江苏省镇江市届高三第一次模拟考试数学.docx
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江苏省镇江市届高三第一次模拟考试数学
疑是银河落九天. 李白
飞流直下三千尺,
密封线
____________ 名姓____________ 级班____________ 校学
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镇江市高三数学试卷 第页(共6页)
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江苏省镇江市2019届高三第一次模拟考试
数 学注意事项:
1.本试卷共160分,考试时间120分钟.
2.答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共70分.
T←1
i←2
WhileT<10
T←T+i
i←i+2
End While
Print i
(第4题)1.已知集合A={0,1,2},集合B={-1,0,2,3},则A∩B=________.
2.函数f(x)=的定义域为________.
3.从1,2,3,4,5这5个数中,随机抽取2个不同的数,则这2个数的和为6的概率是________.
4.根据如图所示的伪代码,最后输出的i的值为________.
5.已知一个圆锥的底面积为π,侧面积为2π,则该圆锥的体积为________.
6.抛物线y2=8x的焦点到双曲线-=1渐近线的距离为________.
7.设Sn是等比数列{an}的前n项的和,若=-,则=________.
8.已知函数f(x)=-2x,则满足f(x2-5x)+f(6)>0的实数x的取值范围是________.
9.若2cos2α=sin,α∈,则sin2α=________.
10.已知△ABC是边长为2的等边三角形,D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=3EF,则·的值为________.
11.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),前n项和为Sn,且数列{}也为公差为d的等差数列,则d=________.
12.已知x>0,y>0,x+y=+,则x+y的最小值为________.
13.已知圆O:
x2+y2=1,圆M:
(x-a)2+(y-2)2=2.若圆M上存在点P,过点P作圆O的两条切线,切点为A,B,使得PA⊥PB,则实数a的取值范围为________.
14.设函数f(x)=ax3+bx2+cx(a,b,c∈R,a≠0).若不等式xf′(x)-af(x)≤2对一切x∈R恒成立,则的取值范围为________.
二、解答题:
本大题共6小题,共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且ccosB+bcosC=3acosB.
(1)求cosB的值;
(2)若|-|=2,△ABC的面积为2,求边b.
16.(本小题满分14分)如图,在四棱锥VABCD中,底面ABCD是矩形,VD⊥平面ABCD,过AD的平面分别与VB,VC交于点M,N.
(第16题)
(1)求证:
BC⊥平面VCD;
(2)求证:
AD∥MN.
17.(本小题满分14分)某房地产商建有三栋楼宇A,B,C,三楼宇间的距离都为2km,拟准备在此三楼宇围成的区域ABC外建第四栋楼宇D,规划要求楼宇D对楼宇B,C的视角为120°,如图所示,假设楼宇大小高度忽略不计.
(1)求四栋楼宇围成的四边形区域ABDC面积的最大值;
(2)当楼宇D与楼宇B,C间距离相等时,拟在楼宇A,B间建休息亭E,在休息亭E和楼宇A,D间分别铺设鹅卵石路EA和防腐木路ED,如图所示.已知铺设鹅卵石路、防腐木路的单价分别为a,2a(单位:
元/km,a为常数).记∠BDE=θ,求铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值.
(第17题)
18.(本小题满分16分)已知椭圆C:
+=1(a>b>0)的长轴长为4,两准线间距离为4.设A为椭圆C的左顶点,直线l过点D(1,0),且与椭圆C相交于E,F两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若△AEF的面积为,求直线l的方程;
(3)已知直线AE,AF分别交直线x=3于点M,N,线段MN的中点为Q,设直线l和QD的斜率分别为k(k≠0),k′.求证:
k·k′为定值.
(第18题)
19.(本小题满分16分)设数列{an}是各项均为正数的等比数列,a1=2,a2a4=64.数列{bn}满足对任意的正整数n,都有a1b1+a2b2+…+anbn=(n-1)·2n+1+2.
(1)分别求数列{an}与{bn}的通项公式;
(2)若不等式λ·…·<对一切正整数n都成立,求实数λ的取值范围;
(3)已知k∈N*,对于数列{bn},若在bk与bk+1之间插入ak个2,得到一个新数列{cn}.设数列{cn}的前m项的和为Tm,试问:
是否存在正整数m,使得Tm=2019?
