opengl之曲线和曲面.docx

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opengl之曲线和曲面之曲线和曲面计算机图形学中，所有的光滑曲线、曲面都采用线段或三角形逼近来模拟，但为了精确地表现曲线，通常需要成千上万个线段或三角形来逼近，这种方法对于计算机的硬件资源有相当高的要求。

然而，许多有用的曲线、曲面在数学上只需要用少数几个参数（如控制点等）来描述。

这种方法所需要的存储空间比线段、三角形逼近的方法来所需要的空间要小得多，并且控制点方法描述的曲线、曲面比线段、三角形逼近的曲线、曲面更精确。

为了说明如何在OpenGL中绘制复杂曲线和曲面，我们对上述两类比方法都进行了介绍。

下面我们先来介绍有关基础知识，然后再看是如何实现的吧。

一、曲线的绘制OpenGL通过一种求值器的机制来产生曲线和曲面，该机制非常灵活，可以生成任意角度的多项式曲线，并可以将其他类型的多边形曲线和曲面转换成贝塞尔曲线和曲面。

这些求值器能在任何度的曲线及曲面上计算指定数目的点。

随后，OpenGL利用曲线和曲面上的点生成标准OpenGL图元，例如与曲线或曲面近似的线段和多边形。

由于可让OpenGL计算在曲线上所需的任意数量的点，因此可以达到应用所需的精度。

对于曲线，OpenGL中使用glMap1*（）函数来创建一维求值器，该函数原型为：

voidglMap1fd（GLenumtarget,TYPEu1,TYPEu2,GLintstride,GLintorder,constTYPE*points）;函数的第一个参数target指出控制顶点的意义以及在参数points中需要提供多少值，具体值见表一所示。

参数points指针可以指向控制点集、RGBA颜色值或纹理坐标串等。

例如若target是GL_MAP1_COLOR_4，则就能在RGBA四维空间中生成一条带有颜色信息的曲线，这在数据场可视化中应用极广。

参数u1和u2，指明变量U的范围，U一般从0变化到1。

参数stride是跨度，表示在每块存储区内浮点数或双精度数的个数，即两个控制点间的偏移量，比如上例中的控制点集ctrpoint43的跨度就为3，即单个控制点的坐标元素个数。

函数参数order是次数加1，叫阶数，与控制点数一致。

参数意义GL_MAP1_VERTEX_3x,y,z顶点坐标GL_MAP1_VERTEX_4x,y,z,w顶点坐标GL_MAP1_INDEX颜色表GL_MAP1_COLOR_4R,G,B,AGL_MAP1_NORMAL法向量GL_MAP1_TEXTURE_COORD_1s纹理坐标GL_MAP1_TEXTURE_COORD_2s,t纹理坐标GL_MAP1_TEXTURE_COORD_3s,t,r纹理坐标GL_MAP1_TEXTURE_COORD_4s,t,r,q纹理坐标表一、参数target的取值表使用求值器定义曲线后，必须要启动求值器，才能进行下一步的绘制工作。

启动函数仍是glEnable（），其中参数与glMap1*（）的第一个参数一致。

同样，关闭函数为glDisable（），参数也一样。

一旦启动一个或多个求值器，我们就可以构造近似曲线了。

最简单的方法是通过调用计算坐标函数glEvalcoord1*（）替换所有对函数glVertex*（）的调用。

与glVertex*（）使用二维、三维和四维坐标不同，glEvalcoord1*（）将u值传给所有已启动的求值器，然后由这些已启动的求值器生成坐标、法向量、颜色或纹理坐标。

OpenGL曲线坐标计算的函数形式如下：

voidglEvalCoord1fdv（TYPEu）;该函数产生曲线坐标值并绘制。

参数u是定义域内的值，这个函数调用一次只产生一个坐标。

在使用glEvalCoord1*（）计算坐标，因为u可取定义域内的任意值，所以由此计算出的坐标值也是任意的。

使用glEvalCoord1*（）函数的优点是，可以对U使用任意值，然而，如果想对u使用N个不同的值，就必须对glEvalCoord1*（）函数执行N次调用，为此，OpenGL提供了等间隔值取值法，即先调用glMapGrid1*（）定义一个间隔相等的一维网格，然后再用glEvalMesh1（）通过一次函数执行，将求值器应用在网格上，计算相应的坐标值。

