初中数学.docx

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初中数学

初中数学“空间和图形”学生学习的难点的理解以及具体教学中采取的解决策略

（三）空间与图形学习难点解决的主要策略

1、精心设计，激发兴趣.

在初中数学中，几何主要研究图形的形状、大小和位置关系，虽然小学阶段学生接触过一些简单的几何图形，但比较粗浅，属于感性认识阶段.升入中学后，学生开始系统地学习几何图形，教师要千方百计在教学中精心设计教学环节，从激发兴趣入手，唤起学生的求知欲.

（1）找中学.

初中数学中许多几何概念的学习，一般都可从生活实例中引入.学习概念之初，可以让学生找一找生活中见到的和概念相关的几何图形。

对于学生来说，认识并了解一个几何知识的内涵和性质也许并不困难，困难的是在复杂几何图形中识别基本图形，应用相关性质解题.“找中学”还可以体现在几何知识的应用上.

《三角形中位线》的教学环节里，在学生理解了三角形中位线的定义、证明了三角形中位线定理的基础上，我设计了一道例题：

字幕：

PPT19-21

例题：

如图，AF=FD=DB，FG∥DE∥BC，

（1）请找出图中所有的中点；

（点F、点D、点、点E、点P）

提问：

为什么点G是线段AE的中点？

（2）请找出图中的三角形中位线；

（三角形中位线FG、三角形中位线DP、三角形中位线PE）

提问：

DE是三角形中位线吗？

（3）如果PE=1.5，你可以求出哪些线段的长度？

这个看似简单的例题，起点很低，可以满足不同层次学生的学习需求.此外，三个问题层层递进，培养学生从复杂图形中分离基本图形的能力，结论的发散又培养了学生思考问题的周密性和严谨性.

在学生一次次寻找求解的过程中，熟悉了三角形中位线的定义和性质，同时进行了“概念对比”（“三角形中位线”和“梯形中位线”）和“定理对比”（“过三角形一边的中点做另外一边的平行线，必平分第三边”和“三角形中位线定理”），用类比学习的方法很自然地让学生理解了两个概念、两个定理之间的区别和联系.

字幕：

PPT22-31

（2）拼中学。

初中学生喜欢动手，教学中教师要给他们创造动手的机会。

例如：

七巧板是我国古代发明的一种拼图游戏，通过拼图可以发展学生的思维能力、开发智力。

七巧板是由七块图形组成的，有5个三角形、1个正方形和1个平行四边形。

学生用它们可以拼出平面图形。

如三角形、平行四边形、长方形、等腰梯形。

也可以拼出特殊图形，比如动物：

“拼中学”还可以应用在重要几何定理的证明上。

例如，在《勾股定理》的教学中，安排下面的一个学生活动：

字幕：

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动手拼一拼：

用四个全等的直角三角形拼一拼，在拼出的图形中，能否同时得到两个正方形，其中一个是以斜边C为边长的正方形？

学生用课前准备的直角三角形分小组活动，教师巡视指导。

活动结束后，两个小组的学生代表发言，教师把两种不同的拼法展示在黑板上，并提出新的问题：

能否用两种方法表示这个以斜边C为边长的正方形的面积？

字幕：

PPT33

字幕：

PPT34

（3）折中学。

几张纸片，一把剪刀，简单的工具包含丰富的内涵。

图形折叠，它主要培养学生的动手操作与空间想象能力，培养学生的创新精神和实践能力。

图形的折叠实际上就是对称变换，或者说是翻折，以折痕为载体，内容丰富，变化多端，解法灵活，具有开放性。

在几何教学中，充分利用图形的折叠，可以突破教学的难点。

例如：

在《梯形

（1）》的教学中，完成梯形定义的学习后，教师安排了一组学生活动，通过折叠、剪拼，增强学生对三角形、四边形与梯形之间关系的认识，从而引出梯形中一些常见的辅助线，为后面的教学突破了难点。

