江苏省镇江市届高三第一次模拟考试数学.docx

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江苏省镇江市届高三第一次模拟考试数学

　　　疑是银河落九天．　李白

　　　　　飞流直下三千尺，

密封线

____________　名姓____________　级班____________　校学

（这是边文，请据需要手工删加）

镇江市高三数学试卷　第页（共6页）

（这是边文，请据需要手工删加）

江苏省镇江市2019届高三第一次模拟考试

数　　学注意事项：

1.本试卷共160分，考试时间120分钟．

2.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内．

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共70分．

T←1

i←2

WhileT<10

　T←T＋i

　i←i＋2

End　While

Print　i

（第4题）1.已知集合A＝{0，1，2}，集合B＝{－1，0，2，3}，则A∩B＝________．

2.函数f（x）＝的定义域为________．

3.从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为6的概率是________．

4.根据如图所示的伪代码，最后输出的i的值为________．

5.已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为________．　

6.抛物线y2＝8x的焦点到双曲线－＝1渐近线的距离为________．

7.设Sn是等比数列{an}的前n项的和，若＝－，则＝________．

8.已知函数f（x）＝－2x，则满足f（x2－5x）＋f（6）>0的实数x的取值范围是________．　

9.若2cos2α＝sin，α∈，则sin2α＝________．

10.已知△ABC是边长为2的等边三角形，D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝3EF，则·的值为________．

11.已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），前n项和为Sn，且数列{}也为公差为d的等差数列，则d＝________．

12.已知x>0，y>0，x＋y＝＋，则x＋y的最小值为________．

13.已知圆O：

x2＋y2＝1，圆M：

（x－a）2＋（y－2）2＝2.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得PA⊥PB，则实数a的取值范围为________．

14.设函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx（a，b，c∈R，a≠0）．若不等式xf′（x）－af（x）≤2对一切x∈R恒成立，则的取值范围为________．

二、解答题：

本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15.（本小题满分14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ccosB＋bcosC＝3acosB.

（1）求cosB的值；

（2）若|－|＝2，△ABC的面积为2，求边b.

16.（本小题满分14分）如图，在四棱锥VABCD中，底面ABCD是矩形，VD⊥平面ABCD，过AD的平面分别与VB，VC交于点M，N.

（第16题）

（1）求证：

BC⊥平面VCD；

（2）求证：

AD∥MN.

17.（本小题满分14分）某房地产商建有三栋楼宇A，B，C，三楼宇间的距离都为2km，拟准备在此三楼宇围成的区域ABC外建第四栋楼宇D，规划要求楼宇D对楼宇B，C的视角为120°，如图所示，假设楼宇大小高度忽略不计．

（1）求四栋楼宇围成的四边形区域ABDC面积的最大值；

（2）当楼宇D与楼宇B，C间距离相等时，拟在楼宇A，B间建休息亭E，在休息亭E和楼宇A，D间分别铺设鹅卵石路EA和防腐木路ED，如图所示．已知铺设鹅卵石路、防腐木路的单价分别为a，2a（单位：

元/km，a为常数）．记∠BDE＝θ，求铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值．

（第17题）

18.（本小题满分16分）已知椭圆C：

＋＝1（a>b>0）的长轴长为4，两准线间距离为4.设A为椭圆C的左顶点，直线l过点D（1，0），且与椭圆C相交于E，F两点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若△AEF的面积为，求直线l的方程；

（3）已知直线AE，AF分别交直线x＝3于点M，N，线段MN的中点为Q，设直线l和QD的斜率分别为k（k≠0），k′.求证：

k·k′为定值．

（第18题）

19.（本小题满分16分）设数列{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a2a4＝64.数列{bn}满足对任意的正整数n，都有a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝（n－1）·2n＋1＋2.