下面详细解释这两个函数：

1、voidglMapGrid1fd（GLintn,TYPEu1,TYPEu2）;定义一个网格，从u1到u2分为n步，它们是等间隔的。

实际上，这个函数定义的是参数空间网格。

2、voidglEvalMesh1（GLenummode,GLintp1,GLintp2）;计算并绘制坐标点。

参数mode可以是GL_POINT或GL_LINE，即沿曲线绘制点或沿曲线绘制相连的线段。

这个函数的调用效果同在p1和p2之间的每一步给出一个glEvalCoord1（）的效果一样。

从编程角度来说，除了当i=0或i=n，它准确以u1或u2作为参数调用glEvalCoord1（）之外，它等价于一下代码：

glBegin（GL_POINT）;/*glBegin（GL_LINE_STRIP）;*/for（i=p1;i=p2;i+）glEvalCoord1（u1+i*（u2-u1）/n）;glEnd（）;为了进一步说明OpenGL中曲线的绘制方法。

下面我们来看一个简单的例子，这是用四个控制顶点来画一条三次Bezier曲线。

程序如下（注：

这是本讲座中提供的第一个完整的OpenGL实例代码，如果读者朋友对整个程序结构有些迷惑的话，也不要紧，慢慢地往下看，先有一个感官上的印象，主要是掌握如何实现曲线绘制这一部分。

关于OpenGL的程序整体结构实现，笔者将在第五讲中专门阐述）：

#includeglos.h#include#include#includevoidmyinit（void）;voidCALLBACKmyReshape（GLsizeiw,GLsizeih）;voidCALLBACKdisplay（void）;GLfloatctrlpoints43=-4.0,-4.0,0.0,-2.0,4.0,0.0,2.0,-4.0,0.0,4.0,4.0,0.0;voidmyinit（void）glClearColor（0.0,0.0,0.0,1.0）;glMap1f（GL_MAP1_VERTEX_3,0.0,1.0,3,4,&ctrlpoints00）;glEnable（GL_MAP1_VERTEX_3）;glShadeModel（GL_FLAT）;voidCALLBACKdisplay（void）inti;glClear（GL_COLOR_BUFFER_BIT）;glColor3f（1.0,1.0,1.0）;glBegin（GL_LINE_STRIP）;for（i=0;i=30;i+）glEvalCoord1f（GLfloat）i/30.0）;glEnd（）;/*显示控制点*/glPointSize（5.0）;glColor3f（1.0,1.0,0.0）;glBegin（GL_POINTS）;for（i=0;i4;i+）glVertex3fv（&ctrlpointsi0）;glEnd（）;glFlush（）;voidCALLBACKmyReshape（GLsizeiw,GLsizeih）glViewport（0,0,w,h）;glMatrixMode（GL_PROJECTION）;glLoadIdentity（）;if（w=h）glOrtho（-5.0,5.0,-5.0*（GLfloat）h/（GLfloat）w,5.0*（GLfloat）h/（GLfloat）w,-5.0,5.0）;elseglOrtho（-5.0*（GLfloat）w/（GLfloat）h,5.0*（GLfloat）w/（GLfloat）h,-5.0,5.0,-5.0,5.0）;glMatrixMode（GL_MODELVIEW）;glLoadIdentity（）;二、曲面构造曲面的绘制方法基本上与曲线的绘制方法是相同的，所不同的是曲面使用二维求值器，并且控制点连接起来形成一个网格。

对于曲面，求值器除了使用二个参数U、V之外，其余与一维求值器基本相同。

顶点坐标、颜色、法线矢量和纹理坐标都对应于曲面而不是曲线。

在OpenGL中定义二维求值器的函数是：

voidglMap2fd（GLenumtarget,TYPEu1,TYPEu2,GLintustride,GLintuorder,TYPEv1,TYPEv2,GLintvstride,GLintvorder,TYPEpoints）;参数target可以是表一中任意值，不过需将MAP1改为MAP2。

同样，启动曲面的函数仍是glEnable（），关闭是glDisable（）。

u1、u2为u的最大值和最小值；v1、v2为v的最大值和最小值。

参数ustride和vstride指出在控制点数组中u和v向相邻点的跨度，即可从一个非常大的数组中选择一块控制点长方形。

例如，若数据定义成如下形式：

GLfloatctlpoints1001003;并且，要用从ctlpoints2030开始的4x4子集，选择ustride为100*3，vstride为3，初始点设置为ctlpoints20300。