字幕：

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活动一：

由三角形、四边形得到梯形。

①三角形（含等腰三角形、直角三角形）

学生活动1：

将三角形纸片折叠一次得到梯形，说明操作方法。

并思考由特殊三角形能得到特殊梯形吗？

说明操作方法及理由。

字幕：

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②四边形（含平行四边形、矩形等）

学生活动2：

将特殊四边形转化成特殊梯形（以平行四边形和矩形为例）

平行四边形—直角梯形、等腰梯形

矩形—直角梯形、等腰梯形

教师巡视、指导，学生可利用对称性和基本作图可以获得多种转化的方法。

教师强调：

由特殊四边形得到特殊梯形关键是把握二者的定义，保留共性、改变区别。

-----一保留、一破坏、一建立。

字幕：

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活动二：

由梯形得到三角形、平行四边形（含特殊）

学生活动3：

给你一个一般的梯形，你能将其转化为我们熟悉的三角形或平行四边形吗？

教师巡视指导，学生感到困难时教师引导：

分为分割图形与补全图形两类进行探索。

字幕：

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①已知一个梯形，在其内部进行分割从而转化为我们熟悉的三角形、平行四边形.

教师引导：

对已知梯形进行分割.

②已知一个梯形，可以将其补全为三角形或平行四边形.

教师引导学生思考：

按照前面的作法反推回去.

字幕：

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③已知一个梯形，可以将其分割后再拼接成三角形或平行四边形.

与中点有关：

（此类辅助线根据学生情况机动处理、不特意给出）

教师提问：

能否根据辅助线的不同作法将上述图形进行归类？

字幕：

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活动三：

根据折叠、分割、补全等操作方法进行归类---即梯形中常见的辅助线。

字幕：

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①平移梯形的一腰：

转化为平行四边形和三角形

字幕：

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②做梯形的高线：

转化为矩形和三角形

字幕：

PPT43

③联结或延长，转化为三角形

教师小结：

将新图形转化为已知的、熟悉的、简单的图形体现了数学中重要的转化思想，利用这种方法可以解决很多与梯形有关的问题。

字幕：

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例：

在梯形ABCD中，AB∥CD，CD=16，AB=24，∠B=60°，∠A=30°，则BC=______.

教师引导：

观察图中的已知条件之间没有直接联系，已知与所求之间的关系也不明确.因此考虑如何添加辅助线可使分散的条件集中到一起？

方法1：

平移一腰构成直角三角形和平行四边形；

方法2：

延长梯形的两腰交于一点，转化为两个直角三角形；

方法3：

作梯形的两条高，转化为矩形和两个直角三角形.

字幕：

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（4）玩中学。

学生身边都有火柴棍，教师可以让学生用它做拼图游戏。

在《三角形边的性质》的教学中，教师提出问题：

（1）拼一个三角形至少要几根火柴棍?

（2）用4根火柴棍能不能拼成一个三角形?

（3）用5根火柴棍能不能拼成一个三角形呢?

学生通过动手拼图，很快可以发现答案。

教师继续提出问题：

（4）其中两条边都用2根，第三条边最多要几根?

（5）要用5根拼成两个各边都相等的三角形，如何拼?

（6）用6根如何拼出4个三角形呢？

动手试一试。

最后这个问题有的学生自己解决有点难度，教师可以让学生通过小组合作交流、讨论，得出答案。

让学习程度好点的学生当小老师教给其他同学。

这样做的目的是使学生通过拼图，培养学生合作交流意识，并加深对平面图形和立体图形的初步认识。

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（5）画中学。

在《平移变换》例题教学中，为了让学生能进一步多角度地认识平移图形的形成过程，培养学生的发散思维能力，我设计了一道开放性的课堂例题．

[拓展练习]如图这是由一个边长为a的正方形沿水平方向平移

得到的图形.

