124第1课时两平面平行 学案 高中数学 必修二 苏教版 Word版.docx

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124第1课时两平面平行学案高中数学必修二苏教版Word版

1.2.4　平面与平面的位置关系

第1课时　两平面平行

1．了解平面与平面的两种位置关系．了解两个平面间的距离的概念．（重点）

2．理解空间中面面平行的判定定理和性质定理，并能灵活应用．（重点、难点）

[基础·初探]

教材整理1　平面与平面之间的位置关系

阅读教材P43中间部分，完成下列问题．

平面与平面之间的位置关系

位置关系

平面α与平面β相交

平面α与平面β平行

公共点

有一条公共直线

没有公共点

符号表示

α∩β＝a

α∥β

图形表示

在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列平面的位置关系是：

图1－2－74

（1）平面AB1与平面D1C________；

（2）平面BD1与平面AC1________；

（3）若E，F，G，H分别为DD1，CC1，AA1，B1B的中点，则平面ABFE与平面BC1________；

（4）平面D1C1HG与平面ABFE________.

【答案】　

（1）平行　

（2）相交　（3）相交　（4）平行

教材整理2　平面与平面平行的判定

阅读教材P43～P44例1部分内容，完成下列问题．

自然语言

如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

符号语言

a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，a∥β，b∥β⇒α∥β

图形语言

判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）若平面α内的两条直线分别与平面β平行，则α与β平行．（×）

（2）若平面α内的两条不平行的直线分别与平面β平行，则α与β平行．（√）

（3）平行于同一条直线的两个平面平行．（×）

（4）若平面α内有一条直线平行于平面β，平面β内也有一条直线平行于α，则α与β平行．（×）

（5）若平面α内的任何直线都与平面β平行，则α与β平行．（√）

教材整理3　平面与平面平行的性质定理

阅读教材P44例1以下部分内容，完成下列问题.

自然语言

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行

符号语言

α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b

图形语言

平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则下列四种情况：

①a⊥b；②a∥b；③a与b异面；④a与b相交．

其中可能出现的情况有________种．

【解析】　只有a，b相交不可能．

【答案】　3

教材整理4　两个平行平面间的距离

阅读教材P45中间三自然段，完成下列问题．

公垂线与公垂线段

（1）与两个平行平面都垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的线段，叫做这两个平行平面的公垂线段．

（2）两个平行平面的公垂线段都相等．公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离．

在四棱锥P－ABCD中，E，F，G，H分别为PA，PB，PC，PD的中点，PA⊥平面AC，若PA＝2，则平面EFGH与平面ABCD的距离为________．

图1－2－75

【解析】　∵E，F，G，H为PA，PB，PC，PD的中点，

∴平面EFGH∥平面ABCD，

∵PA⊥平面AC，

∴PA⊥平面EG，

∴AE为平面AC与平面EG的公垂线段，

EA＝

PA＝1.

【答案】　1

[小组合作型]

面面平行判定定理的应用

　如图1－2－76，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点．

图1－2－76

求证：

（1）E，F，B，D四点共面；

（2）平面MAN∥平面EFDB.

【精彩点拨】　解答本题第

（1）问，只需证BD∥EF即可．第

（2）问，只需证MN∥平面EFDB，AM∥平面EFDB即可．

【自主解答】　

（1）连结B1D1，

∵E，F分别是边B1C1，C1D1的中点，

∴EF∥B1D1，

而BD∥B1D1，∴BD∥EF.

∴E，F，B，D四点共面．

（2）易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD.

又MN⊄平面EFDB，BD⊂平面EFDB，

∴MN∥平面EFDB.连结DF，MF.

∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，

∴MF∥A1D1，MF＝A1D1.

∴MF∥AD，MF＝AD.

∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF.

又AM⊄平面EFDB.

DF⊂平面EFDB，

∴AM∥平面EFDB.

又∵AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB.

证明两平面平行的主要方法是用判定定理，即将“面面平行”转化为“线面平行”再转化为“线线平行”，具体操作就是在其中一个面内寻找出两条相交直线，均平行于另一个平面，而寻找这两条相交直线时，应结合条件，常用到中位线定理、平行四边形的性质、比例线段等平面几何知识．

[再练一题]

1．已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：

平面MNQ∥平面PBC.

【导学号：

41292036】

图1－2－77

【证明】　∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，

∴MQ∥AD，NQ∥BP，

∵BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，

∴NQ∥平面PBC.

又底面ABCD为平行四边形，

∴BC∥AD，

∴MQ∥BC，

∵BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，

∴MQ∥平面PBC.

又MQ∩NQ＝Q，根据平面与平面平行的判定定理，得平面MNQ∥平面PBC.

面面平行性质定理的应用

　如图1－2－78所示，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α，β内，线段AA′，BB′，CC′共点于O，O在α，β之间，若AB＝2，AC＝1，∠BAC＝90°，OA∶OA′＝3∶2.求△A′B′C′的面积．

图1－2－78

【精彩点拨】　先利用面面平行的性质得线线平行．再利用平行线分线段成比例求△A′B′C′的面积．

【自主解答】　相交直线AA′，BB′所在平面和两平行平面α，β分别相交于AB，A′B′.

由面面平行的性质定理可得AB∥A′B′.

同理相交直线BB′，CC′确定的平面和平行平面α，β分别相交于BC，B′C′，从而BC∥B′C′.

同理易证AC∥A′C′.

∴∠BAC与∠B′A′C′的两边对应平行且方向相反，

∴∠BAC＝∠B′A′C′.

同理∠ABC＝∠A′B′C′，

∠BCA＝∠B′C′A′.

