数学建模竞赛A题.docx
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数学建模竞赛A题
2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛
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2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛
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葡萄酒的评价
内容摘要
葡萄酒的评价结果反映了葡萄酒的优劣程度，而葡萄酒的质量是由多种因素综合决定的。
本文综合考虑了评酒员对葡萄酒的品尝评分、酿酒葡萄及葡萄酒的理化指标等因素，建立了相应的数学模型，利用excel软件，C++编程，变量的相关分析及统计学相关知识等对模型求解，并对所得结果分析比较，对葡萄酒进行评价。
针对问题一，根据附件1中两组品酒员对红、白葡萄酒的品尝评分，分别计算出两组品酒员对红、白葡萄酒各酒样品的评分总值及均值，确定出各酒样品的质量。
通过欧式距离公式，计算出两组品酒员的评价结果差异性数据，得出两组品酒员的评价结果都存在显著性差异。
然后通过计算两组品酒员对两种酒的评价总分的方差均值，判断评价结果的稳定性，从而得出第二组的评价结果更可信。
针对问题二，根据附件2中酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标，通过聚类算法对红、白两种葡萄进行聚类划分，将酒样品分为4类。
然后根据葡萄酒质量，划分出样品的等级。
再由葡萄酒样品等级，对聚类后的酿酒葡萄进行分级。
针对问题三，根据附件2，可以得出葡萄酒中的一些物质含量相对于葡萄中的一些物质含量有所减少或增加。
在葡萄酒的制作过程中，由于陈酿条件和发酵工艺及条件可能会造成物质的流失，导致酒中物质含量的减少，而葡萄酒中含量相对增加的物质可能是由葡萄中与其不相关的物质转化而形成的。
通过分析葡萄酒中含量增加的指标与葡萄的各理化指标的相关性系数，判断出酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。
针对问题四，对葡萄的理化指标与葡萄酒的评价指标进行相关性分析，结合问题三的结论，得出酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响。
根据附件1，可知评价葡萄酒要综合考虑香气、口感等方面，而葡萄和葡萄酒的理化指标主要与口感相关，但并不能决定葡萄酒的质量。
芳香物质与香气有关，在一定程度上也可能会影响葡萄酒的质量。
分别对葡萄和葡萄酒的芳香物质进行聚类分析，将聚类结果与葡萄酒质量等级比较，从而得出结论。
最后，我们就模型存在的不足之处提出了改进方案，并对优缺点进行了分析。
关键字欧式距离公式聚类算法变量的相关分析C++编程excel软件
一、问题重述
确定葡萄酒质量时一般是通过聘请一批有资质的评酒员进行品评。
每个评酒员在对葡萄酒进行品尝后对其分类指标打分，然后求和得到其总分，从而确定葡萄酒的质量。
酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有直接的关系，葡萄酒和酿酒葡萄检测的理化指标会在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的质量。
建立数学模型讨论下列问题：
1.分析附件1中两组评酒员的评价结果有无显著性差异，哪一组结果更可信？
2.根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级。
3.分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。
4．分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量？
二、问题的分析
问题一：
问题要求分析附件一中的数据，两组评酒员，每组十人，根据葡萄酒的色泽、香气、口感、整体评价四个方面，对红、白酒样品进行评分。
本文引入欧式公式，建立评酒员评价结果差异性模型，并对其进行求解。
首先分别计算出两组品酒员对红、白葡萄酒各酒样品的评分总值及均值，确定出各酒样品的质量。
通过欧式距离公式
（其中n=10）
表示第一组10个品酒员对第
个红葡萄酒样品的评分，
，
表示第二组10个品酒员对第
个红葡萄酒样品的评分，
，计算出两组品酒员的评价结果差异性数据。
由方差公式
计算两组品酒员对两种酒的评价总分的方差均值，判断评价结果的稳定性，从而得出哪一组的评价结果更可信。
问题二：
本文定义了葡萄酒的质量：
葡萄酒各类指标的总和。
有第一组可以判断出那一组更可信，由可信组的相关数据，确定每个样品总分的均值，即可代表酒样品的质量。
将葡萄酒酒样品的分值进行排序，划分等级。
根据附件2中酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标，建立聚类模型。
传统k-均值的模型为：
这里
是n个模式，
是k*n的分区矩阵，集合
中包含k个类的中心。
此外，
是第
类的中心，
为范数。
通过此模型，对红、白两种葡萄进行聚类划分。
然后根据葡萄酒质量，划分出样品的等级。
再由葡萄酒样品等级，对聚类后的酿酒葡萄进行分级。
问题三：
通过观察附件2-指标总表，得出葡萄酒中的一些物质含量相对于葡萄中的一些物质含量有所减少或增加。
在葡萄酒的制作过程中，由于陈酿条件和发酵工艺及条件可能会造成物质的流失，导致酒中物质含量的减少。
进而分析葡萄酒中含量相对增加的物质形成的原因。
通过分析葡萄酒中含量增加的指标与葡萄的各理化指标的相关性系数，判断出酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。
问题四：
要得出酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，可以对葡萄的理化指标与葡萄酒的评价指标进行相关性分析。
根据附件1，可知评价葡萄酒要综合考虑香气、口感等方面，色泽占3/20，香气占3/10，口感占11/25，整体评价占11/100。
得出葡萄和葡萄酒的理化指标与口感的联系，芳香物质与香气有关，在一定程度上也可能会影响葡萄酒的质量。
要得出结论，需分别对葡萄和葡萄酒的芳香物质进行聚类分析，再将聚类结果与葡萄酒质量等级比较。
三、模型假设和符号说明
3.1．模型假设
1.假设品酒时选择明亮安静没有特殊味道侵入的场所。
2.假设品酒员身体健康，精神状态良好。
3.假设葡萄的采摘和运输过程中没有任何浸渍和氧化现象。
4.假设酿造过程中，温度适中，不会产生由于温度过高而产生芳香物质增加的现象。
5.假设制酒过程中，所用的设备使用不锈钢材料，质量达到最好。
6.假设分离、压榨、破碎和氧化的过程规范。
7.假设发酵过程正常进行。
8.假设葡萄酒的稳定与成熟过程良好。
3.2．符号说明
1.
