数学建模竞赛A题.docx

1、数学建模竞赛A题2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包

2、括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：葡

3、萄酒的评价内容摘要葡萄酒的评价结果反映了葡萄酒的优劣程度，而葡萄酒的质量是由多种因素综合决定的。本文综合考虑了评酒员对葡萄酒的品尝评分、酿酒葡萄及葡萄酒的理化指标等因素，建立了相应的数学模型，利用excel软件，C+编程，变量的相关分析及统计学相关知识等对模型求解，并对所得结果分析比较，对葡萄酒进行评价。 针对问题一，根据附件1中两组品酒员对红、白葡萄酒的品尝评分，分别计算出两组品酒员对红、白葡萄酒各酒样品的评分总值及均值，确定出各酒样品的质量。通过欧式距离公式，计算出两组品酒员的评价结果差异性数据，得出两组品酒员的评价结果都存在显著性差异。然后通过计算两组品酒员对两种酒的评价总分的方差均值，

4、判断评价结果的稳定性，从而得出第二组的评价结果更可信。针对问题二，根据附件2中酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标，通过聚类算法对红、白两种葡萄进行聚类划分，将酒样品分为4类。然后根据葡萄酒质量，划分出样品的等级。再由葡萄酒样品等级，对聚类后的酿酒葡萄进行分级。针对问题三，根据附件2，可以得出葡萄酒中的一些物质含量相对于葡萄中的一些物质含量有所减少或增加。在葡萄酒的制作过程中，由于陈酿条件和发酵工艺及条件可能会造成物质的流失，导致酒中物质含量的减少，而葡萄酒中含量相对增加的物质可能是由葡萄中与其不相关的物质转化而形成的。通过分析葡萄酒中含量增加的指标与葡萄的各理化指标的相关性系数，判断出酿酒葡萄与葡萄酒

5、的理化指标之间的联系。针对问题四，对葡萄的理化指标与葡萄酒的评价指标进行相关性分析，结合问题三的结论，得出酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响。根据附件1，可知评价葡萄酒要综合考虑香气、口感等方面，而葡萄和葡萄酒的理化指标主要与口感相关，但并不能决定葡萄酒的质量。芳香物质与香气有关，在一定程度上也可能会影响葡萄酒的质量。分别对葡萄和葡萄酒的芳香物质进行聚类分析，将聚类结果与葡萄酒质量等级比较，从而得出结论。最后，我们就模型存在的不足之处提出了改进方案，并对优缺点进行了分析。关键字 欧式距离公式 聚类算法 变量的相关分析 C+编程 excel软件 一、问题重述确定葡萄酒质量时一般是通过聘

6、请一批有资质的评酒员进行品评。每个评酒员在对葡萄酒进行品尝后对其分类指标打分，然后求和得到其总分，从而确定葡萄酒的质量。酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有直接的关系，葡萄酒和酿酒葡萄检测的理化指标会在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的质量。建立数学模型讨论下列问题：1. 分析附件1中两组评酒员的评价结果有无显著性差异，哪一组结果更可信？2. 根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级。3. 分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。4分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量？二、问题的分析问题一：问题要求分析附件一中的数据

7、，两组评酒员，每组十人，根据葡萄酒的色泽、香气、口感、整体评价四个方面，对红、白酒样品进行评分。本文引入欧式公式，建立评酒员评价结果差异性模型，并对其进行求解。首先分别计算出两组品酒员对红、白葡萄酒各酒样品的评分总值及均值，确定出各酒样品的质量。通过欧式距离公式（其中n=10）表示第一组10个品酒员对第个红葡萄酒样品的评分，表示第二组10个品酒员对第个红葡萄酒样品的评分，计算出两组品酒员的评价结果差异性数据。由方差公式计算两组品酒员对两种酒的评价总分的方差均值，判断评价结果的稳定性，从而得出哪一组的评价结果更可信。问题二：本文定义了葡萄酒的质量：葡萄酒各类指标的总和。有第一组可以判断出那一组更