∙数一数这个图案中共有几个正方形；

②若按此方法连续做2次平移，可得怎样的图案？

该图案中共有几个正方形？

若按此方法连续平移3次呢？

4次呢？

5次呢？

n次呢？

③我们知道，对一个图形进行平移，可按不同方向、移不同距离.现有一个边长为a的正方形，请你将这个正方形连续平移3次，可得怎样的图案？

你能给这个图案起个名字吗？

答案：

①3（见图1）；②7（见图2）；11（见图3）；15（见图4）；（4n-1）；

③将这个正方形连续平移3次，可得到图案：

字幕：

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2、培养能力，循序渐进。

当学生有了强烈的求知欲望，便会在教师的指导下，在几何的王国中漫游。

但能力的培养还有待于深化和提高，是贯穿几何教学的一个重要方面。

下面谈谈在平面几何教学中如何培养学生的能力。

我在平面几何教学中意识到，一方面要激发学生的学习兴趣，另一方面，要循序渐进的引领学生走进推理之门。

这需要一个过程，于是,我不失时机地结合教学内容,注重不同能力的培养，开发学生的智力。

接下来，我将结合教学实践从观察能力、归纳能力、分类思想以及推理能力的培养加以说明。

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（1）观察能力的培养。

观察是人们认识事物的重要方法，在现实生活以及数学中应用十分广泛。

锐敏的观察力能使学生抓住本质，产生联想，发现解决问题的途径；还能启发学生辩证思考，展开创造性思维活动．

我以实际生活中的日历为背景，为学生设计了“看一看，说一说”的活动，通过提问学生“用方框框出日历中的四个数之间有什么数量关系？

”。

组织学生充分讨论，通过交流不同的想法，使学生认识到可以从不同角度进行观察。

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接着我又为学生设计了“看一看，数一数”的活动。

通过向学生提问“观察图中共有多少条线段？

”我注意到学生的观察过程与方法不尽相同。

于是，我引导学生提炼出有序的计数方法，从而使学生认识到观察是有顺序和规律的，也为归纳能力的培养做好铺垫。

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我还为学生创设了“看一看，拼一拼”的情境。

两位同学分别用七巧板拼人物，拼好后，一同学发现左图中的人少了一只脚，问题出在哪里呢？

通过此例，让学生意识到单靠观察解决问题会产生困难，可以借助动手操作辅助解决问题，从而渗透了操作意识。

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最后，我在“看一看，量一量”的教学环节中，让学生通过观察，比较图中两条线段的长短，再用刻度尺度量，检验观察结果，使学生达成共识：

观察是获得感性认识的重要途径，但观察得到的结果是否正确，还需要经过验证。

正如恩格斯所说：

“单凭观察所得的经验，是绝不能充分证明它的必然性的。

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（2）归纳能力的培养。

归纳是一种推理方法。

包括不完全归纳法和完全归纳法（又称枚举法）。

平面几何阶段侧重于引导学生用不完全归纳法找出图形间的内在规律去解决问题。

我在教学时特别注重引导学生参与归纳的过程，逐步熟悉和掌握这种归纳方法。

还以数线段问题为例。

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在线段AB上取99个点，一共可以得到多少条线段（包括线段AB在内）？

此例与在观察能力的渗透中所选用的数线段问题相比复杂多了。

我在教学时为学生铺设了五个台阶，让学生逐步适应不完全归纳法。

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台阶一：

从一开始，复杂问题简单化。

由于在观察能力的渗透中已经铺垫了数线段方法，我引导学生分别在线段AB上取一个点、两个点、三个点时，数出图中的线段数，让学生学会把复杂问题简单化。

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台阶二：

关注计数过程，用算式表示结果。

我通过引导学生用算式表示计数的结果，让学生感受到过程对发现规律重要性。

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台阶三：

应用所得规律，解决相应问题。

在这个环节中，我组织学生自主活动，照此规律，在线段AB上取4个点、9个点乃至99个点的问题都迎刃而解了。

我还鼓励学生畅谈心得，让学生深刻体会到归纳是帮助我们利用由一般与特殊的相互转化解决复杂问题的有效途径。

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台阶四：

由特殊到一般，用数学语言揭示规律。

我组织学生先用文字语言表述一般规律，再利用符号语言进行表达。

我还鼓励其他学生修改完善，使学生感受到归纳是一个由特殊到一般的抽象过程。

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台阶五：

类比图形归纳，建立图形之间的内在联系。

在收获数线段的规律后，数角、数三角形以及数矩形等计数问题都可以类比数线段的规律归纳得到。

总之，归纳可以升华学生的认识，增强学习的动力。

数线段的例子实际上是按照华罗庚教授提出的“先退后进”的思想去操作的。

意思是说：

先退,退到不能退,又不失本质为止,得到结论；然后再进,总结出规律；最后解决最初提出的问题。

这个问题就是由最初的线段上有99个点的问题先退到线段上有1个点，逐个增加到2个点、3个点后发现规律，最后解决线段上有4个点、9个点、99个点等问题。

当线段上有n个点时，共得到多少条线断呢？

这个问题要根据学生的实际情况安排。

其实，几何学习中，“一题多解”也是对学生归纳能力的渗透和培养。

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例题：

在ΔABC中，∠A=30º，∠B=45º，AC=8，求AB的长.

学生发现这个三角形不是直角三角形，如何求解呢？

教师要引导学生考虑：

能否把未知边放到直角三角形中求解.

