综上,函数在区间上的最小值为:
3.设则点的横坐标为,
直线的斜率
曲线在点处的切线斜率,
假设曲线在点处的切线平行于直线,则,
即,
不妨设,则,
令,则,
∴在上是增函数,又,即不成立,
∴曲线在点处的切线不平行于直线.
解析：
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