数学建模竞赛优秀论文Word文档格式.docx
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基于该评判标准，我们对问题2中制定的航班计划的“鲁棒性”进行了评价。
通过评价结果我们发现问题2的中制定的航班计划的“鲁棒性”较差。
为了提高航班计划的“鲁棒性”，减少航班延误对后续航班的影响，我们根据“鲁棒性”评判标准，建立了带有“鲁棒性”约束条件的新0-1规划整数模型。
通过matlab对该模型求解，我们制定了具有较好“鲁棒性”的航班计划（见附录附表2）。
关键词：
相关性分析法，整数规划，动态规划
一问题重述
航班计划是航空公司运输生产计划的具体实施计划，它规定了飞行的航线、航段、机型、航班号、班次和班期、（起降）时刻等。
一个合理的航班计划应该既有助于航班的安全运行，又能提高飞机的利用率，还可以有效地降低运营及维护成本，提高公司的经济效益。
国内某个以客运为主的航空公司，该公司运行指挥中心每个月的月末都会对本月各航线、机型的收益情况进行市场分析，然后结合本公司现有的生产资源情况（包括现有可飞航线、不同类型的飞机数量等）编排下一个月的航班计划，在航班计划制定之后需送给机务部门进行飞机排班作业（安排每架飞机执行飞行的航班），机务部门在制定飞机排班计划时主要考虑满足飞机维修的需要，飞机排班计划完成以后形成可执行的航班计划，该计划需下发到飞行总队具体执飞。
已知该公司有两种类型的飞机，A320飞机2架和E190飞机4架，维修基地设在西安和天津。
由于航线（航权）资源是航空公司的稀缺资源，所以制定航班计划时一般不会取消，也不会随意拆分带有经停航点的航线。
在航班计划制定时，若本公司飞机数量无法满足现有航线需要，可向专业的飞机租赁公司申请租赁（租金：
A320，33万美金/月架；
E190，25万美金/月架）；
反之，若在满足现有航线需要的前提下，本公司尚有一定数量的剩余飞机，则可作为备用飞机在航线发生延误及飞机出现临时故障时使用，或者直接出租给其它航空公司以便获取额外利润。
附件1给出了该公司某月各航线单日运行成本及（收入）明细表，假定每个航线每日只安排一个班次的飞机，附件二是航空公司航班延误统计表，现要求通过数学建模完成以下任务:
1、对附件1中给出的数据进行航线收益分析，找出影响收益的主要因素，并根据分析结果提出针对亏损航线的整改措施。
2、为简化问题，假定各航线的航班时刻可以根据需要变动，同时假定现有飞行航线和航空公司的营销能力是稳定的（航线、平均客座率、平均折扣率不变），请为航空公司制定一份下个月的航班计划，使航空公司的收益最大化。
3、如果继续考虑满足飞机维修需要，即每架飞机累计飞行130个小时就必须在维修基地停场维修一次，每次停场时间为24小时。
那么，在不改变问题2中所求航班计划的情况下，要使航空公司正常营运，至少需要新增加两种类型的飞机各多少架？
4、航班计划的“鲁棒性”是生产运行过程中需要考虑的一个重要因素，即设定一定的时间裕度以便在出现某一航班延误时能够减少对后续航班的影响。
根据附件2中给出的数据请评价问题2中求得的航班计划的“鲁棒性”，并重新制定一个带有“鲁棒性”约束的最优航班计划。
二问题分析
2.1问题1的分析
首先对附件1中的数据进行检查，更改一些不合理的数据。
为了影响分析航空公司收益的主要因素，我们可以建立相关性分析模型求解。
通过对相关系数排序，我们可以确定出主要因素，并基于主要因素对亏损航线进行整改。
2.2问题2的分析
在假设航线、平均客座率、平均折扣率不变的情况下，再假设各类航线成本仅与航线本身有关，则航空公司的收益最大化就可以转化为飞机利用率最高的问题。
进而我们可以建立0-1规划模型，并通过动态规划算法进行求解。
2.3问题3的分析
在问题2的基础上，要考虑停场维修时间，可以通过改进问题2中建立的0-1规划模型，在改进的模型中考虑到停场维修的约束条件，进而就可求出需要增加的飞机数。
2.4问题4的分析
要评价问题2中的航班计划的“鲁棒性”，我们首先得建立“鲁棒性”评判标准。
然后，我们就可以根据评判标准去评价问题2中的航班计划的“鲁棒性”，并进而建立具有较好“鲁棒性”的航班计划。