学生经过思考想到：

可以通过作高把斜三角形问题转化为直角三角形问题.教师要展示学生添加的不同的辅助线，让学生自己发现作出AB边上的高线时求解最方便，因为这时30º、45º和8的条件都可直接使用.

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对一个斜三角形，通常可以通过作一条高，而将斜三角形转化为两个直角三角形，并且要尽量使直角三角形中含有特殊的锐角（如30º、45º、60º的角），然后通过解直角三角形而得到原来斜三角形的边、角信息，这就体现了化归的数学思想.

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（3）分类思想的培养。

由于平面几何的研究对象主要是图形之间的数量关系和位置关系。

不同位置往往决定了不同的数量。

按照图形的位置进行分类是十分必要的。

我通过提问学生“平面上有四个点，过每两点画一条直线，那么一共可以画多少条直线？

”引导学生考虑这个问题时，要将平面上四点按其不同的分布位置加以分类才能得到不重不漏的结论。

这样，正确的答案应为一条、四条或六条。

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分类讨论思想的培养，是平时几何教学中的难点，应注意一题多变，铺好台阶，让学生循序渐进地体会、感悟、理解、掌握这个重要的数学思想方法。

例如，在学完“线段中点”的相关知识后，很多教师都会选用下面这道典型例题：

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已知：

点C是线段AB上任意一点，D、E分别是线段AC、BC的中点，AC=10，BC=6.

求：

DE的长.

（学生很容易画出图形，利用线段中点得出DE的长.）

图1

教师可出示不同的变式题目：

变式一：

已知：

点C是射线AB上一点，D、E分别是线段AC、BC的中点，AC=10，BC=6.

求：

DE的长.

分析：

此题应分成两种情况讨论，点C在点B的左侧或点C在点B的右侧，从而得到两个答案。

变式二：

已知：

点C是直线AB上一点，D、E分别是线段AC、BC的中点，AC=10，BC=6.

求：

DE的长.

分析：

此题应分成三种情况讨论，点C在点A的左侧、点C在线段AB内或点C在点B的右侧，再结合线段AC和BC的长度，排除点C在点A的左侧的情况，从而得到两个答案。

这样的例子在几何的教学中特别多。

遵循“不重不漏”的原则进行分类，这对培养学生思维的严谨性颇有益处。

另外从初中几何学习的起始阶段，就要训练学生从不同的角度思考问题，注重分类思想的培养。

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（4）推理能力的培养.

数学思维能力是数学素质的重要表现，如何在几何课中培养学生的逻辑推理能力是需要认真探索的.几何的学习和研究时时刻刻在概念、判断、推理过程中运动着，而概念、判断、推理是逻辑思维的基本形式，其它知识内容，如性质、定理、公式等无非是一种判断.

培养学生逻辑思维能力有利于学生自觉、深刻而牢固地理解和掌握几何知识.然而培养学生逻辑思维能力又是初中几何课教学的一个难点.所以在几何入门阶段，教师应该首先激发学生的学习兴趣，然后从概念、作图、推理这三个环节中着手，重视逻辑思维能力的启蒙，帮助学生打好学习几何的基础.

“推理与证明”是人们在感性认识的基础上，运用逻辑的方法使自己对事物的认识上升到理性认识.它必须是一个熟悉的过程，不能操之过急，我是分三个阶段培养.

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第一阶段，培养学生的判断能力.

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这一阶段主要是通过直线、射线、线段、角几部分的教学来培养.要求学生在搞清概念的基础上，通过图形直观能有根据地作出判断.如“对顶角是相等的角”、“两点确定一条直线”、“两直线相交，只有一个交点”，等等.这个阶段，学生从“数”的学习转入对“形”的研究是很大的变化，而对形的学习开始又接触较多的概念，所以使学生理解所学的概念是一个难点，学生难以适应，不少小学时的优等生适应不了这一转变，以致学习掉队了.解决的办法，主要是注意从感性认识到理性认识，即从感性认识出发，充分利用几何的直观性，再提高到理性认识，从特殊的具体的直观图形抽象出一般的本质属性.并注意用生动形象的语言讲清基本概念.

例如讲直线这一概念时，问：

你能画一条完整的直线吗？

学生感到问题提的新鲜，谁不会画直线呢！

有些莫明其妙，我指出：

一个人从出生记事之日起，一直到老为止也画不了一条完整的直线，因为直线是无限长的，正因为画不了一条完整的直线，才用画直线的上的一段来表示直线，但决不止这么长！

这样学生在开头对直线就建立了向两方无限延伸的印象.

