完整word版高一数学必修一函数复习docx.docx

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函数的有关概念

1．函数的概念：

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中

的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：

A→B为从集合

A到集合B的一个函数．记作：

y=f（x）

，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做

函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|

x∈A}叫做函数的

值域．

例1．集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从

A到B的函数是（

）

A．f:

xy

1

y

1

C．f:

x

y

2

yx

xB．f:

x

x

xD．f:

x

2

3

3

例2．某物体一天中的温度是时间

t的函数：

T（t）t3

3t

60，时间单位是小时，温度单位为℃，t0

表示12:

00，其后t的取值为正，则上午

8时的温度为（

）

A．8℃

B．112℃

C．58℃

D．18℃

例3．函数y

f（x）的图象与直线x

a的交点个数有（

）

A．必有一个

B．一个或两个

C．至多一个

D．可能两个以上

2．定义域：

能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

（1）分式的分母不等于零；

（2）偶次方根的被开方数不小于零；

（3）对数式的真数必须大于零；

（4）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

（5）指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

（6）指数为零底不可以等于零，

（7）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

例3．函数y＝x＋1＋

1x的定义域是

A．（-1，1）

B．[0，1]C

．[-1，1]

D．（-，-1）（1，+

）

1

例4．函数y＝x＋1＋2－x的定义域是（用区间表示）________．

1

例5.

求函数y＝x＋x2－4

的定义域．

例6.

已知函数f（x）x2

x1

（1）求f

（2）

（2）求f（1

1）（3）若f（x）

5,求x的值.

x

3.相同函数的判断方法：

（满足以下两个条件）①定义域一致（化简前）②表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；

例7.下列各题中两个函数是否表示同一函数

?

（1）f（x）

1,g（x）x0

（）

（2）f（x）

x2

4

g（x）x

2

（

）

x

2

（3）f（x）

x2

2x,g（t）t2

2t（）

（4）f（x）|x1|,g（x）

x1（x1）

（）

1

x（x

1）

4．值域：

先考虑其定义域

b（a,b0）

（1）图像观察法（掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、yax

x

1

三角函数等的图像，利用函数单调性）

（2）基本不等式

（3）换元法

（4）判别式法

例8.下列函数中值域是（0,+

）的是

A．y

2x1（x0）

B．yx2

C．y

1

1

D．2（x0）

例9.求下列函数的值域:

x2

x

（1）y

2x4

（2）yx2

4x6,x

[1,5）（3）

y

1

x2,x{2,1,0,1,2}

x3

5.函数图象知识归纳

（1）定义：

在平面直角坐标系中，以函数y=f（x）,（x∈A）中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P（x，y）的集合C，叫做函数y=f（x）,（x∈A）的图象．C上每一点的坐标（x，y）均满足函数关系y=f（x），反过来，以满足y=f（x）的每一组有序实数对x、y为坐标的点（x，y）均在C上.

（2）画法

描点法

图象变换法：

常用变换方法有三种：

平移变换伸缩变换对称变换

例10.函数f（x）的图象经过点（1,1）,则函数f（x4）的图象过点

6．区间的概念

（1）区间的分类：

开区间、闭区间、半开半闭区间

（2）无穷区间

（3）区间的数轴表示．

7．映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的

任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：

AB为从

集合A到集合B的一个映射。

记作“f（对应关系）：

A（原象）B（象）”

对于映射f：

A→B来说，则应满足：

（1）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；

（2）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；

（3）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

8．分段函数

（1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

（2）各部分的自变量的取值情况．

（3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．

x2＋3

（x＞0），

例11．已知f（x）＝1

（x＝

0），

则f（f（f（－4）））

＝（）

x＋4

（x＜

0）.

A．－4

B．4C．3

D．－3

2x

1（x

1）

例12.已知函数f（x）

2x（x

x2

1）

2

（1）试比较f（f（3））与f（f（3））的大小.

（2）若f（a）3,求a的值.

例13.画出下列函数的图象

并写出值域.

