第13讲二次函数与圆的综合教案.docx

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第13讲二次函数与圆的综合教案

二次函数与圆的结合

1、已知二次函数图象的顶点在原点O，对称轴为y轴．一次函数y=kx+1的图象与二次函数的图象交于A，B两点（A在B的左侧），且A点坐标为（-4，4）．平行于x轴的直线l过（0，-1）点．

（1）求一次函数与二次函数的解析式；

（2）判断以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系，并给出证明；

（3）把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t个单位（t＞0），二次函数的图象与x轴交于M，N两点，一次函数图象交y轴于F点．当t为何值时，过F，M，N三点的圆的面积最小，最小面积是多少？

2.如图，二次函数y=ax2+bx的图象与一次函数y=x+2的图象交于A、B两点，点A的横坐标是-1，点B的横坐标是2．

（1）求二次函数的表达式；

（2）设点C在二次函数图象的OB段上，求四边形OABC面积的最大值；

（3）试确定以点A为圆心，半径为1.4的圆与直线OB的位置关系．

3.如图，已知二次函数y=（x-m）2-4m2（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点．

（1）写出A、B两点的坐标（坐标用m表示）；

（2）若二次函数图象的顶点P在以AB为直径的圆上，求二次函数的解析式；

（3）在

（2）的基础上，设以AB为直径的⊙M与y轴交于C、D两点，求CD的长．

4.已知二次函数y=x2+bx+c的顶点M在直线y=-4x上，并且图象经过点

A（-1，0）．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）设此二次函数与x轴的另一个交点为B，与y轴的交点为C，求经过M、B、C三点的圆O′的直径长；

（3）设圆O′与y轴的另一个交点为N，经过P（-2，0）、N两点的直线为l，则圆心O′是否在直线上，请说明理由．

5.已知：

如图，抛物线

与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，∠ACB＝90°，

⑴求m的值及抛物线顶点坐标；

⑵过A、B、C的三点的⊙M交y轴于另一点D，连结DM并延长交⊙M于点E，过E点的⊙M的切线分别交x轴、y轴于点F、G，求直线FG的解析式；

⑶在条件⑵下，设P为弧CBD上的动点（P不与C、D重合），连结PA交y轴于点H，问是否存在一个常数k，始终满足AH·AP＝k，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由.

6.如图、圆心在坐标原点的○O的半径为1，若抛物线y=—x²+c和○O刚好有三个公共点，则此时c=，若抛物线和○O有两个公共点，则c可以取得一切值为

7.如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y=

x2-2上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为

8.已知如图，抛物线y=x2-x-1与y轴交于C点，以原点O为圆心，以OC为半径作⊙O，交x轴于A、B两点，交y轴于另一点D．设点P为抛物线y=x2-x-1上的一点，作PM⊥x轴于点M，求使△PMB∽△ADB时的P点坐标．

9.已知抛物线y=x²-1和x轴交于A，B（点A在点B的右边）两点，和y轴交于点C，点P为抛物线上的动点。

（1）求出A、C两点坐标

（2）求动点P到原点O的距离的最小值，并求此时点P的坐标

（3）当点P在抛物线上运动时，过点P的直线交x轴与点E，若△POE和△POC全等，求此时点P的坐标。

10.如图，已知抛物线

的顶点坐标为M，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴相交于点C．

（1）用配方法将抛物线的解析式化为顶点式：

（

），并指出顶点M的坐标；

（2）在抛物线的对称轴上找点R，使得CR+AR的值最小，并求出其最小值和点R的坐标；

（3）以AB为直径作⊙N交抛物线于点P（点P在对称轴的左侧），求证：

直线MP是⊙N的切线．

答案

1.分析：

（1）已知了一次函数的图象经过A点，可将A点的坐标代入一次函数中，即可求出一次函数的解析式．

由于抛物线的顶点为原点，因此可设其解析式为y=ax2，直接将A点的坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式．

（2）求直线与圆的位置关系需知道圆心到直线的距离和圆的半径长．由于直线l平行于x轴，因此圆心到直线l的距离为1．因此只需求出圆的半径，也就是求AB的长，根据

（1）中两函数的解析式即可求出B点的坐标，根据A、B两点的坐标即可求出AB的长．然后判定圆的半径与1的大小关系即可．

（3）先设出平移后抛物线的解析式，不难得出平移后抛物线的对称轴为x=2．因此过F，M，N三点的圆的圆心必在直线x=2上，要使圆的面积最小，那么圆心到F点的距离也要最小（设圆心为C），即F，C两点的纵坐标相同，因此圆的半径就是2．C点的坐标为（2，1）（可根据一次函数的解析式求出F点的坐标）．可设出平移后的抛物线的解析式，表示出MN的长，如果设对称轴与x轴的交点为E，那么可表示出ME的长，然后在直角三角形MEC中根据勾股定理即可确定平移的距离．即t的值．（也可根据C点的坐标求出M，N点的坐标，然后用待定系数法求出平移后的抛物线的解析式，经过比较即可得出平移的距离，即t的值）．

2.