表示第一组10个品酒员对第
个红葡萄酒样品的评分，其中
，
2.
表示第二组10个品酒员对第
个红葡萄酒样品的评分，其中
3.
表示n个模式
4.
代表k*n的分区矩阵
5.集合
中包含k个类的中心
6.
是第
类的中心
7.
为范数
8.
9.
表示传统k-均值
四、模型的建立与求解
4.1问题一
4.1.1葡萄酒的均值
由附件1中两组品酒员对红、白两种葡萄酒的评价得分，分别求出两组中10个品酒员对27个红葡萄酒样品、28个白葡萄酒样品的总分，然后计算出各酒样品10个品酒员总分的均值
（见表一），通过两组品酒员评分的均值，计算出红、白两种葡萄酒所得的均分（见表一）。
表一：
两种葡萄酒评分的总分的均值表
酒样
品号
红葡萄酒
白葡萄酒
第一组
第二组
均值
第一组
第二组
均值
1
55
68.1
61.55
77.5
77.9
77.7
2
80.3
74
77.15
74.2
75.8
75
3
80.4
74.6
77.5
78.3
75.6
76.95
4
68.6
71.2
69.9
79.4
76.9
78.15
5
73.3
72.1
72.7
71
81.5
76.25
6
72.2
66.3
69.25
68.4
75.5
71.95
7
71.5
49.8
60.65
77.5
74.2
75.85
8
72.3
66
69.15
71.4
72.3
71.85
9
81.5
78.2
79.85
72.9
80.4
76.65
酒样
品号
红葡萄酒
白葡萄酒
第一组
第二组
均值
第一组
第二组
均值
10
74.2
68.8
71.5
74.3
79.8
77.05
11
70.1
61.6
65.85
72.3
71.4
71.85
12
53.9
68.3
61.1
63.3
72.4
67.85
13
74.6
68.8
71.7
65.9
73.9
69.9
14
73
72.6
72.8
72
77.1
74.55
15
58.7
65.7
62.2
72.4
78.4
75.4
16
74.9
69.9
72.4
74
74
74
17
79.3
74.5
76.9
78.8
80.3
79.55
18
59.9
65.4
62.65
73.1
76.7
74.9
19
78.6
72.6
75.6
72.2
76.4
74.3
20
78.6
75.8
77.2
77.8
76.6
77.2
21
77.1
72.2
74.65
76.4
79.2
77.8
22
77.2
71.6
74.4
71
79.4
75.2
23
85.6
77.1
81.35
75.9
77.4
76.65
24
78
71.5
74.75
73.3
76.1
74.7
25
69.2
68.2
68.7
77.1
79.5
78.3
26
73.8
72
72.9
81.3
74.3
77.8
27
73
71.5
72.25
64.8
77
70.9
28
81.3
79.6
80.45
由上表可得：
在本次评价中，红、白葡萄酒各酒样品的均值。
4.1.2评价结果的差异性分析
通常使用欧氏距离来衡量两个向量之间的差异，我们把第一组的10个品酒人对第
个样品的评价放入向量
中，第二组的10个品酒人对第
个样品的评价放入向量
中，通过如下的用欧氏距离公式进行差异性计算，结果见表二.程序代码（见附录一）
用欧氏距离公式：
（其中n=10）
通过附录1的程序代码运行，计算显著性差异，得出两组品酒员对红葡萄酒的评分结果的差异性数据，结果见表二.