8、可信，由可信组的相关数据，确定每个样品总分的均值，即可代表酒样品的质量。将葡萄酒酒样品的分值进行排序，划分等级。根据附件2中酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标，建立聚类模型。传统k-均值的模型为： 这里是n个模式，是k*n的分区矩阵，集合中包含k个类的中心。此外，是第类的中心，为范数。通过此模型，对红、白两种葡萄进行聚类划分。然后根据葡萄酒质量，划分出样品的等级。再由葡萄酒样品等级，对聚类后的酿酒葡萄进行分级。问题三：通过观察附件2-指标总表，得出葡萄酒中的一些物质含量相对于葡萄中的一些物质含量有所减少或增加。在葡萄酒的制作过程中，由于陈酿条件和发酵工艺及条件可能会造成物质的流失，导致酒中物质含量的减

9、少。进而分析葡萄酒中含量相对增加的物质形成的原因。通过分析葡萄酒中含量增加的指标与葡萄的各理化指标的相关性系数，判断出酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。问题四：要得出酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，可以对葡萄的理化指标与葡萄酒的评价指标进行相关性分析。根据附件1，可知评价葡萄酒要综合考虑香气、口感等方面，色泽占3/20，香气占3/10，口感占11/25，整体评价占11/100。得出葡萄和葡萄酒的理化指标与口感的联系，芳香物质与香气有关，在一定程度上也可能会影响葡萄酒的质量。要得出结论，需分别对葡萄和葡萄酒的芳香物质进行聚类分析，再将聚类结果与葡萄酒质量等级比较。三、模型假设和

10、符号说明3.1模型假设 1.假设品酒时选择明亮安静没有特殊味道侵入的场所。 2.假设品酒员身体健康，精神状态良好。 3.假设葡萄的采摘和运输过程中没有任何浸渍和氧化现象。 4.假设酿造过程中，温度适中，不会产生由于温度过高而产生芳香物质增加的现象。 5.假设制酒过程中，所用的设备使用不锈钢材料，质量达到最好。 6.假设分离、压榨、破碎和氧化的过程规范。 7.假设发酵过程正常进行。 8.假设葡萄酒的稳定与成熟过程良好。3.2符号说明 1.表示第一组10个品酒员对第个红葡萄酒样品的评分，其 中，2.表示第二组10个品酒员对第个红葡萄酒样品的评分，其中3.表示n个模式4.代表k*n的分区矩阵5.集合

11、中包含k个类的中心6.是第类的中心7.为范数8. 9.表示传统k-均值四、模型的建立与求解4.1问题一4.1.1葡萄酒的均值 由附件1中两组品酒员对红、白两种葡萄酒的评价得分，分别求出两组中10个品酒员对27个红葡萄酒样品、28个白葡萄酒样品的总分，然后计算出各酒样品10个品酒员总分的均值（见表一），通过两组品酒员评分的均值，计算出红、白两种葡萄酒所得的均分（见表一）。表一：两种葡萄酒评分的总分的均值表酒样品号红葡萄酒白葡萄酒第一组第二组均值第一组第二组均值15568.161.5577.577.977.7280.37477.1574.275.875380.474.677.578.375.676

12、.95468.671.269.979.476.978.15573.372.172.77181.576.25672.266.369.2568.475.571.95771.549.860.6577.574.275.85872.36669.1571.472.371.85981.578.279.8572.980.476.65酒样品号红葡萄酒白葡萄酒第一组第二组均值第一组第二组均值1074.268.871.574.379.877.051170.161.665.8572.371.471.851253.968.361.163.372.467.851374.668.871.765.973.969.914737

13、2.672.87277.174.551558.765.762.272.478.475.41674.969.972.47474741779.374.576.978.880.379.551859.965.462.6573.176.774.91978.672.675.672.276.474.32078.675.877.277.876.677.22177.172.274.6576.479.277.82277.271.674.47179.475.22385.677.181.3575.977.476.65247871.574.7573.376.174.72569.268.268.777.179.578.3

14、2673.87272.981.374.377.8277371.572.2564.87770.92881.379.680.45由上表可得：在本次评价中，红、白葡萄酒各酒样品的均值。4.1.2评价结果的差异性分析通常使用欧氏距离来衡量两个向量之间的差异，我们把第一组的10个品酒人对第个样品的评价放入向量中，第二组的10个品酒人对第个样品的评价放入向量中，通过如下的用欧氏距离公式进行差异性计算，结果见表二.程序代码（见附录一）用欧氏距离公式： （其中n=10）通过附录1的程序代码运行，计算显著性差异，得出两组品酒员对红葡萄酒的评分结果的差异性数据，结果见表二.表二：红葡萄酒两组评酒员的评价结果差异性