三模型假设与符号说明
3.1模型假设
1.假设飞机航行过程中不会出现意外故障。
2.不考虑不同城市的经济水平、地理方面的差异。
3.每个航线只安排一个班次的飞机。
4.当重新编排航班的时候，我们假定每条航线从一个月的一号开始运营，一个月以30天计。
3.2符号说明
:
所需最少的飞机架数
：
第
条航线
架飞机
一天中航班安排的时间限制
一天中飞机最大飞行时间
飞机飞行第
条航线所需时间
天第
架飞机是否处于停场状态，停场为0，否则为1
原来每天需要的飞机数
一架飞机在一个月内处于停场状态的最少天数
架飞机在原计划中的飞行时间
四模型的建立与求解
4.1影响收益的主要因素
4.1.1数据的分析
首先先对附件1中的数据进行检查，合理地更改一些不合理的数据。
例如，更改了附件1中餐食费为0的相关数据（见附录附表1）。
4.1.2相关性分析模型的建立与求解
相关性分析是指对两个或多个具备相关性的变量元素进行分析，从而衡量两个变量因素的相关密切程度。
相关性的元素之间需要存在一定的联系或者概率才可以进行相关性分析。
问题1是探索各个因素与公司收益的相关程度，故我们可以采取相关分析法[1]。
首先我们利用更改了附件1提供的数据，计算出该航空公司每条航线的总收入，总支出，然后利用“收益=总收入-总支出”计算出每条航线的收益，然后计算各个因素与收益的相关系数。
相关系数的计算公式：
为变量
与变量
的相关系数，其中
是变量
的均值，其中
的均值，并且相关系数越大表示两个变量间的相关性越高。
利用matlab软件编程求解，我们求得各因素与收益的相关系数，并对其从大到小进行排序：
表1：
影响收益因素与收益的相关系数
相关系数
收益相关因素
0.6054
平均折扣率
0.4862
航材维修费
0.4700
全价票价格
0.4686
不正常航班费用
0.4657
机供品
0.4437
客座率
0.4174
发动机维修费
0.3749
座位数
0.2370
起降及非航空性业务费
0.2307
航油费
0.2275
耗油量
0.2181
机组人员工资
0.0675
保险费-旅客责任险
-0.1027
餐费
-0.2513
航材消耗
4.1.3模型结果分析
我们选取相关系数较大的前8个因素作为影响航空公司收益的主要因素。
从上表中可以看到，主要因素中包含了平均折扣率、航材维修费、全价票价格等因素。
这些因素和我们的主观思考的结果很一致，这就说明我们用相关性分析获得的主要因素还是比较合理的。
为了更直观地体现出各主要因素与收益间的关系，我们给出了下图：
为了整改亏损航线，我们首先整理出了所有亏损航线，如下表：
表2：
亏损航线统计
航班号
航线全称
机型
收益
XX1571
西安-天津-沈阳
E190
0.4116
1374.52
1500
387.10
292.31
0.8411
2216.04
106
-6909.379
XX1572
沈阳-天津-西安
0.4866
1579.25
800
444.76
375.74
0.8847
2546.10
-27788.190
xx1607
天津-临沂-福州
0.4620
1354.86
381.57
367.09
0.6310
2184.33
-30110.340
XX1608
福州-临沂-天津
0.5739
1385.51
390.20
367.28
0.6997
2233.75
-22920.040
XX1617
天津-阜阳-厦门
1543.98
650
434.83
423.16
0.8273
2489.25
-33768.110
XX1618
厦门-阜阳-天津
1480.33
416.90
421.23
0.8253
2386.62
-38841.590
XX1648
呼和浩特-西安
A320
0.4171
1415.67
830
352.11
285.95
0.5855
1710.05
180
-1545.080
针对以上亏损的航线，基于我们选出的主要因素我们提出整改措施如下：
西安-天津-沈阳以及返航航线：
从上表可以看出,西安-天津-沈阳以及返航航线的收益分别是-6909.379及-27788.190，均处于亏损状态。