如果存在,求出m的值;如果不存在,请说明理由.
20.(本小题满分16分)已知函数f(x)=alnx-bx(a,b∈R).
(1)若a=1,b=1,求函数y=f(x)的图象在x=1处的切线方程;
(2)若a=1,求函数y=f(x)的单调区间;
(3)若b=1,已知函数y=f(x)在其定义域内有两个不同的零点x1,x2,且x10)恒成立,求实数m的取值范围.
题 答 要 不 内 线 封 密
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密封线
______________ 名姓 ______________ 级班 ______________ 校学
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镇江市高三数学试卷·附加题 第页(共2页)
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江苏省镇江市2019届高三第一次模拟考试
数学附加题注意事项:
1.附加题供选修物理的考生使用.
2.本试卷共40分,考试时间30分钟.
3.答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
21.(本小题满分10分)求函数y=3cos的图象在x=处的切线方程.
22.(本小题满分10分)已知定点A(-2,0),点B是圆x2+y2-8x+12=0上一动点,求AB中点M的轨迹方程.
数学参考答案 第页(共4页)
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江苏省镇江市2019届高三第一次模拟考试
数学参考答案及评分标准
1.{0,2} 2.{x|x≤2} 3. 4.8 5.π 6.
7. 8.(2,3) 9.- 10. 11. 12.3 13.-2≤a≤2 14.
15.
(1)由正弦定理==,(1分)
且ccosB+bcosC=3acosB,
得sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosB,(3分)
则有3sinAcosB=sin(B+C)=sin(π-A)=sinA.(5分)
又A∈(0,π),则sinA>0,(6分)
则cosB=.(7分)
(2)因为B∈(0,π),则sinB>0,
sinB===.(9分)
因为|-|=||=c=2.(10分)
又S=acsinB=a×2×=2,得a=3.(12分)
由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=9+4-2×3×2×=9,则b=3.(14分)
16.
(1)在四棱锥VABCD中,
因为VD⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以VD⊥BC.(3分)
因为底面ABCD是矩形,所以BC⊥CD.(4分)
又CD⊂平面VCD,VD⊂平面VCD,CD∩VD=D,
则BC⊥平面VCD.(7分)
(2)因为底面ABCD是矩形,所以AD∥BC.(8分)
又AD⊄平面VBC,BC⊂平面VBC,
则AD∥平面VBC.(11分)
又因为平面ADNM∩平面VBC=MN,
AD⊂平面ADNM,则AD∥MN.(14分)
17.
(1)因为三楼宇间的距离都为2km,
所以AB=AC=BC=2,(1分)
因为楼宇D对楼宇B,C的视角为120°,
所以∠BDC=120°,(2分)
(注:
此处不交代说明必须按标准扣分!
)
在△BDC中,由BC2=BD2+DC2-2BD·DC·cos∠BDC,(3分)
得22=BD2+CD2-2BD·CD·cos120°
=BD2+CD2+BD·CD,
≥2BD·CD+BD·CD=3BD·CD,
则BD·CD≤,(4分)
当且仅当BD=CD时,此时∠DBC=∠DCB=30°,BD=CD==,(5分)
(注:
此处一定要说明BD=CD能否成立)
区域最大面积S=S△ABC+S△BCD=×2×2×sin60°+BD×CD×sin120°=(km2).(7分)
(另解:
因为Rt△ABD,△ACD全等,区域最大面积S=S△ABD+S△ACD=2S△ABD=2×AB×BD=(km2)) (7分)
(2)设铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用为y元,
在Rt△BDE中,由
(1)知∠BDE=θ∈,(8分)
则DE=,BE=tanθ,AE=AB-BE=2-tanθ,(9分)
所以y=2a·ED+a·AE
=2a+a
=a+2a,θ∈.(10分)
记f(θ)=,令f′(θ)==0,
解得θ=∈.(11分)
当θ∈时,f′(θ)<0,函数f(θ)为减函数;
当θ∈时,f′(θ)>0,函数f(θ)为增函数.