（1）先求出A、B两点坐标，将A、B两点入坐标代入y=ax2+bx即可解得二次函数的表达式；

（2）设点C的坐标为（t，t2），表示出S关于t的解析式，观察解析式可知当t=1时，四边形OABC面积S取最大值；

（3）过点A作AD⊥OB于D，根据三角形的面积公式求出AD的长度，再判断AD与⊙A的半径1.4的关系，可知圆A与直线OB相交．

3.

（1）解关于x的一元二次方程（x-m）2-4m2=0，求出x的值，即可得到A、B两点的坐标；

（2）由二次函数图象的顶点P在以AB为直径的圆上，A、B是抛物线与x轴的交点，根据抛物线的对称性及圆的半径处处相等可知PM是AB的垂直平分线，且MP=MA=MB=

AB，得出点P的坐标为（m，-2m），又根据二次函数的顶点式为y=（x-m）2-4m2（m＞0），得出顶点P的坐标为：

（m，-4m2），则-2m=-4m2，解方程求出m的值，再把m的值代入y=（x-m）2-4m2，即可求出二次函数的解析式；

（3）连接CM．根据

（2）中的结论，先在Rt△OCM中，求出CM，OM的长度，利用勾股定理列式求出OC的长，再根据垂径定理得出弦CD的长等于OC的2倍．

4.

（1）由公式法可表示出二次函数的顶点坐标代入y=-4x，得到关于b，c的关系式，再把A的坐标代入函数解析式又可得到b，c的关系式，联立以上两个关系式解方程组求出b和c的值即可求出这个二次函数的解析式；

（2）分别求出B，C，和M的坐标，利用勾股定理求出BC，MC，BM的长，利用勾股定理的逆定理即可证明三角形为直角三角形，并且BM为圆的直径问题得解；

（3）圆心O′在直线上，过O′作x轴的垂线，交x轴于R，过O′作y轴的垂线，交y轴于T，交MQ于S，利用圆周角定理和勾股定理求出O′，N的坐标，再设经过P（-2，0）、N两点的直线为l的解析式为y=kx+b，把O的坐标代入已求出的一次函数的解析式检验即可．

5.

（1）已知抛物线过C点，因此C点的坐标为（0，m）．OC=-m，在直角三角形ACB中，由于OC⊥AB，根据射影定理可得出OC2=OA•OB，而OA•OB可根据一元二次方程根与系数的关系求出，由此可得出关于m的方程，求出m的值，即可确定抛物线的解析式，根据二次函数的解析式即可得出其顶点坐标．

（2）由于△AOC和△MOD中，∠ACO和∠MDO的正切值相同，因此这两角也相等，可得出AC∥DE，也就能求出DE⊥CB，因此BC∥FG，由此可得出直线FG与直线BC的斜率相同，可先根据B、C的坐标求出直线BC的解析式，然后即可得出直线FG的斜率．那么关键是求出E点的坐标．连接CE，DC⊥CE，C点的纵坐标就是E点的纵坐标，在直角三角形DCE中，可根据DE，DC的长求出CE的长，也就能求出E点的坐标，然后根据E点的坐标即可求出直线FG的解析式．

（3）连接CP、AP，利用垂径定理、三角形相似（△ACH∽△APC）、勾股定理解答即可；

6.

8.

.

9.

10：

（1）∵

=

，

∴抛物线的解析式化为顶点式为：

，顶点M的坐标是（

，

）；

（2）∵

，∴当y=0时，

，解得x=1或6，

∴A（1，0），B（6，0），∵x=0时，y=﹣3，∴C（0，﹣3）．

连接BC，则BC与对称轴x=

的交点为R，连接AR，则CR+AR=CR+BR=BC，

根据两点之间线段最短可知此时CR+AR的值最小，最小值为BC=

=

．

设直线BC的解析式为

，∵B（6，0），C（0，﹣3），

∴

，解得：

，

∴直线BC的解析式为：

，令x=

，得y=

=

，

∴R点坐标为（

，

）；

（3）设点P坐标为（x，

）．∵A（1，0），B（6，0），∴N（

，0），∴以AB为直径的⊙N的半径为

AB=

，∴NP=

，即

，移项得，

，得：

，

整理得：

，

解得

（舍去），

，

（在对称轴的右侧，舍去），

（舍去），

∴点P坐标为（2，2）．∵M（

，

），N（

，0），

∴

=

=

，

=

=

，

=

=

，∴

，∴∠MPN=90°，

∵点P在⊙N上，∴直线MP是⊙N的切线．