对于西安-天津-沈阳航线，可以利用上表的数据分析出其亏损的主要原因是平均折扣率太低，对于此，我们提出的整改措施是适当提高折扣率，同时通过提供更好的服务或者更换机型以及其它的方式来吸引更多的顾客。
而对于返航航线与西安-天津-沈阳航线最大的区别是全票价价格不同，同时其平均折扣率也是非常低，于是我们可以认为以上两点是造成其航线亏损如此之多的关键所在。
这与我们利用相关性分析出全票价价格也是影响收益的主要因素之一是吻合的，因此，如果此航线想要减少损失或者说获得更多利润，就需要适当的提高全价票价格。
同时，通过提供更好的服务或者更换机型以及其它的方式来吸引更多的顾客，进而适当提高折扣率[2]。
天津-临沂-福州以及返航航线：
天津-临沂-福州以及返航航线的收益分别是-30110.340以及-22920.040，亏损相对来说比较严重，从表中我们可以清楚地看到这两条航线的平均折扣率，全价票价格以及客座率均偏低，故早成航线亏损严重，这与我们的分析结果相吻合，对于此我们给出的整改措施是改变航线机型或者航班时刻，提高航线服务质量，从而增高客座率。
天津-阜阳-厦门航线以及返航航线：
天津-阜阳-厦门航线以及返航航线的收益分别是-33768.110以及-38841.590，亏损严重，通过分析我们得出其原因是全价票价格非常低，并且平均折扣率也偏低。
整改措施：
适当提高全价票价格，同时通过调整航班时刻或改变航线机型促进平均折扣率的提升。
呼和浩特-西安航线：
主要是由于折扣率较低，造成轻微亏损。
改变航线机型或者提供更好的服务或者采用其它方式增加平均折扣率。
4.2制定航班计划
4.2.1模型的分析
问题2的目的是制定新的航班计划，以达到航空公司的收益最大的最终目标。
由问题2的题设，航线、平均客座率、平均折扣率不变，所以如果我们假定票价也不变的话，可知各航线的收入总和不变。
同时，我们还假设附件1中各航线的成本也只跟航线本省有关，即除了租飞机要租金外，各航线的其他成本也不变。
于是，求解公司收益最大化的问题便转化为求解飞机利用率最大的问题。
因此可以建立以所需飞机数最少为目标的模型。
4.2.2基本符号说明
一架飞机每天可以飞行的最大时间
4.2.3模型建立与求解
对附件1的航线进行分析可以发现，所有航线可以分为西安、天津两个独立的基地。
再根据A320和E190两种机型，我们可以将各航线分成4个对立的系统进行求解。
下面对于各个系统我们分别建立如下模型。
目标：
最小化所用飞机架数，即
。
约束：
一架飞机每天飞行的总时间不能超过航线排班时间
则可得具体模型如下：
很显然以上模型是0-1整数规划模型，由于0-1整数规划模型是NP-难题，因此我们将原模型转化为较简单的0-1整数背包问题求解,其转化的具体过程如下：
（1）一架飞机每天可以飞行的最大时间可以看成一个背包可装物品的总数量。
（2）一条航线需要的飞行时间可以看成一个物品的质量。
（3）由题设每条航线每天飞且只飞一次可以看成物品的价值都相等（都取为1）
原模型要求使用的飞机数最少，即等价于每架飞机的利用率越高，也就对应每个背包的利用率越高，其具体的执行步骤为：
（1）输入原参数集合（航线的标号，每条航线的飞行时间，每条航线的价值）；
（2）运用动态规划算法求得一架飞机的排班计划；
（3）从原参数中去除已经分配航线对应的参数；
（4）判断参数集合是否为空集，如果为空集，输出各飞机的分配结果，过程结束否则返回第2步继续执行。
具体程序流程图如下:
根据附件1的数据，我们假设一架飞机每天的飞行时间最大为17.5个小时[7:
30,1:
00]，利用附件1提供的数据以及MATLAB软件对以上模型进行求解。
最后得出在保证航线正常运行的前提下，使得航空公司收益最大的最少飞机架数N为12，其中机型A320和机型E190各6架。
具体结果如下列各表：
首先给出符号说明：
n：
初始航线在附件1中对应的行标号；
s:
新的航线标号；
st：
新航线的飞行时间；
ZW:
每架飞机每天可以飞行的最长时间；
BH:
同一架飞机一天可以飞行的新的航线标号。
天津A320：
表3：
机型为A320的从天津出发的飞机的原始数据
n
15
16
19
20
31
32
39
40