所以当θ=时,f(θ)取最小值,此时ymin=4a(元).(12分)
答:
(1)四栋楼宇围成的四边形区域ABDC面积的最大值为km2;
(2)铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值为4a元.(14分)
18.
(1)由长轴长2a=4,准线间距离2=4,
解得a=2,c=,(2分)
则b2=a2-c2=2,即椭圆的方程为+=1①.(4分)
(2)当直线l的斜率不存在,此时EF=,△AEF的面积S=AD·EF=,不合题意;(5分)
当直线l的斜率存在,设直线l:
y=(k-1)②,代入①得,(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0③,
因为D(1,0)在椭圆内,所以Δ>0恒成立.
设E1(x1,y1),F(x2,y2),
则有x1,2=④,(6分)
EF==|x1-x2|
=·,(7分)
点A到直线l的距离为d=,(8分)
则△AEF的面积
S=d·EF
=···
==,(9分)
则k=±1.
综上,直线l的方程为x-y-1=0和x+y-1=0.(10分)
(3)设直线AE:
y=(x+2),令x=3,
得点M,同理可得N,
所以点Q的坐标,(12分)
直线QD的斜率为k′=,(13分)
而+=+
=k,(14分)
由
(2)中④得x1+x2=,x1x2=,代入上式得,(15分)
+=k==-,
则有k′=-,所以k·k′=-为定值.(16分)
19.
(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0),
因为a1=2,a2a4=a1q·a1q3=64,
解得q=2,则an=2n.(1分)
当n=1时,a1b1=2,则b1=1.(2分)
当n≥2时,
a1b1+a2b2+…+anbn=(n-1)·2n+1+2①,
a1b1+a2b2+…+an-1bn-1=(n-2)·2n+2②,
由①-②得anbn=n·2n,则bn=n.
综上,bn=n.(4分)
(2)不等式λ·…·<对一切正整数n都成立,
即λ·…·<,
因为·…·>0,
当λ≤0时,不等式显然成立.(5分)
当λ>0时,则不等式等价于·…·<,
设f(n)=·…·,
则=
=
=<1,(7分)
所以f
(1)>f
(2)>f(3)>…>f(n)>…,
>f(n)max=f
(1)=,则0<λ<.
综上λ<.(8分)
(注:
如果考生直接分离λ<,不讨论λ的正负,评分标准为:
单调性证明2分,求最值求范围2分)
(3)在数列{cn}中,从b1至bk(含bk项)的所有项的和是(1+2+3+…+k)+(21+22+…+2k-1)×2=+2k+1-4,(10分)
当k=9时,其和是45+210-4=1065<2019,
当k=10时,其和是55+211-4=2099>2019.(12分)
又因为2019-1065=954=477×2,(14分)
所以当m=9+(2+22+…+28)+477=996时,
Tm=2019.
即存在m=996,使得Tm=2019.(16分)
20.
(1)当a=1,b=1时,f(x)=lnx-x,(1分)
则有f′(x)=-1,即f′
(1)=-1=0.(3分)
又f
(1)=-1,则所求切线的方程为y=-1.(4分)
(2)当a=1时,f(x)=lnx-bx,
则有f′(x)=-b=,(5分)
函数的定义域为(0,+∞).
①若b≤0,则f′(x)>0恒成立,即f(x)的单调增区间为(0,+∞);(6分)
②若b>0,则由f′(x)=0,得x=.
当x∈时,f′(x)>0,f(x)的单调增区间为,(7分)
当x∈时,f′(x)<0,f(x)的单调减区间为.(8分)
(3)因为x1,x2分别是方程alnx-x=0的两个根,即alnx1=x1,alnx2=x2,
两式相减得a(lnx2-lnx1)=x2-x1,则a=,(9分)
则不等式a<(1-m)x1+mx2(m>0),可变为<(1-m)x1+mx2,
两边同时除以x1,得<1-m+m.(10分)
令t=,t>1,则有<1-m+mt在t∈(1,+∞)上恒成立.
因为1-m+mt>0,lnt>0,即lnt->0.(11分)
令k(t)=lnt-,k′(t)==.