最后的参数都是阶数，uorder和vorder，二者可以不同。

曲面坐标计算函数为：

voidglEvalCoord2fdv（TYPEu,TYPEv）;该函数产生曲面坐标并绘制。

参数u和v是定义域内的值。

下面看一个绘制Bezier曲面的例子：

/*控制点的坐标*/GLfloatctrlpoints443=-1.5,-1.5,2.0,-0.5,-1.5,2.0,0.5,-1.5,-1.0,1.5,-1.5,2.0,-1.5,-0.5,1.0,-0.5,1.5,2.0,0.5,0.5,1.0,1.5,-0.5,-1.0,-1.5,0.5,2.0,-0.5,0.5,1.0,0.5,0.5,3.0,1.5,-1.5,1.5,-1.5,1.5,-2.0,-0.5,1.5,-2.0,0.5,0.5,1.0,1.5,1.5,-1.0;voidmyinit（void）glClearColor（0.0,0.0,0.0,1.0）;glMap2f（GL_MAP2_VERTEX_3,0,1,3,4,0,1,12,4,&ctrlpoints000）;glEnable（GL_MAP2_VERTEX_3）;glMapGrid2f（20,0.0,1.0,20,0.0,1.0）;glEnable（GL_DEPTH_TEST）;voidCALLBACKdisplay（void）inti,j;glClear（GL_COLOR_BUFFER_BIT|GL_DEPTH_BUFFER_BIT）;glColor3f（0.3,0.6,0.9）;glPushMatrix（）;glRotatef（35.0,1.0,1.0,1.0）;for（j=0;j=8;j+）glBegin（GL_LINE_STRIP）;for（i=0;i=30;i+）glEvalCoord2f（GLfloat）i/30.0,（GLfloat）j/8.0）;glEnd（）;glBegin（GL_LINE_STRIP）;for（i=0;i=30;i+）glEvalCoord2f（GLfloat）j/8.0,（GLfloat）i/30.0）;glEnd（）;glPopMatrix（）;glFlush（）;OpenGL中定义均匀间隔的曲面坐标值的函数与曲线的类似，其函数形式为：

voidglMapGrid2fd（GLenumnu,TYPEu1,TYPEu2,GLenumnv,TYPEv1,TYPEv2）;voidglEvalMesh2（GLenummode,GLintp1,GLintp2,GLintq1,GLintq2）;第一个函数定义参数空间的均匀网格，从u1到u2分为等间隔的nu步，从v1到v2分为等间隔的nv步，然后glEvalMesh2（）把这个网格应用到已经启动的曲面计算上。

