第五章资本资产定价理论.docx
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第五章资本资产定价理论
第五章资本资产定价理论
第一节资本资产定价模型
与资产组合理论一样，CAPM也是对现实世界抽象化研究，因此，他也是建立在一系列严格假设条件之上的。
CAPM在马柯维茨的资产组合理论基础上，另外附加了一些自己的假设条件。
增加的假设条件有：
（1）投资者具有同质预期，即市场上的所有投资者对资产的评价和对经济形势的看法都是一致的，对资产收益和收益概率分布的看法也是一致的。
（2）存在无风险资产，投资者可以以无风险利率无限制地借入或者贷出资金。
一、引入无风险资产——资本市场线
我们在第四章马柯维茨的证券组合中引入无风险资产。
下图中，最小方差组合为N点，这一点有风险组合的风险最小，但是由于系统风险的存在，投资组合不能消除系统风险，所以最小方差组合的期望收益比有风险资产的期望收益大，因此E（rp）>rf，同时，
，即双曲线与纵轴不相交。
现在引入无风险证券，与有风险证券组合的期望收益最低为rf，此时风险为0，这时候的投资组合是100%投入无风险证券。
在此组合中加入风险组合，新组合一定落在rf与双曲线上的点的连线上，（无风险证券与有风险证券的组合是线性的）从rf可以对表示风险组合的双曲线引无数条这样的组合线，但是只有与双曲线相切的直线效用最高，这条线就叫做资本市场线（CAL——CapitalMarketLine），这条直线实际构成了无风险证券和有风险资产组合的有效边界。
在这个包括无风险证券与有风险资产组合的有效组合边界上（资本市场线），两基金分离定理依然成立。
不过这里其中一项基金是无风险证券，另一项是切点M代表的有风险资产的组合。
资本市场线上的任意一点所代表的投资组合都可以由一定比例的无风险证券和由M点所代表的有风险资产组合生成。
由此得出一个在金融投资领域很有意义的结果。
对于从事投资服务的金融机构来说，不管投资者的收益/风险偏好如何，只需要找到切点M所代表的有风险投资组合，再加上无风险证券，就能为所有的投资者提供最佳投资方案。
重要的是，这一最佳投资方案的设计与投资者的收益/风险偏好无关。
投资者的收益/风险偏好，只需要反映在组合中无风险证券所占的比重。
M点右上方的投资组合表示：
卖空无风险证券后（比如以无风险利率贷款），将所得的资金投资于M点所代表的有风险资产组合。
如果M点所代表的有风险资产组合的预期收益率和标准差分别为
和
，投资于这一有风险资产组合的资金比例是
，投资于无风险证券的资金比例是
，则加上无风险证券后的组合的预期收益率
和标准差
就应该是：
剩下的任务就是要搞明白M点所代表的有风险资产组合是什么样的组合。
三、市场组合
市场组合是这样的投资组合，它包含所有市场上存在的资产种类，各种资产所占的比例和每种资产的总市值占市场所有资产的总市值的比率相同。
举例，一个很小的市场上只有3种资产：
股票A、股票B和无风险证券。
股票A的总市值是660亿元，股票B的总市值是220亿元，无风险证券的总市值是120亿元。
市场所有资产的总市值是1000亿元。
于是，一个市场组合包括所有这3种证券，股票A的价值在其中占了66%，股票B的价值占22%，无风险证券占12%。
因此，市场组合是一个缩小了的市场盘子。
有风险资产的市场组合就是从市场组合中拿掉无风险证券后的组合。
这样，上例中，有风险资产的市场组合里，股票A和股票B的比例是3:
1（660:
220），即股票A占75%，股票B占25%。
在这种情况下，也即是市场上只有两只股票，M点所代表的资产组合就是有风险资产的市场组合。
指数化投资策略P42。
四、证券市场线
前面所述就是资本资产定价模型（CAPM）的核心内容。
CAPM模型的提出，标志着分析金融学走向成熟。
这一模型在1965年前后由威廉夏普（WilliamSharpe）、约翰林特纳（JohnLintner）和简莫辛（JanMossin）分别独立提出。
自马柯维茨的开创性工作到提出CAPM资本资产定价模型，间隔长达12年，足见现代金融学发展道路的艰难与曲折。
资本资产定价模型的进一步是要讨论单项有风险资产在资本市场上的定价问题。
刚才，描述任何有风险资产组合的风险的标准差
可表示为
其中
是各项资产在组合中的权重。
如果市场上总共有n项有风险资产，而组合p就是有风险资产的市场组合M的话，有
从而
其中
是第
种资产在有风险资产的市场组合中的比重。