又如在学过“角的概念”后，可让学生回答：

直线是平角吗？

射线是周角吗？

在学习“互为余角、互为补角”的概念后，可以问：

∠α与90º-∠α互为余角吗？

∠β与180º-∠β互为补角吗？

并要求用“因为……，所以……，根据……”的模式回答，这能使掌握线与角、角与角的联系和区别的同时，熟悉推理谁论证的日常用语，逐步养成科学判断的习惯.

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第二阶段，培养学生简单推理论证的能力.

这一阶段主要是通过定义、定理、平行线、等腰三角形几部分的教学来培养，要求学生能正确地辨别条件和结论，掌握证明的步骤和书写格式.做法是：

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①分步写好推理说明过程，让学生在括号内注明每一步的理由；“加注理由”的练习题，主要在第三章，这无疑把学生引入逻辑推理的王国，教师在教学中应十分重视它的作用，指导学生认真阅读教材中每个例题，认真完成教材中每一个练习，并强调推理论证中的每一步都有根据，每一对“∵∴”都言必有据，都是有定义、定理、公理做保证的.此外，还要学生象学写作文一样背记一些证明的“范句”，熟悉一些“范例”，做到既掌握证明方法步骤和书写格式，也努力弄清证题的来龙去脉和编写意图.

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②让学生论证一些写好了已知、求证并附有图形的证明题，先是一两步推理，然后逐渐增加推理的步数，主要是模仿证明；

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③让学生自己写出已知、求证、并自己画出图形来证明，每一步都得注明理由.另一方面通过例题、练习向学生总结出推理的规律，简单概括为“从题设出发，根据已学过的定义、定理用分析的方法寻求推理的途径，用综合的方法写出证明过程.

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第三阶段，培养学生对较复杂证明题的分析能力.

这一阶段主要通过全等三角形以后的教学来培养.要求学生对题中的每个条件，包括求证的内容，要一个一个地思考，按照定义、公理或定理把已知条件一步步推理，得出新的条件，延伸出尽可能多的条件，避免忽视有些较难找的条件，同时不要忽视题中的隐含条件，比如图形中的“对顶角”、“三角形内角和”、“三角形外角”等等.

此外，教师要注重“图形变换”在证明中的应用.新课程标准下的初中数学课程增加了图形变换的内容，特别是平移、旋转和轴对称三种全等变换为学生解决几何证明问题打开了一扇找到解题思路和方法的窗户．平移、旋转和轴对称三种变换的共同特点是改变图形的位置的同时，保证图形变换前与变换后的对应元素的大小不发生变化．这三种变换有利于培养学生的空间感、丰富学生的解题方法，因而教师在教学中应加以注意．

实践证明，培养学生逻辑推理能力，要有一个较长的过程，不能操之过急，必须有意识、有计划的从简单到复杂循序渐进，使学生逐步学会推理论证的方法.以上谈到的四个能力的培养实际上是在引导学生对概念本质的理解、几何语言的训练、识图训练和推理训练中渗透的.

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结束

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平面几何教学并不是难不可攀，不可逾越，只要我们掌握了平面几何教学的规律，不但学生不会感到困难，而且相当多的同学会对几何的学习产生浓厚的兴趣，收到良好的成效.

初中数学中，在空间和图形的学习过程中，难点很多，解决策略也很多，我们可以归纳为：

在平面几何教学中力求做到三个“突出”，三个“克服”.

1．突出一个“趣”字，克服一个“难”字.

突出一个“趣”字，克服一个“难”字，就是要培养学生学习平面几何浓厚的兴趣，调动学生的非智力因素，要精心设计教学情境，把几何课讲得活灵活现，使学生爱学、乐学.

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2．突出一个“动”字，克服一个“灌”字.

突出一个“动”字，克服一个“灌”字，就是要根据学生的年龄特征，给学生创造动手、动口、动脑的问题情境.

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3.突出一个“思”字，克服一个“死”字.

突出一个“思”字，克服一个“死”字，就是要设计问题情境，给学生的头脑插上思维的翅膀.

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教学不得法，学生必然会感到困难；教学有法，不但学习几何不感到难，而且会产生浓厚的兴趣.教学有法，教无定法，因材施教，讲究实效，这是我们应该遵循的原则.有了教学良性循环，学习将会变得更加精彩.

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