第二个函数参数mode除了可以是GL_POINT和GL_LINE外，还可以是GL_FILL，即生成填充空间曲面。

下面举出一个用网格绘制一个经过光照和明暗处理的Bezier曲面的例程：

#includeglos.h#include#include#includevoidmyinit（void）;voidinitlights（void）;voidCALLBACKmyReshape（GLsizeiw,GLsizeih）;voidCALLBACKdisplay（void）;/*控制点坐标*/GLfloatctrlpoints443=-1.5,-1.5,2.0,-0.5,-1.5,2.0,0.5,-1.5,-1.0,1.5,-1.5,2.0,-1.5,-0.5,1.0,-0.5,1.5,2.0,0.5,0.5,1.0,1.5,-0.5,-1.0,-1.5,0.5,2.0,-0.5,0.5,1.0,0.5,0.5,3.0,1.5,-1.5,1.5,-1.5,1.5,-2.0,-0.5,1.5,-2.0,0.5,0.5,1.0,1.5,1.5,-1.0;voidinitlights（void）GLfloatambient=0.4,0.6,0.2,1.0;GLfloatposition=0.0,1.0,3.0,1.0;GLfloatmat_diffuse=0.2,0.4,0.8,1.0;GLfloatmat_specular=1.0,1.0,1.0,1.0;GLfloatmat_shininess=80.0;glEnable（GL_LIGHTING）;glEnable（GL_LIGHT0）;glLightfv（GL_LIGHT0,GL_AMBIENT,ambient）;glLightfv（GL_LIGHT0,GL_POSITION,position）;glMaterialfv（GL_FRONT,GL_DIFFUSE,mat_diffuse）;glMaterialfv（GL_FRONT,GL_SPECULAR,mat_specular）;glMaterialfv（GL_FRONT,GL_SHININESS,mat_shininess）;voidCALLBACKdisplay（void）glClear（GL_COLOR_BUFFER_BIT|GL_DEPTH_BUFFER_BIT）;glPushMatrix（）;glRotatef（35.0,1.0,1.0,1.0）;glEvalMesh2（GL_FILL,0,20,0,20）;glPopMatrix（）;glFlush（）;voidmyinit（void）glClearColor（0.0,0.0,0.0,1.0）;glEnable（GL_DEPTH_TEST）;glMap2f（GL_MAP2_VERTEX_3,0,1,3,4,0,1,12,4,&ctrlpoints000）;glEnable（GL_MAP2_VERTEX_3）;glEnable（GL_AUTO_NORMAL）;glEnable（GL_NORMALIZE）;glMapGrid2f（20,0.0,1.0,20,0.0,1.0）;initlights（）;voidCALLBACKmyReshape（GLsizeiw,GLsizeih）glViewport（0,0,w,h）;glMatrixMode（GL_PROJECTION）;glLoadIdentity（）;if（w=h）glOrtho（-4.0,4.0,-4.0*（GLfloat）h/（GLfloat）w,4.0*（GLfloat）h/（GLfloat）w,-4.0,4.0）;elseglOrtho（-4.0*（GLfloat）w/（GLfloat）h,4.0*（GLfloat）w/（GLfloat）h,-4.0,4.0,-4.0,4.0）;glMatrixMode（GL_MODELVIEW）;glLoadIdentity（）;voidmain（void）auxInitDisplayMode（AUX_SINGLE|AUX_RGBA）;auxInitPosition（0,0,500,500）;auxInitWindow（LightedandFilledBezierSurface）;myinit（）;auxReshapeFunc（myReshape）;auxMainLoop（display）;三、图元逼近法绘制三维物体在OpenGL的辅助库中，提供了绘制11种基本几何图形的函数，具体参考第一讲的有关内容，在此不再赘述。

这里我们讨论用另外一种方法来绘制三维物体。

需要注意的是，这里我们用来近似曲面的多边形最好选择三角形，而不是四边形或其他形状的多边形，这是因为三角形的三个顶点在任何时候都位于同一平面内，它一定是非常简单的非凹多边形，而四边形或其他多边形的顶点可能不在同一平面内，也就有可能不是简单多边形，对于这样的多边形，OpenGL是不能正常处理的。

假设我们绘制一个球体，球体表面用很多个小三角形拼接而成，显然，用来近似球面的三角形越小、三角形越多，那么球面就越光滑。

为了简要地说明如何用三角形逼近球体，这里我们使用三角形来构造一个20面体，二十面体的顶点坐标定义在vdata数组中，tindinces数组定义了构成二十面体的二十个三角形顶点的绘制顺序。

下面是主要实现代码：

#definex5.25731#definez8.50651staticGLfloatvdata123=x,0.0,z,x,0.0,z,-x,0.0,-z,x,0.0,-z,0.0,z,x,0.0,z,-x,0.0,-z-x,0.0,-z,-x,z,x,0.0,-z,x,0.0,z,-x,0.0,-z,-x,0.0;staticGLinttindices203=0,4,1,0,9,4,9,5,4,4,5,8,4,8,1,8,10,1,8,3,10,5,3,8,5,2,3,2,7,3,7,10,3,7,6,10,7,11,6,11,0,6,6,1,10,9,0,11,9,11,2,9,2,5,7,2,11;glColor3f（1.0,0.0,0.0）;for（inti=0;i20;i+）glBegin（GL_TRIANGLES）;glVertex3fv（&vdatatindicesi00）;glVertex3fv（&vdatatindicesi10）;glVertex3fv（&vdatatindicesi20）;glEnd（）;显然，用正二十面体来表示一个球体显得过于粗糟，可以通过增加面数的方法使正多面体和求更为接近，一种简单的方法是剖分法，即将前面定义的三角形面分成几个面，例如，一分为四，形成4个多边形等，具体实现方法这里就不再赘述了。