全等三角形讲义全面上新课用.docx

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全等三角形讲义全面上新课用

全等三角形讲义

一、知识点总结

全等三角形定义：

形状大小相同，并且能够完全重合的两个三角形叫做全等形三角形。

补充说明：

重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

全等三角形的性质：

全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等

全等三角形判定定理：

（1）边边边定理：

三边对应相等的两个三角形全等。

（简称SSS）

（2）边角边定理：

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

（简称SAS）

（3）角边角定理：

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

（简称ASA）

（4）角角边定理：

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

（简称AAS）

（5）斜边、直角边定理：

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

（简称HL）

角平分线的性质：

在角平分线上的点到角的两边的距离相等.

∵OP平分∠AOB，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，∴PM=PN

角平分线的判定：

到角的两边距离相等的点在角的平分线上.

∵PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM=PN

∴OP平分∠AOB

三角形的角平分线的性质：

三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。

二、典型例题举例

例1、如图,△ABN≌△ACM,∠B和∠C是对应角,AB与AC是对应边,写出其他对应边和对应角.

例2、如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架．

求证：

△ABD≌△ACD．

例3、已知：

点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．

求证：

△ABE≌△CDF．

例4、如图：

D在AB上，E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C．求证AD＝AE．

例5、如图：

∠1=∠2，∠3=∠4求证：

AC=AD

例6、如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？

说说你的理由

例7、如图1，△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结EG，试判断△ABC与△AEG面积之间的关系，并说明理由.

例8、如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA交OA于D，PE⊥OB交OB于E，F是OC上的另一点，连接DF，EF，求证DF＝EF

例9、如图，△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上的一点，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F，求证：

D到PE的距离与D到PF的距离相等

例10、如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是28

，AB＝20cm，AC＝8cm，求DE的长．

例10、已知：

BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA，求证：

①△BEC≌△DAE；②DF⊥BC．

例11、如图，已知：

E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C，D是垂足，连接CD，求证:

（1）∠ECD=∠EDC；

（2）OD=OC；（3）OE是CD的中垂线.

三、专题版块

专题一：

全等三角形的判定和性质的应用

例1、如图，在△ABC中，AB=AC，BAC=40°,分别以AB

AC为边作两个等腰三角形ABD和ACE，使∠BAD=∠CAE=90°.

（1）求∠DBC的度数.

（2）求证：

BD=CE.

例2、如图，AB∥CD,AF∥DE,BE=CF,求证：

AB=CD.

例3、如图在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB边上的高，在BE延长线上截取BM＝AC，在CF延长线上截到CN＝AB，求证：

AM＝AN。

例4、如图，在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB边上两条高，在BE上截取BD＝AC，在CF的延长线上截到CG＝AB，连接AD、AG，则AD与AG之间有何关系？

证明你的结论。

（

例5、如图，等边△ABC和等边△CDE，A、C、E三点在一条直线上，点M为AD中点，点N为BE中点，。

（1）求证：

△CMN是等边三角形

（2）将△CDE绕点C旋转，则下列结论发生变化吗？

①AD＝BE；②AD与BE相交所成的角的度数；③△CMN为等边三角形。

专题二：

通过证明全等三角形，证明线段相等或平行、

例1、如图，已知△ABC

△DEF,且点D与点A对应.求证：

（1）AB∥DE;

（2）DC=AF

例2、如图,已知:

AD是BC上的中线,且DF=DE．求证:

BE∥CF．

专题三：

线段之间数量关系

例1、已知：

如图，△ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2，求证：

AB=AC+CD．

例2、如图，∠ABC＝90°，AB＝BC，D为AC上一点，分别过A.C作BD的垂线，垂足分别为E.F,求证：

EF＝CF－AE.

例3、已知：

如图所示，BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，判断PM与PN的关系．

例4、如图所示，P为∠AOB的平分线上一点，PC⊥OA于C，∠OAP+∠OBP=180°，若OC=4cm，求AO+BO的值．

例5、已知：

如图，四边形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于E，且B+D=180，求证：

AE=AD+BE

6、如图，AB∥CD，∠ABE＝∠EBC，∠ECB＝∠ECD，求证：

BC＝AB＋CD。

专题四：

角平分线问题

例1、如图，AD⊥DC，BC⊥DC，E是DC上一点，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，求证：

点E是DC中点。

例2、如图，已知BF是∠DBC的平分线，CF是∠ECB的平分线，求证：

点F在∠BAC的平分线上。

例3、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于O点，求证：

①AE＋CD=AC.②若已知AE＋CD=AC求证：

∠B=60°

例4、在△ABC中D是BC中点ED⊥DF分别交AB、AC于E、F点试比较BE+CF与EF的大小

例5、如图，△ABC中，AD是∠A的平分线，E、F分别为AB、AC上一点，且∠EDF＋∠BAF=180°，求证：

DE=DF.