15、数据样品号123456789差异性4.74 3.00 2.67 3.96 2.60 3.39 3.66 4.10 2.91 样品号101112131415161718差异性2.32 3.42 5.47 3.03 2.53 3.97 2.41 3.23 3.86 样品号192021222324252627差异性2.53 2.60 4.00 3.00 3.91 3.43 2.54 2.61 2.73 由上表可以看出27个样品间的欧氏距离值存在较大差异，因此两组品酒员的评价结果存在显著性差异。4.1.3评分结果可信度分析 由方差公式计算出红、白葡萄酒每个样品得分的总分方差（见表三），然后通过对各组方

16、差求平均值，得出红葡萄酒的总分方差均值，第一组为58.40494，第二组为36.38107，由此可知，在红葡萄酒的评价中第二组比第一组可信；同理白葡萄酒的总分方差均值小于第一组的，也是第二组较为可信。表三：两组人员对两种葡萄酒的总分方差红葡萄酒总分方差白葡萄酒总分方差样品号第一组第二组样品号第一组第二组187.1111181.87778139.1666725.87778239.7888916.222222201.066749.06667345.8222230.71111366.45556142.48894108.044441.28889444.7111142.1562.0111113.6555

17、65126.444426.27778659.7333321.122226162.711122.722227103.6111132.6222739.1666742.17778844.0111165.111118183.631.12222932.9444425.73333992.76667106.26671030.436.1777810212.677870.41170.7666738.0444411177.122287.822221279.6555625.1222212115.7889140.04441344.9333315.2888913170.766746.76667143623.155561

18、4114.222215.877781585.5666741.3444415131.654.044441618.120.1161781781788.011119.16666717144.177838.455561847.2111150.2666718156.544430.233331947.3777855.155561946.426.044442026.0444439.066672064.450.0444421116.135.5111121172.711164.42250.6222224.2666722138.666753.62332.4888924.766672343.6555611.6247

19、4.8888910.7222224111.122238.544442564.6222243.733332533.87778106.52631.2888941.555562672.9102.92749.7777820.527144.435.555562880.4555625.37778总分方差均值58.4049436.38107总分方差均值116.627859.439684.2问题二4.2.1模型的建立聚类算法可以把相似或相同的模式放入同一类中，因此我们考虑使用聚类算法对我们的酿酒葡萄进行分级。传统的传统的k-均值算法是最通常使用的聚类算法。传统的k-均值算法的基本思想是把n个模式划分到k个非空

20、的子集去，在划分的过程中，每个类的均值需要计算出。传统k-均值的模型为： 4.2.2模型求解 传统的k均值聚类算法描述如下：(1)、分配初始的均值（也可称为中心点）；(2)、把每一个模式分配到离它最近的类中；(3)、利用如下公式重新计算每个类的均值； 。 (4)、重复步骤（1）（3），直到准则函数收敛（比如：不再有新的分配）。 根据传统k-均值聚类算法将酿酒葡萄的27红葡萄样品划分等级，按上述步骤通过 C+编程（见附录二-2.1）重复计算1000次得出聚类结果（见表四），将葡萄分为4类。表四：红葡萄的聚类划分类别红葡萄样品11、2、8、1425、10、13、16、17、24、25、26、273

21、3、2144、6、7、9、11、12、15、18、19、20、22、23 由表四可以看出，根据红葡萄的理化指标（一级指标为30个）进行聚类分析，可以把27个样品分成4个类别，其中样品1、2、8、14根据理化指标非常类似归为一类，同理可把其它样品根据它们的理化指标进行归类。 由问题一的分析结果可知第二组的评价结果可信度高，因此以第二组的评价结果作为红、白葡萄酒的质量。将红葡萄酒的评分结果进行排序（见附录二-2.2），然后将评分结果划分为四个区间，并根其分值划分据将红葡萄酒样品划分为四个等级，得出表五。表五：红葡萄酒等级划分级别酒样品数分值区间19、23(76,10022、3、5、14、17、19