（1）f（x）|x|

（2）f（x）

|x2

2x|（3）f（x）|x5||x3|

9．复合函数

如果y=f（u）（u∈M）,u=g（x）（x∈A）,则y=f[g（x）]=F（x）（x∈A）称为f、g的复合函数。

函数的性质

1．函数的单调性（局部性质）

（1）增函数

设函数y=f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

（2）减函数

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

注意：

函数的单调性是函数的局部性质；

（3）图象的特点

如果函数y=f（x）在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降

的。

（4）函数单调区间与单调性的判定方法

（A）定义法：

○1任取x1，x2∈D，且x1

○2作差f（x1）－f（x2）；

○3变形（通常是因式分解和配方）；

○4定号（即判断差f（x1）－f（x2）的正负）；

○5下结论（指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）．

（B）图象法（从图象上看升降）

（C）导数法

（C）复合函数的单调性

复合函数f[g（x）]的单调性与构成它的函数u=g（x），y=f（u）的单调性相关，规律：

“同增异减”

注意：

函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间写成其并集.

例1.

函数f（x）=ax

2-（5a-2）x-4

在2,

上是增函数,则a的取值范围是______________.

例2.

判断函数y

x

4

2，

上的单调性,并用定义证明.

在在

x

例3.

已知函数f（x）是定义在[

1,1]上的增函数,且f（x1）f（1

3x）,求x的取值范围.

2．函数的奇偶性（整体性质）

（1）偶函数

3

一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（-x）=f（x），那么f（x）就叫做偶函数。

（2）奇函数

一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（-x）=-f（x），那么f（x）叫做奇函数。

注：

如果奇函数在x=0处有定义，则f（0）=0

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；

奇函数的图象关于原点对称．

（4）函数奇偶性判定方法：

（A）定义法

○1

首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；

○2

求出f（-x），与f（x）进行比较；

○3

作结论：

若f（-x）=f（x）

，则f（x）是偶函数；若f（-x）=-f（x）

，则f（x）是奇函数．

注意：

函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，再根据定义判定。

（B）借助函数的图象判定.

例4．判断下列函数的奇偶性

①f（x）x31；

②f（x）2x112x；

x

1x2

③f（x）x4

x；

f（x）

④

|x2|2。

3、函数的解析表达式

（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

（2）求函数的解析式的主要方法有：

凑配法、待定系数法、换元法、构造法

例10.已知f（2x）2x,则f（x）

A．2xB．xC．xD．4x

2

例11.定义域为R的函数f（x）满足f（x）2f（x）2x1，则f（x）＝（）

11

A．－2x＋1B．2x－3C．2x－1D．－2x＋3

例12.已知f（x）是二次函数,f（0）0,f（x1）f（x）x1,求f（x）.

4、函数最大（小）值

（1）一般的，设函数yf（x）的定义域为I，如果存在实数M满足

（a）对于任意的xI,都有f（x）M；

（b）存在x0I，使得f（x0）M

那么称M为yf（x）的最大值。

（2）求函数最值的方法

○1利用二次函数的性质（配方法）

4

○2

利用图象求函数的最大（小）值

○3

利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：

如果函数y=f（x）

在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数

y=f（x）在x=b处有最大值f（b）；

如果函数y=f（x）

在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数

y=f（x）在x=b处有最小值f（b）；

1.当x[0,5]时,函数f（x）3x2

4x

1的值域为

A.

[f（0）,

f（5）]B.

[f（0）,f

（2）]

C.

[f

（2）,

f（5）]D.（f（0）,f（5）]

1

3

3

2.函数f（x）

x

在区间[2,6]上的最大值和最小值分别是

1,1

1

1

1

1

A.

B.

1,

C.

1

D.

1,

5

5

7

7

3.函数f（x）2x1x的值域是

A.[1

）

B.

（,1

]

C.

（0,）

D.

[1,）

2

2

2x,0x1

4.f（x）2,1x2的值域是

3,x

2

A.R

B.

[0,3]

C.

[0,）D.[0,2]{3}

5.若0

t

1

则代数式

1

t的最小值是

4

t

A.

2

B.