四、全等三角形练习试题

基础题

1、如图，在Rt△ABC中，AB=AC，AD⊥BC,垂足为D，E,F分别为CD,AD上的点，且CE=AF，如果∠AED=62°,则∠DBF=（）

A.62°B.38°C.28°D50°

（5）

2、如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于E点，则∠AEC+∠DEB=

3、如图，四边形

的对角线

与

相交于

点，

，

．

求证：

（1）

；

（2）

．

4、如图，在Rt△ABC中，∠=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，AC=15cm,且CD:

AD=2:

3,求点D到AB的距离。

5、如图，AD=BC,AD∥BC,AE=FC.求证：

BE∥DF.

6、如图，AB∥CD，AD∥BC，OE＝OF，图中全等三角形共有______对.

7、在数学活动课上，小明提出这样一个问题：

∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED＝35°，如图，则∠EAB是多少度？

大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是______.

8、如图，AD，A′D′分别是锐角三角形ABC和锐角三角形A′B′C′中BC，B′C′边上的高，且AB＝A′B′，AD＝A′D′．若使△ABC≌△A′B′C′，请你补充条件________.（填写一个你认为适当的条件即可）

9、如图，∠DCE=90o，CD=CE，AD⊥AC，BE⊥AC，垂足分别为A、B，试说明AD+AB＝BE.

中档题

1、如图，已知BE⊥AD，交AD延长线于点E，CF⊥AD，且BE=CF，请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线，并说明你判断的理由.

2、如图，CF,BE是△ABC高，且BP=AC,CQ=AB,试判断AP与AQ的数量关系，并证明.

（3、如图，P是∠BAC内一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E和F,AE=AF.

（1）求证：

PE=PF；

（2）∠CAP与∠BAP相等吗？

为什么？

（4、如图，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，BF和CE交于点D，且BE=CF，求证：

AD平分∠BAC

5、如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．

（1）求证：

MB=MD，ME=MF

（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？

若成立请给予证明；若不成立请说明理由．

6、如图17所示，在∠AOB的两边上截取AO＝BO，OC＝OD，连接AD、BC交于点P，连接OP，则下列结论正确的是（）

①△APC≌△BPD②△ADO≌△BCO③△AOP≌△BOP④△OCP≌△ODP

A．①②③④B．①②③C．②③④D．①③④

能力题

1、如图13所示，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC,AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，若AB=10,求△BDE的周长.

2、根据下列条件，能画出唯一△ABC的是（）

A、AB=3,BC=4,CA=8B、AB=4,BC=3,∠A=30°

C、∠C=60°,∠B=45°,AB=4D、∠C=90°,AB=6

3、如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内求证：

（1）∠PBA=∠PCQ=30°；

（2）PA=PQ

（4、如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形.

求证:

BD=CE;∠ABD=∠ACE

5、如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：

①AD=BE；

②PQ∥AE；

③AP=BQ；

④DE=DP；

⑤∠AOB=60°．

恒成立的结论有______________（把你认为正确的序号都填上）．

6、如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC，交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC的延长线于G，求证：

BF=CG.

7、如图，已知BF＝CE，BC＝EF，AB＝DE，求证：

∠A＝∠D，∠AEF＝∠CBD。

8、如图，∠B＝∠C，EF⊥BC于E交AB于D，交CA和延长线于F，AM⊥FD于M，求证：

FM＝DM。

9、如图，已知AM∥BN，AC平分∠MAB，BC平分∠NBA。

（1）过点C作直线DE，分别交AM、BN于点D、E，求证：

AB＝AD＋BE

（2）如图，若将直线DE绕点C转动，使DE与AM交于点D，与NB的延长线交于点E，则AB、AD、BE三条线段的长度之间存在何种等量关系？

谫你给出结论并加以证明。