由此我们发现，有风险资产的市场组合的总风险只与各项资产与市场组合的风险相关性有关（各项资产的收益率与市场组合的收益率之间的协方差），而与各项资产本身的风险（各项资产收益率的方差）无关。
这样，在投资者的心目中，如果
越大，则第
种资产对市场组合的风险的影响就越大，在市场均衡时，该项资产应该得到的风险补偿也就应该越大。
于是
令
，（第i项资产的
系数）则
证券市场线很清晰地反映了风险资产的预期报酬率与其所承担的系统风险β系数之间呈线性关系，充分体现了高风险高收益的原则。
证券市场线与资本市场线的区别
1、“证券市场线”的横轴是“贝塔系数（只包括系统风险）”；“资本市场线”的横轴是“标准差（既包括系统风险又包括非系统风险）”。
2、“证券市场线”揭示的是“证券的本身的风险和报酬”之间的对应关系；“资本市场线”揭示的是“持有不同比例的无风险资产和市场组合情况下”风险和报酬的权衡关系。
3、资本市场线中的“风险组合的期望报酬率”与证券市场线中的“平均股票的要求收益率”含义不同；“资本市场线”中的“σ（标准差）”不是证券市场线中的“贝塔系数”。
4、证券市场线表示的是“要求收益率”，即投资“前”要求得到的最低收益率；而资本市场线表示的是“期望报酬率”，即投资“后”期望获得的报酬率。
5、证券市场线的作用在于根据“必要报酬率”，利用股票估价模型，计算股票的内在价值；资本市场线的作用在于确定投资组合的比例；
第二节套利定价模型
CAPM模型问世以后取得了巨大的成功。
但是显而易见的是，该模型建立在一系列严格的假设条件之上，这些假设跟现实生活的差距太大，因此该模型遭到强烈质疑与批评。
1976年，StephenRose发表了题为《收益风险和套利》的论文，系统提出了套利定价理论（arbitragepricingtheory-APT），从而将CAPM理论的研究推向一个新的阶段。
一、套利原理
我们在讨论无套利均衡分析方法时曾经指出：
无套利分析的关键之处在于互相复制的头寸在未来的现金流能够实现完全对冲，如果目前市场中互相复制的头寸价格不一样，就会存在套利机会。
此时市场上投机者就会套利，直到重建均衡。
但套利行为可以倒过来看，如果有两项头寸的当前市场价格相等，其中一项的未来收入现金流不管发生什么情况都会大于另一项头寸未来现金流，则可以对第一项做多，对第二项做空。
二者组合起来的投资组合就称为“零投资组合”，投资者当前不需要投入任何资金，未来组合的现金流的净现值肯定是大于零的。
我们来看一个复杂的例子：
假定有ABCD四家公司，在两种宏观经济变量的影响下，其收益率会出现4种情况
真实利率高
真实利率低
通胀率高
通胀率低
通胀率高
通胀率低
概率
25%
25%
25%
25%
股票收益率
A
-20
20
40
60
B
0
70
20
-20
C
90
-20
-10
70
D
15
23
15
36
这四种股票目前的价格、收益率、标准差和相关系数矩阵为：
股票
当前价格
（元）
预期收益率（%）
标准差
相关系数矩阵
A
B
C
D
A
10
25
29.58
1
-0.15
-0.29
0.68
B
10
20
33.91
-0.15
1
-0.87
-0.38
C
10
32.5
48.15
-0.29
-0.87
1
0.22
D
10
22.25
8.58
0.68
-0.38
0.22
1
根据这些数据我们很难直接看出套利机会。
现在我们把ABC三种股票以等权重组合起来，再与股票D进行比较，得下表：
真实利率高
真实利率低
通胀率高
通胀率低
通胀率高
通胀率低
A，B，C等权重组合
23.33%
23.33%
20.00%
36.67%
D
15.00%
23.00%
15.00%
36.00%
计算三种股票组合与D股票的预期收益率、标准差和相关系数
预期收益率
标准差
相关系数
三种股票组合
25.83%
6.40
0.94
D
22.25%
8.58
这两种投资方式并不是完全正相关。
因此他们并不能完全复制。
但是显而易见的是，组合的预期收益率高于D股票，标准差小于D股票，所以组合优于D股票。
因此，不管任何投资者，不管其对风险的厌恶态度如何，都可以利用这种比较优势来套利。
办法很简单，只要对D作空头，把卖空所得同时做ABC组合的多头就可以。
假设卖空3000股股票D，将所得买入ABC各1000股。
不同情况下的现金流如表：
从当前现金流来看，我们的投资组合是零投资组合，即开始可以完全不需要任何资金的投入，但以后不论发生什么情况都能得到正的利润。