表二：
红葡萄酒两组评酒员的评价结果差异性数据
样品号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
差异性
4.74
3.00
2.67
3.96
2.60
3.39
3.66
4.10
2.91
样品号
10
11
12
13
14
15
16
17
18
差异性
2.32
3.42
5.47
3.03
2.53
3.97
2.41
3.23
3.86
样品号
19
20
21
22
23
24
25
26
27
差异性
2.53
2.60
4.00
3.00
3.91
3.43
2.54
2.61
2.73
由上表可以看出27个样品间的欧氏距离值存在较大差异，因此两组品酒员的评价结果存在显著性差异。
4.1.3评分结果可信度分析
由方差公式
计算出红、白葡萄酒每个样品得分的总分方差（见表三），然后通过对各组方差求平均值，得出红葡萄酒的总分方差均值，第一组为58.40494，第二组为36.38107，由此可知，在红葡萄酒的评价中第二组比第一组可信；同理白葡萄酒的总分方差均值小于第一组的，也是第二组较为可信。
表三：
两组人员对两种葡萄酒的总分方差
红葡萄酒
总分方差
白葡萄酒
总分方差
样品号
第一组
第二组
样品号
第一组
第二组
1
87.11111
81.87778
1
39.16667
25.87778
2
39.78889
16.22222
2
201.0667
49.06667
3
45.82222
30.71111
3
66.45556
142.4889
4
108.0444
41.28889
4
44.71111
42.1
5
62.01111
13.65556
5
126.4444
26.27778
6
59.73333
21.12222
6
162.7111
22.72222
7
103.6111
132.6222
7
39.16667
42.17778
8
44.01111
65.11111
8
183.6
31.12222
9
32.94444
25.73333
9
92.76667
106.2667
10
30.4
36.17778
10
212.6778
70.4
11
70.76667
38.04444
11
177.1222
87.82222
12
79.65556
25.12222
12
115.7889
140.0444
13
44.93333
15.28889
13
170.7667
46.76667
14
36
23.15556
14
114.2222
15.87778
15
85.56667
41.34444
15
131.6
54.04444
16
18.1
20.1
16
178
178
17
88.01111
9.166667
17
144.1778
38.45556
18
47.21111
50.26667
18
156.5444
30.23333
19
47.37778
55.15556
19
46.4
26.04444
20
26.04444
39.06667
20
64.4
50.04444
21
116.1
35.51111
21
172.7111
64.4
22
50.62222
24.26667
22
138.6667
53.6
23
32.48889
24.76667
23
43.65556
11.6
24
74.88889
10.72222
24
111.1222
38.54444
25
64.62222
43.73333
25
33.87778
106.5
26
31.28889
41.55556
26
72.9
102.9
27
49.77778
20.5
27
144.4
35.55556
28
80.45556
25.37778
总分方
差均值
58.40494
36.38107
总分方
差均值
116.6278
59.43968
4.2问题二
4.2.1模型的建立
聚类算法可以把相似或相同的模式放入同一类中，因此我们考虑使用聚类算法对我们的酿酒葡萄进行分级。
传统的传统的k-均值算法是最通常使用的聚类算法。
传统的k-均值算法的基本思想是把n个模式划分到k个非空的子集去，在划分的过程中，每个类的均值需要计算出。
传统k-均值的模型为：
4.2.2模型求解
传统的k－均值聚类算法
描述如下：
（1）、分配初始的均值
（也可称为中心点）；
（2）、把每一个模式
分配到离它最近的类中；
（3）、利用如下公式重新计算每个类的均值；
。
②
（4）、重复步骤
（1）－（3），直到准则函数收敛（比如：
不再有新的分配）。
根据传统k-均值聚类算法将酿酒葡萄的27红葡萄样品划分等级，按上述步骤通过C++编程
（见附录二-2.1）重复计算1000次得出聚类结果（见表四），将葡萄分为4类。
表四：
红葡萄的聚类划分
类别
红葡萄样品
1
1、2、8、14
2
5、10、13、16、17、24、25、26、27
3
3、21
4
4、6、7、9、11、12、15、18、19、20、22、23
由表四可以看出，根据红葡萄的理化指标（一级指标为30个）进行聚类分析，可以把27个样品分成4个类别，其中样品1、2、8、14根据理化指标非常类似归为一类，同理可把其它样品根据它们的理化指标进行归类。
由问题一的分析结果可知第二组的评价结果可信度高，因此以第二组的评价结果作为红、白葡萄酒的质量。