（1）分别求数列{an}与{bn}的通项公式；

（2）若不等式λ·…·<对一切正整数n都成立，求实数λ的取值范围；

（3）已知k∈N*，对于数列{bn}，若在bk与bk＋1之间插入ak个2，得到一个新数列{cn}．设数列{cn}的前m项的和为Tm，试问：

是否存在正整数m，使得Tm＝2019？

如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由．

20.（本小题满分16分）已知函数f（x）＝alnx－bx（a，b∈R）．

（1）若a＝1，b＝1，求函数y＝f（x）的图象在x＝1处的切线方程；

（2）若a＝1，求函数y＝f（x）的单调区间；

（3）若b＝1，已知函数y＝f（x）在其定义域内有两个不同的零点x1，x2，且x10）恒成立，求实数m的取值范围．

题　　　　　　　　答　　　　　　　　要　　　　　　　　不　　　　　　　　内　　　　　　　　线　　　　　　　　封　　　　　　　　密

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密封线

______________　名姓　　______________　级班　　______________　校学

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镇江市高三数学试卷·附加题　第页（共2页）

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江苏省镇江市2019届高三第一次模拟考试

数学附加题注意事项：

1.附加题供选修物理的考生使用．

2.本试卷共40分，考试时间30分钟．

3.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内．

21.（本小题满分10分）求函数y＝3cos的图象在x＝处的切线方程．

22.（本小题满分10分）已知定点A（－2，0），点B是圆x2＋y2－8x＋12＝0上一动点，求AB中点M的轨迹方程．

数学参考答案　第页（共4页）

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江苏省镇江市2019届高三第一次模拟考试

数学参考答案及评分标准

1.{0，2}　2.{x|x≤2}　3.　4.8　5.π　6.

7.　8.（2，3）　9.－　10.　11.　12.3　13.－2≤a≤2　14.

15.

（1）由正弦定理＝＝，（1分）

且ccosB＋bcosC＝3acosB，

得sinCcosB＋sinBcosC＝3sinAcosB，（3分）

则有3sinAcosB＝sin（B＋C）＝sin（π－A）＝sinA．（5分）

又A∈（0，π），则sinA>0，（6分）

则cosB＝.（7分）

（2）因为B∈（0，π），则sinB>0，

sinB＝＝＝.（9分）

因为|－|＝||＝c＝2.（10分）

又S＝acsinB＝a×2×＝2，得a＝3.（12分）

由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝9＋4－2×3×2×＝9，则b＝3.（14分）

16.

（1）在四棱锥VABCD中，

因为VD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以VD⊥BC.（3分）

因为底面ABCD是矩形，所以BC⊥CD.（4分）

又CD⊂平面VCD，VD⊂平面VCD，CD∩VD＝D，

则BC⊥平面VCD.（7分）

（2）因为底面ABCD是矩形，所以AD∥BC.（8分）

又AD⊄平面VBC，BC⊂平面VBC，

则AD∥平面VBC.（11分）

又因为平面ADNM∩平面VBC＝MN，

AD⊂平面ADNM，则AD∥MN.（14分）

17.

（1）因为三楼宇间的距离都为2km，

所以AB＝AC＝BC＝2，（1分）

因为楼宇D对楼宇B，C的视角为120°，

所以∠BDC＝120°，（2分）

（注：

此处不交代说明必须按标准扣分！

）

在△BDC中，由BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC，（3分）

得22＝BD2＋CD2－2BD·CD·cos120°

＝BD2＋CD2＋BD·CD，

≥2BD·CD＋BD·CD＝3BD·CD，

则BD·CD≤，（4分）

当且仅当BD＝CD时，此时∠DBC＝∠DCB＝30°，BD＝CD＝＝，（5分）

（注：

此处一定要说明BD＝CD能否成立）

区域最大面积S＝S△ABC＋S△BCD＝×2×2×sin60°＋BD×CD×sin120°＝（km2）．（7分）

（另解：

因为Rt△ABD，△ACD全等，区域最大面积S＝S△ABD＋S△ACD＝2S△ABD＝2×AB×BD＝（km2））　（7分）

（2）设铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用为y元，

在Rt△BDE中，由

（1）知∠BDE＝θ∈，（8分）

则DE＝，BE＝tanθ，AE＝AB－BE＝2－tanθ，（9分）

所以y＝2a·ED＋a·AE

＝2a＋a

＝a＋2a，θ∈.（10分）

记f（θ）＝，令f′（θ）＝＝0，

解得θ＝∈.（11分）

当θ∈时，f′（θ）<0，函数f（θ）为减函数；

当θ∈时，f′（θ）>0，函数f（θ）为增函数．

所以当θ＝时，f（θ）取最小值，此时ymin＝4a（元）．（12分）

答：

（1）四栋楼宇围成的四边形区域ABDC面积的最大值为km2；

（2）铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值为4a元．（14分）

18.