∴△ABC与△A′B′C′的三内角分别相等，

∴△ABC∽△A′B′C′，

∵AB∥A′B′，AA′∩BB′＝O，

∴在平面ABA′B′中，

△AOB∽△A′OB′.

∴

＝

＝

.

而S△ABC＝

AB·AC＝

×2×1＝1.

∴

＝

2，

∴S△A′B′C′＝

S△ABC＝

×1＝

.

通过面面平行的性质定理将面面平行转化得到线线平行，这是直接利用面面平行的性质定理．利用面面平行的关键是要找到过已知的直线与已知的平行直线的平面．

[再练一题]

2.如图1－2－79所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1，D是BC的中点，D1是B1C1的中点，设平面A1D1B∩平面ABC＝l1，平面ADC1∩平面A1B1C1＝l2.求证：

l1∥l2.

图1－2－79

【证明】　连结D1D（图略），∵D与D1分别是BC与B1C1的中点，

∴DD1綊BB1，又BB1綊AA1，

∴DD1綊AA1，∴A1D1∥AD，

又平面A1B1C1∥平面ABC，

且平面A1B1C1∩平面A1D1B＝A1D1，

平面A1D1B∩平面ABC＝l1，

∴A1D1∥l1.

同理可证AD∥l2，又A1D1∥AD，即A1D1∥l2，

∴l1∥l2.

[探究共研型]

面面平行关系的综合应用

探究1　过平面外一条直线可以作几个与已知平面平行的平面？

【提示】　当直线与平面相交时，不能作出符合题意的平面；当直线与平面平行时，可作出唯一的一个符合题意的平面．

探究2　平面α∥平面β，△ABC和△A′B′C′分别在平面α和平面β内，若对应顶点的连线共点，则这两个三角形有怎样的关系？

【提示】　这两个三角形相似，由于对应顶点的连线共点，则AB与A′B′共面，

由面与面平行的性质知AB∥A′B′，

同理AC∥A′C′，BC∥B′C′，

故两个三角形相似．

　如图1－2－80所示，AB，CD是夹在平行平面α，β之间的异面线段，且A，C∈α，B，D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且

＝

.求证：

EF∥平面β.

图1－2－80

【精彩点拨】　利用面面平行的性质，将证明线面平行转化为证明面面平行．

【自主解答】　如图所示，连结BC并在BC上取一点G，使得

＝

，则在△BAC中，EG∥AC，而AC⊂平面α，EG⊄平面α，∴EG∥α.

又α∥β，∴EG∥β.

同理可得GF∥BD，而BD⊂β，GF⊄β，∴GF∥β.

又EG∩GF＝G，∴平面EGF∥β.

又EF⊂平面EGF，∴EF∥平面β.

线面平行与面面平行性质定理着重体现了平行间的转化思想．转化是综合应用的关键．

[再练一题]

3．如图1－2－81所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E是AC的中点，求证：

AB1∥平面BEC1.

图1－2－81

【证明】　如图，取A1C1的中点F，连结AF，B1F，

∵E为AC的中点，

∴AF∥C1E，

∵AF⊄平面BEC1，C1E⊂平面BEC1，

∴AF∥平面BEC1.

连结EF，由E，F分别是AC，A1C1的中点，

可知EF綊AA1綊BB1，∴BE∥B1F，又B1F⊄平面BEC1，BE⊂平面BEC1，

∴B1F∥平面BEC1，

∵B1F∩AF＝F，∴平面BEC1∥平面AB1F.

∵AB1⊂平面AB1F，∴AB1∥平面BEC1.

1．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面的位置关系是________．

【解析】　有无数条直线平行于另一个平面并不能保证平面内没有一条直线与另一个平面相交．

【答案】　平行或相交

2．设直线l，m，平面α，β，下列条件能得出α∥β的是____________．

①l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β；

②l⊂α，m⊂β，且l∥m；

③l⊥α，m⊥β，且l∥m；

④l∥α，m∥β，且l∥m.

【解析】　①不正确，α与β有可能相交，也有可能平行；

②不正确，α与β有可能相交，也有可能平行；

③正确，∵l⊥α，l∥m，∴m⊥α，又m⊥β，∴α∥β；

④不正确，α与β有可能相交，也有可能平行．

【答案】　③

3．若不共线的三点到平面α的距离相等，则这三点确定的平面β与α之间的关系是________.

【导学号：

41292037】

【解析】　若三点在平面α的同侧，则α∥β；若三点在平面α的异侧，则α与β相交．

【答案】　平行或相交

4．下列条件中，能使α∥β的条件是________．（填序号）

①平面α内有无数条直线平行于平面β；②平面α与平面β同时平行于一条直线；③平面α内有两条直线平行于平面β；④平面α内有两条相交直线平行于平面β.

【解析】　由平面与平面平行的判定定理可知④正确，其余选项中平面α与平面β的关系可能平行也可能相交．

【答案】　④

5．如图1－2－82所示，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM＝FN，求证：

MN∥平面BCE.

图1－2－82

【证明】　过点M作MG∥BC交AB于点G，连结GN，

则

＝

.

∵AM＝FN，AC＝BF，∴MC＝NB.

∴

＝

，∴GN∥AF.又AF∥BE，∴GN∥BE.

∵GN⊄平面BCE，BE⊂平面BCE，

∴GN∥平面BCE.

∵MG∥BC，MG⊄平面BCE，BC⊂平面BCE，

∴MG∥平面BCE.

∵MG∩GN＝G，∴平面MNG∥平面BCE.

∵MN⊂平面MNG，∴MN∥平面BCE.