①当≤1时,即m≥时,k′(t)>0在(1,+∞)上恒成立,则k(x)在(1,+∞)上单调递增,
又k
(1)=0,则k(t)>0在(1,+∞)上恒成立.(13分)
②当>1,即0则当t∈时,k′(t)<0,
则k(x)在上单调递减,
则k(x)(1)=0,不符合题意.(15分)
综上,m的取值范围为.(16分)
江苏省镇江市2019届高三第一次模拟考试
数学附加题参考答案及评分标准
21.y′=-3sin′=-6sin,(4分)
则切线在x=π处的斜率k=-6sin=-6, (6分)
当x=π时,y=3cos=0,(7分)
则切线的方程为y-0=-6,
即y=-6x+π.(10分)
22.方法一:
设点M(x,y),点B(x0,y0),
因为M为AB的中点,则x=,y=,(4分)
则x0=2x+2,y0=2y.(6分)
将点B(x0,y0)代入圆x2+y2-8x+12=0,得
(2x-2)2+4y2=4,化简为(x-1)2+y2=1,
即点M的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.(10分)
方法二:
设点M(x,y),圆心记为点C(-4,0),AC的中点记为M′,则M′(1,0),(2分)
所以MM′为△OMB的中位线,
则MM′=BC=r=1,
动点M到定点M′的距离为1,M的轨迹是以M′为圆心,1为半径的圆,(7分)
则点M的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.(10分)
23.在直三棱柱ABCA1B1C1中,有AB⊥AC,
又AA1⊥AB,AA1⊥AC,
(第23题)
以{,,}为基底,建立如图所示的空间直角坐标系.(1分)
因为AB=2,AC=4,
AA1=3,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),A1(0,0,3),B1(2,0,3),C1(0,4,3).
因为D是BC的中点,所以D(1,2,0).
(1)=(-1,2,3),
设n1=(x1,y1,z1)为平面A1B1D的一个法向量,
因为=(2,0,0),=(-1,2,-3),
所以则
不妨设n1=(0,3,2).(3分)
设直线DC1与平面A1B1D所成角为θ,
则sinθ=|cos〈,n1〉|==,
所以直线DC1与平面A1B1D所成角的正弦值为.(5分)
(2)=(-1,2,3),=(-2,4,0),设n2=(x2,y2,z2)为平面B1DC1的一个法向量,所以则不妨设n2=(2,1,0),(7分)
同理可求得平面A1DC1的一个法向量n3=(3,0,1),
则cos〈n2,n3〉==,(9分)
由图可知,二面角B1DC1A1的大小的余弦值为.(10分)
24.
(1)A1=(x2+y2)cosθ=(x2+y2)=x2-y2,(1分)
B1=(x2+y2)sinθ=(x2+y2)=2xy.(2分)
(2)①当n=1时,A1=x2-y2,B1=2xy,
因为x,y为整数,
则A1,B1均为整数,则结论成立.(4分)
②假设当n=k(k≥1)时,Ak,Bk均为整数;(5分)
则当n=k+1时,Ak+1=(x2+y2)k+1cos(k+1)θ
=(x2+y2)(x2+y2)k(coskθcosθ-sinkθsinθ)
=(x2+y2)cosθ·(x2+y2)kcoskθ-(x2+y2)k·sinkθ·(x2+y2)sinθ
=A1·Ak-B1·Bk,(9分)
所以Ak+1也为整数,即当n=k+1时,结论也成立.
综合①②得,对一切正整数n,An均为整数.(10分)
23.(本小题满分10分)在直三棱柱ABCA1B1C1中,已知AB⊥AC,AB=2,AC=4,AA1=3,D是BC的中点.
(1)求直线DC1与平面A1B1D所成角的正弦值;
(2)求二面角B1DC1A1的大小的余弦值.
(第23题)
24.(本小题满分10分)已知x,y为整数,且x>y>0,θ∈,n为正整数,cosθ=,sinθ=,记An=(x2+y2)ncosnθ,Bn=(x2+y2)nsinnθ.
(1)试用x,y分别表示A1,B1;
(2)用数学归纳法证明:
对一切正整数n,An均为整数.
题 答 要 不 内 线 封 密
(这是边文,请据需要手工删加)