（1）由长轴长2a＝4，准线间距离2＝4，

解得a＝2，c＝，（2分）

则b2＝a2－c2＝2，即椭圆的方程为＋＝1①.（4分）

（2）当直线l的斜率不存在，此时EF＝，△AEF的面积S＝AD·EF＝，不合题意；（5分）

当直线l的斜率存在，设直线l:

y＝（k－1）②，代入①得，（1＋2k2）x2－4k2x＋2k2－4＝0③，

因为D（1，0）在椭圆内，所以Δ>0恒成立．

设E1（x1，y1），F（x2，y2），

则有x1，2＝④，（6分）

EF＝＝|x1－x2|

＝·，（7分）

点A到直线l的距离为d＝，（8分）

则△AEF的面积

S＝d·EF

＝···

＝＝，（9分）

则k＝±1.

综上，直线l的方程为x－y－1＝0和x＋y－1＝0.（10分）

（3）设直线AE:

y＝（x＋2），令x＝3，

得点M，同理可得N，

所以点Q的坐标，（12分）

直线QD的斜率为k′＝，（13分）

而＋＝＋

＝k，（14分）

由

（2）中④得x1＋x2＝，x1x2＝，代入上式得，（15分）

＋＝k＝＝－，

则有k′＝－，所以k·k′＝－为定值．（16分）

19.

（1）设等比数列{an}的公比为q（q>0），

因为a1＝2，a2a4＝a1q·a1q3＝64，

解得q＝2，则an＝2n.（1分）

当n＝1时，a1b1＝2，则b1＝1.（2分）

当n≥2时，

a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝（n－1）·2n＋1＋2①，

a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＝（n－2）·2n＋2②，

由①－②得anbn＝n·2n，则bn＝n.

综上，bn＝n.（4分）

（2）不等式λ·…·<对一切正整数n都成立，

即λ·…·<，

因为·…·>0，

当λ≤0时，不等式显然成立．（5分）

当λ>0时，则不等式等价于·…·<，

设f（n）＝·…·，

则＝

＝

＝<1，（7分）

所以f

（1）>f

（2）>f（3）>…>f（n）>…，

>f（n）max＝f

（1）＝，则0<λ<.

综上λ<.（8分）

（注：

如果考生直接分离λ<，不讨论λ的正负，评分标准为：

单调性证明2分，求最值求范围2分）

（3）在数列{cn}中，从b1至bk（含bk项）的所有项的和是（1＋2＋3＋…＋k）＋（21＋22＋…＋2k－1）×2＝＋2k＋1－4，（10分）

当k＝9时，其和是45＋210－4＝1065<2019，

当k＝10时，其和是55＋211－4＝2099>2019.（12分）

又因为2019－1065＝954＝477×2，（14分）

所以当m＝9＋（2＋22＋…＋28）＋477＝996时，

Tm＝2019.

即存在m＝996，使得Tm＝2019.（16分）

20.

（1）当a＝1，b＝1时，f（x）＝lnx－x，（1分）

则有f′（x）＝－1，即f′

（1）＝－1＝0.（3分）

又f

（1）＝－1，则所求切线的方程为y＝－1.（4分）

（2）当a＝1时，f（x）＝lnx－bx，

则有f′（x）＝－b＝，（5分）

函数的定义域为（0，＋∞）．

①若b≤0，则f′（x）>0恒成立，即f（x）的单调增区间为（0，＋∞）；（6分）

②若b>0，则由f′（x）＝0，得x＝.

当x∈时，f′（x）>0，f（x）的单调增区间为，（7分）

当x∈时，f′（x）<0，f（x）的单调减区间为.（8分）

（3）因为x1，x2分别是方程alnx－x＝0的两个根，即alnx1＝x1，alnx2＝x2，

两式相减得a（lnx2－lnx1）＝x2－x1，则a＝，（9分）

则不等式a<（1－m）x1＋mx2（m>0），可变为<（1－m）x1＋mx2，

两边同时除以x1，得<1－m＋m.（10分）

令t＝，t>1，则有<1－m＋mt在t∈（1，＋∞）上恒成立．

因为1－m＋mt>0，lnt>0，即lnt－>0.（11分）

令k（t）＝lnt－，k′（t）＝＝.