15

C.2

D.0

4

5

函数的概念

一、选择题

1．集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数是（）

A．f:

x

y

1x

B．f:

x

y

1x

C．f:

x

y

2x

D．f:

x

yx

2

3

3

2．某物体一天中的温度是时间

t的函数：

T（t）t3

3t

60，时间单位是小时，温度单位为℃，t0

表示12:

00

，其后t的取值为正，则上午

8时的温度为（

）

A．8℃

B．112℃C．58℃

D．18℃

3．函数y＝

x＋1＋

1x的定义域是

A．（-1，1）

B．[0，1]

C．[-1，1]

D．（-

，-1）（1，+

）

4．函数yf（x）的图象与直线

x

a的交点个数有（

）

A．必有一个

B．一个或两个

C．至多一个

D．可能两个以上

5．函数

f（x）

ax2

1

的定义域为R，则实数

a

的取值范围是

（）

4ax3

A．

R

B．[0,3]

C

．[3,

）

D．[0,3）

4

4

4

二、填空题

6．某种茶杯，每个

2.5元，把买茶杯的钱数

y（元）表示为茶杯个数

x（个）的函数，则y＝________，

其定义域为________．

1

7．函数y＝

x＋1＋2－x的定义域是（用区间表示）________．

三、解答题

1

8.求函数y＝x＋x2－4的定义域．

9.已知函数f（x）的定义域为[0，1]，求函数f（x

a）

f（x

a）的定义域

（其中

0a

1

）.

1

2

10.已知函数f（x）x2

x

1

（1）

求f

（2）

（2）求f（

1）（3）若f（x）

5,求x的值.

x

函数相等、函数的值域

1.下列各题中两个函数是否表示同一函数

?

（2）f（x）

1,g（x）x0

（）

（2）f（x）

x2

4

g（x）x

2

（）

x

2

（3）f（x）

x2

2x,g（t）

t2

2t

（）

（4）f（x）

|x

1|,g（x）

x

1（x

1）

（）

1

x（x

1）

2.下列函数中值域是（0,+）的是

A．y2x1（x0）

B．yx2

C．y

1

D．2（x0）

x2

x2

1

x

3.设函数f（x）

3x

1,则f（a）

f（a）

A．0

B．

6a

C．2a2

2

D．2a2

6a2

4.已知f（x）满足2f（x）

f（x）3x2,且f（

2）

16

则f

（2）

x22

3

5.已知函数f（x）

1

（1）计算f

（2）与f

（1）

（2）

计算f（3）

与f

（1）

x

2

3

6

（3）计算f

（1）f

（2）f（3）...f（2011）f（

1

）

f（

1

）

f（

1

）...

f（

1）

2

3

4

2011

6.求下列函数的值域:

（2）y

2x

4

（2）

y

x2

4x6,x[1,5）（3）y1x2,x

{2,

1,0,1,2}

x

3

7.求函数f（x）

2x

3

13

4x的定义域和值域.（提示:

设t

13

4x）

函数的表示法

1.某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．在下图中纵轴表示离

学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图四个图形中较符合该学生走法的是（）

2.已知f（2x）2x,则f（x）

A．2x

B．x

C．x

D．4x

已知函数f（x）＝x2＋px＋q满足f

2

3.

（1）＝f（0）

＝0，则f（4）的值是（

）

A．5

B．－5

C．12

D．20

4.

已知f（x）是一次函数,若2f

（2）

3f

（1）

5,2f（0）f

（1）1,则f（x）的解析式为

A．f（x）3x2

B．f（x）3x2

C．f（x）2x3

D．f（x）2x3

5．定义域为R的函数f（x）满足f（x）2f（

x）2x1，则f（x）＝（

）

1

1

A．－2x＋1

B．2x－3C．2x－1

D．－2x＋3

6.

若g（x）12x,

1

x2

1

）的值是

f（g（x））

x2

则f（

2

A．1

B．15

C．4

D．30

7.

函数f（x）的图象经过点（1,1）,

则函数f（x

4）的图象过点

8.

已知f（x）是二次函数,

f（0）

0,f（x

1）

f（x）x1,求f（x）.

9.

若f（f（f（x）））

27x

26,求一次函数

f（x）的解析式.

分段函数与映射

x2＋3

（x＞0），

．已知

f

（x）

＝1

（x＝0），

则

f（f（f（

－

4）））

＝

（）

1

x＋4

（x＜0）.

A．－4

B．4C．3

D．－3

2已知函数f（x）

2x1（x

1）

2

2x（x

x

1）

（1）试比较f（f（3））与f（f（3））的大小.

（2）若f（a）3,求a的值.

7

3.画出下列函数的图象,并写出值域.

（2）f（x）|x|

（2）

f（x）

|x2

2x|（3）

f（x）

|x5