将红葡萄酒的评分结果进行排序（见附录二-2.2），然后将评分结果划分为四个区间
，并根其分值划分据将红葡萄酒样品划分为四个等级，得出表五。
表五：
红葡萄酒等级划分
级别
酒样品数
分值区间
1
9、23
（76,100]
2
2、3、5、14、17、19、20、21、26
（72,76]
3
1、4、10、12、13、16、22、24、25、27
（68,72]
4
6、7、8、11、15、18
（0,68]
观察葡萄酒样品的编号在表四和表五中的等级分布可得出，样品9、23的得分最高，分布在葡萄划分的第四类，但是在第四类葡萄中其他样品的得分并不高，这说明好葡萄一部分可以酿成好酒，但不一定都能酿成好酒。
由此可以得出，表4中的第4类为优质葡萄。
对应表五中的2级别，我们可以看出，表四中的3类应为良质葡萄。
表五中的3级别对应表四中的2级别，为中等葡萄。
显然表四中的1类别中的葡萄质量较差。
同理，根据传统k-均值聚类算法对白葡萄的理化指标聚类得下表：
表六：
白葡萄的聚类划分
类别
酒样品种类
1
10、11、12、13、14、15、18、20
2
1、2、6、8、9、17、19、21
3
3、7、24、27
4
4、5、16、22、23、25、26、28
同样对第二组白葡萄的评价结果进行排序（见附录二-2.2），然后将评分结果划分为四个区间，并根其分值划分据将白葡萄酒样品划分为四个等级，得出下表：
表七：
白葡萄酒等级划分
级别
酒样品数
分值区间
1
5、9、10、17、21、22、25、28
（79,100]
2
1、15、14、23、27
（77,79]
3
2、3、4、6、18、19、20、24
（75,77]
4
7、8、11、12、13、26
（0,75]
观察白葡萄酒样品的编号在表六和表七的等级分布可得出，第4类白葡萄的编号绝大多数分布在对白葡萄酒的第1等中，第1类白葡萄的编号绝大多数分布在第2等白葡萄酒中，第2类分布在第3等，第1类也分布在第4等中。
由此可以得出，白葡萄的第4类酿造出的葡萄酒的质量最高，，即该类葡萄的质量最好，第2类仅次于第4类，第1类次之，第3类最差。
同样，根据优良中差原则可得，第4类白葡萄为“优”等，第2类为“良”等，第1类为“中”等，第3类为“差”等。
4.3问题三
根据附件2的相关数据，通过对葡萄跟葡萄酒中同种物质的含量做比较，可以看出葡萄酒中的一些物质的含量相对于葡萄中的一些物质含量有所增加或减少。
在葡萄酒的制作过程中由于一些不可避免的因素可能会造成某些物质的流失，导致酒中该物质的含量减少，而葡萄酒中含量相对增加的物质可能是由葡萄中与其相关的物质转化而成的。
如：
在红葡萄酒的酿造过程中花色苷、单宁、DPPH、a*（D65）以及b*（D65）有明显的增加（见附录三）；在白葡萄酒的酿造过程中L*（D65）和a*（D65）的含量有明显的增加（见附录三）。
为了进一步探究在酿造过程中红葡萄酒中含量相对增加的物质究竟是由红葡萄中的哪种相关物质所致，通过EXCEL软件计算其增加的物质的含量与红葡萄中所有物质含量的相关系数，见下表：
表八：
红葡萄酒相对于酿酒葡萄中含量增加的成份与酿酒葡萄各成分的相关系数
红葡萄酒相对于酿酒葡萄中含量增加的成份与酿酒葡萄各成分的相关系数
氨基酸总量
蛋白质
VC含量
花色苷
酒石酸
苹果酸
花色苷
0.105958
0.296049
-0.08874
0.922597
0.033781
0.692616
单宁
0.496227
0.471382
-0.09196
0.719575
0.281274
0.298368
DPPH
0.359938
0.042096
-0.04128
0.268656
0.231685
-0.14304
果色a*
-0.09981
-0.01423
0.10728
-0.34865
0.010294
-0.55876
果色b*
0.355838
0.046597
-0.36797
-0.24016
0.462424
-0.3102
柠檬酸
多酚氧
化酶活力
褐变度
DPPH自由基
总酚
单宁
花色苷
0.380251
0.480937
0.766993
0.566616
0.6132
0.660853
单宁
0.144768
0.141639
0.445369
0.753254
0.817236
0.71804
DPPH
-0.18751
-0.10973
-0.04105
0.486611
0.534435
0.3786
果色a*
-0.26868
-0.00689
-0.33496
-0.1227
-0.16846
-0.09281
果色b*
-0.01537
0.102036
-0.24432
-0.05522
0.055094
-0.20435
葡萄总黄酮
白藜芦醇
黄酮醇
总糖
还原糖
可溶性
固形物
花色苷
0.441406
-0.03499
0.408086
0.051746
-0.06771
0.190232
单宁
0.683737
0.049
0.578539
0.320301
0.087321
0.410142
DPPH
0.626693
0.02156
0.120826
0.17691
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