22、、20、21、26(72,7631、4、10、12、13、16、22、24、25、27(68,7246、7、8、11、15、18(0,68观察葡萄酒样品的编号在表四和表五中的等级分布可得出，样品9、23的得分最高，分布在葡萄划分的第四类，但是在第四类葡萄中其他样品的得分并不高，这说明好葡萄一部分可以酿成好酒，但不一定都能酿成好酒。由此可以得出，表4中的第4类为优质葡萄。对应表五中的2级别，我们可以看出，表四中的3类应为良质葡萄。表五中的3级别对应表四中的2级别，为中等葡萄。显然表四中的1类别中的葡萄质量较差。 同理，根据传统k-均值聚类算法对白葡萄的理化指标聚类得下表：表六：白葡萄的聚类划分类

23、别酒样品种类110、11、12、13、14、15、18、2021、2、6、8、9、17、19、2133、7、24、2744、5、16、22、23、25、26、28 同样对第二组白葡萄的评价结果进行排序（见附录二-2.2），然后将评分结果划分为四个区间，并根其分值划分据将白葡萄酒样品划分为四个等级，得出下表：表七：白葡萄酒等级划分级别酒样品数分值区间15、9、10、17、21、22、25、28(79,10021、15、14、23、27(77,7932、3、4、6、18、19、20、24(75,7747、8、11、12、13、26(0,75 观察白葡萄酒样品的编号在表六和表七的等级分布可得出，第4

24、类白葡萄的编号绝大多数分布在对白葡萄酒的第1等中，第1类白葡萄的编号绝大多数分布在第2等白葡萄酒中，第2类分布在第3等，第1类也分布在第4等中。 由此可以得出，白葡萄的第4类酿造出的葡萄酒的质量最高，即该类葡萄的质量最好，第2类仅次于第4类，第1类次之，第3类最差。同样，根据优良中差原则可得，第4类白葡萄为“优”等，第2类为“良”等，第1类为“中”等，第3类为“差”等。4.3问题三 根据附件2的相关数据，通过对葡萄跟葡萄酒中同种物质的含量做比较，可以看出葡萄酒中的一些物质的含量相对于葡萄中的一些物质含量有所增加或减少。在葡萄酒的制作过程中由于一些不可避免的因素可能会造成某些物质的流失，导致酒中

25、该物质的含量减少，而葡萄酒中含量相对增加的物质可能是由葡萄中与其相关的物质转化而成的。如：在红葡萄酒的酿造过程中花色苷、单宁、DPPH、a*(D65)以及b*(D65)有明显的增加（见附录三）；在白葡萄酒的酿造过程中L*(D65)和a*(D65)的含量有明显的增加（见附录三）。 为了进一步探究在酿造过程中红葡萄酒中含量相对增加的物质究竟是由红葡萄中的哪种相关物质所致，通过EXCEL软件计算其增加的物质的含量与红葡萄中所有物质含量的相关系数，见下表：表八：红葡萄酒相对于酿酒葡萄中含量增加的成份与酿酒葡萄各成分的相关系数红葡萄酒相对于酿酒葡萄中含量增加的成份与酿酒葡萄各成分的相关系数氨基酸总量蛋白

26、质VC含量花色苷酒石酸苹果酸花色苷0.1059580.296049-0.088740.9225970.0337810.692616单宁0.4962270.471382-0.091960.7195750.2812740.298368DPPH0.3599380.042096-0.041280.2686560.231685-0.14304果色a*-0.09981-0.014230.10728-0.348650.010294-0.55876果色b*0.3558380.046597-0.36797-0.240160.462424-0.3102柠檬酸多酚氧化酶活力褐变度DPPH自由基总酚单宁花色苷0.38

27、02510.4809370.7669930.5666160.61320.660853单宁0.1447680.1416390.4453690.7532540.8172360.71804DPPH-0.18751-0.10973-0.041050.4866110.5344350.3786果色a*-0.26868-0.00689-0.33496-0.1227-0.16846-0.09281果色b*-0.015370.102036-0.24432-0.055220.055094-0.20435葡萄总黄酮白藜芦醇黄酮醇总糖还原糖可溶性固形物花色苷0.441406-0.034990.4080860.051746-0.067710.190232单宁0.6837370.0490.5785390.3203010.0873210.410142DPPH0.6266930.021560.1208260.17691