①当≤1时，即m≥时，k′（t）>0在（1，＋∞）上恒成立，则k（x）在（1，＋∞）上单调递增，

又k

（1）＝0，则k（t）>0在（1，＋∞）上恒成立．（13分）

②当>1，即0

则当t∈时，k′（t）<0，

则k（x）在上单调递减，

则k（x）

（1）＝0，不符合题意．（15分）

综上，m的取值范围为.（16分）

江苏省镇江市2019届高三第一次模拟考试

数学附加题参考答案及评分标准

21.y′＝－3sin′＝－6sin，（4分）

则切线在x＝π处的斜率k＝－6sin＝－6，　（6分）

当x＝π时，y＝3cos＝0，（7分）

则切线的方程为y－0＝－6，

即y＝－6x＋π.（10分）

22.方法一：

设点M（x，y），点B（x0，y0），

因为M为AB的中点，则x＝，y＝，（4分）

则x0＝2x＋2，y0＝2y.（6分）

将点B（x0，y0）代入圆x2＋y2－8x＋12＝0，得

（2x－2）2＋4y2＝4，化简为（x－1）2＋y2＝1，

即点M的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝1.（10分）

方法二：

设点M（x，y），圆心记为点C（－4，0），AC的中点记为M′，则M′（1，0），（2分）

所以MM′为△OMB的中位线，

则MM′＝BC＝r＝1，

动点M到定点M′的距离为1，M的轨迹是以M′为圆心，1为半径的圆，（7分）

则点M的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝1.（10分）

23.在直三棱柱ABCA1B1C1中，有AB⊥AC，

又AA1⊥AB，AA1⊥AC，

（第23题）

以{，，}为基底，建立如图所示的空间直角坐标系．（1分）

因为AB＝2，AC＝4，

AA1＝3，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），A1（0，0，3），B1（2，0，3），C1（0，4，3）．

因为D是BC的中点，所以D（1，2，0）．

（1）＝（－1，2，3），

设n1＝（x1，y1，z1）为平面A1B1D的一个法向量，

因为＝（2，0，0），＝（－1，2，－3），

所以则

不妨设n1＝（0，3，2）．（3分）

设直线DC1与平面A1B1D所成角为θ，

则sinθ＝|cos〈，n1〉|＝＝，

所以直线DC1与平面A1B1D所成角的正弦值为.（5分）

（2）＝（－1，2，3），＝（－2，4，0），设n2＝（x2，y2，z2）为平面B1DC1的一个法向量，所以则不妨设n2＝（2，1，0），（7分）

同理可求得平面A1DC1的一个法向量n3＝（3，0，1），

则cos〈n2，n3〉＝＝，（9分）

由图可知，二面角B1DC1A1的大小的余弦值为.（10分）

24.

（1）A1＝（x2＋y2）cosθ＝（x2＋y2）＝x2－y2，（1分）

B1＝（x2＋y2）sinθ＝（x2＋y2）＝2xy.（2分）

（2）①当n＝1时，A1＝x2－y2，B1＝2xy，

因为x，y为整数，

则A1，B1均为整数，则结论成立．（4分）

②假设当n＝k（k≥1）时，Ak，Bk均为整数；（5分）

则当n＝k＋1时，Ak＋1＝（x2＋y2）k＋1cos（k＋1）θ

＝（x2＋y2）（x2＋y2）k（coskθcosθ－sinkθsinθ）

＝（x2＋y2）cosθ·（x2＋y2）kcoskθ－（x2＋y2）k·sinkθ·（x2＋y2）sinθ

＝A1·Ak－B1·Bk，（9分）

所以Ak＋1也为整数，即当n＝k＋1时，结论也成立．

综合①②得，对一切正整数n，An均为整数．（10分）

23.（本小题满分10分）在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB⊥AC，AB＝2，AC＝4，AA1＝3，D是BC的中点．

（1）求直线DC1与平面A1B1D所成角的正弦值；

（2）求二面角B1DC1A1的大小的余弦值．

（第23题）

24.（本小题满分10分）已知x，y为整数，且x>y>0，θ∈，n为正整数，cosθ＝，sinθ＝，记An＝（x2＋y2）ncosnθ，Bn＝（x2＋y2）nsinnθ.

（1）试用x，y分别表示A1，B1；

（2）用数学归纳法证明：

对一切正整数n，An均为整数．

题　　　　　　　　答　　　　　　　　要　　　　　　　　不　　　　　　　　内　　　　　　　　线　　　　　　　　封　　　　　　　　密

（这是边文，请据需要手工删加）