41
42
47
48
49
50
51
52
s
1
2
3
4
5
6
7
8
st
5.7463
4.5563
4.2233
5.7373
4.3053
5.3933
10.4100
6.1063
将以上数据输入到MATLAB，可得出以下结果：
表4：
一架从天津出发的A320飞机一天飞行的时间与对应的航线之间的关系
BH
ZW
14.5260
15.4360
15.5163
天津E190：
表5：
机型为E190的从天津出发的飞机的原始数据
9
10
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
53
54
9.6880
67.246
9.0310
8.1250
7.5760
7.8940
8.7233
表6：
一架从天津出发的A190飞机一天飞行的时间与对应的航线之间的关系
16.29340
16.6070
16.0190
西安A320：
表7：
机型为A320的从西安出发的飞机的原始数据
11
12
17
18
33
34
35
36
37
38
43
44
45
46
8.2460
4.3320
7.4170
3.3193
3.2033
4.5333
4.3433
6.5770
表8：
一架从西安出发的A320飞机一天飞行的时间与对应的航线之间的关系
15.8973
15.1536
13.1343
西安E190：
表9：
机型为E190的从西安出发的飞机的原始数据
13
14
S
St
801059
7.8820
7.7340
将以上数据输入到MATLAB，可得出以下结果：
表10：
一架西安出发的E190飞机一天飞行的时间与对应的航线之间的关系
15.39870
由表3到表10可知，该航空公司至少需要12架飞机才能保证各条航线正常运转，即上述优化模型的最优解N=12，也就是说该公司还需要向租赁公司租借4架A320型飞机及2架E190型飞机。
进一步，我们对各架飞机进行具体的航班时刻安排。
我们在排航班时刻表的过程中，需要作出以下假设：
1）假设飞机每天最早航班为7:
30是合理的
2）假设飞机在每个中间站的停留时间为20分钟是足够的
3）假设飞机在飞行过程中是不会出故障的
基于以上几点，我们给出了可使得航空公司获得最大收益的航班时刻表。
由于航线太多，导致表格太大，故我们将其放于附录附表1中。
最后，我们容易计算得到：
这种方案可使该公司的月利润为4237.1万元（经查阅相关资料，1美元按6.3685人民币元换算）。
4.3考虑飞机停场时间的排班计划
4.3.1模型分析
由题意可知，维修停场时间为24小时，则在不向租赁公司租赁飞机的情况下，我们的航线是不能正常运营的。
因此，分别以西安、天津为维修基地的，以E190、A320飞机机型的分成4个独立系统进行分析（与第二问一样分类讨论）。
4.3.2模型符号说明
需要租的飞机架数
4.3.2模型的建立与求解
因为在问题2的基础上，我们还要额外考虑每架飞机累计飞行130个小时就得停场24小时的条件，故在问题2建立的模型基础上，我们提出如下改进的0-1规划模型。
最小化的增加飞机架数。
1.添加租的飞机后,每天飞行的飞机架数要大于或等于原来的飞机架数；
2.一架飞机一个月内飞行不能超过除去必须维修时间的最大天数
通过求解以上模型，我们得最优解为我们至少需要增加4架飞机。
即以西安为维修基地的分别用A320、E190型飞机运转、以天津为维修基地的分别用A320、E190型飞机运转的4类航线分别至少要增加同种型号飞机一架，方能使该航空公司正常营运。
显然，具体的交替维修方案是不唯一的，我们选取其中一种方案通过以下四个表格进行阐述：
（假定每条航线从一个月的一号开始运营，一个月以30天计）
表11：
关于以西安为维修基地、E190型飞机运转的航线交替维修方案表
日期
飞机
甲机
维修
飞行
乙机
租机
表12：
关于以西安为维修基地、A320型飞机运转的航线交替维修方案表
日期
丙机
表13：
关于以天津为维修基地、E190型飞机运转的航线交替维修方案表
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