股票
当前投资组合现金流（万元）
真实利率高
真实利率低
通胀率高
通胀率低
通胀率高
通胀率低
A
-1
-2
2
4
6
B
-1
0
7
3
-2
C
-1
9
-2
-1
7
D
3
4.5
-6.9
-4.5
-10.8
现金流（万元）
0
2.5
0.1
1.5
0.2
只要这一机会不消失，套利就可以一直进行下去。
而且从理论上讲，只需要有一位投资者进行大规模套利，市场就会作出快速反应，D价格会下跌，其他三种股票价格会上升，套利机会就会被消除掉。
要注意的是，我们讨论的套利必须是无风险的，但在实际的市场操作中，套利的概念并不要求完全无风险，只要是搜寻定价失衡机会的套利行为都可以称之为套利，这种套利被称为风险套利。
二、套利定价模型（APT）
套利定价理论真正有用的是多因素情况，但为了加深理解，我们先讨论存在一个具有系统性影响的宏观经济因素的情况，我们把这个宏观因素记为F。
1．单因素套利定价模型
单因素套利定价模型中首先由这样的关系
——第i项金融工具的实际实现收益率
E（ri）——预期收益率
F——宏观经济因素的实际值，可以求出的常数，因此E（F）=0，
——影响股票价格的非系统风险，只代表纯粹的非系统风险，它不仅跟F不相关，而且所包含的非系统风险之间也是彼此不相关。
这样就将系统风险跟非系统风险严格区分开。
即
，
作这样的区分在ATP模型中有重要意义。
残差项的数学期望为零，表明残差所包含的因素只对资产的风险有贡献，但对资产的收益没有贡献。
而相关系数为零，表示，模型中不再存在同时两种或两种以上资产收益的共同因素。
这样。
模型就成功分离了所有影响资产收益的公共风险因子。
举例：
F代表未预期的GDP增长率的变化，GDP增长率预期是4%，实际增长只有3%，则F=-1%。
是第i项金融工具的收益率对宏观因素F的敏感度，这里假定
，于是，这项金融工具实际实现的收益率因为宏观经济因素的影响将比预期收益率低1.2%，此时，再加上非系统风险的影响
，就可以确定实际实现的收益率。
现在我们来看一个非系统风险被充分分散化掉的投资组合P，在这个组合里，n项金融工具的权重为
，组合收益率为：
此处有
我们也可以求出组合的方差
这里，
是宏观因素的方差，
是组合的非系统风险，由下式给出：
（因为各个
彼此不相关，因此，所有的协方差都为0）
为分析简便起见，假定，组合中各项金融工具的权重都相等，即有
，于是有：
，其中
代表各项金融工具的平均方差。
显然，当n相当大时，组合的方差就会变得很小，即非系统风险可以通过投资分散化被消除掉。
即
。
因此，对于一个充分分散化的投资组合来说，其收益率与方差分别为：
实际上，在一个充分分散化的投资组合中，各项证券的比重不一定要相等。
命题1：
如果两个充分分散化的投资组合有相同的
值，它们在市场中的预期收益率必定相等。
证明（反证）：
如果现在我们确定有两个充分分散化的投资组合A和B，
，必定有
，否则会出现套利机会。
比如
，
，
。
我们卖空价值100万的组合B，同时将卖空所得100万元投资于组合A，就能套取2万元的无风险利润。
算式如下：
公式：
到期A多头的收益
到期B空头的支付
净利润
这里还有一个有趣的结论，如果两个投资组合的
值相等，则两个投资组合的方差就相等，
，因为投资组合的方差只与
值相关，而预期收益率不相等，这时的套利被称为“无风险套利”机会。
前面讲过，单因素套利定价模型是：
两边取数学期望：
一定可以构造一个投资组合A，由无风险证券和受单因素F影响的投资组合组成，权重分别为
。
，将上式代入得：
其中
表示受单因素影响的投资组合的灵敏度，换句话说，如果A投资组合中的风险投资只受单因素F影响，则
，同时当n足够大
，则
即
，
这是证券市场线的表达方式，但是CAPM导出证券市场线时，加入许多有关市场完善性和环境无摩擦的假设，而套利定价理论则完全没有用到这些假设。
换句话说，CAPM是ATP套利定价理论的一个特例。
2．多因素ATP模型
现在讨论多个因素的情况。
模型表达式扩展为：
假设因素
代表对GDP预期值的偏离，因素
代表未预期到的通货膨胀的变化。
表示在资产组合中某资产对其他风险因素的灵敏度为0，对
的灵敏度为1时候的期望收益率。
与上面一样：
三、套利定价模型和资本资产定价模型的比较
APT模型与CAPM模型最大的区别就在于前者采用的是无套利的分析方法，而后者采用的风险/收益分析方法。
与CAPM模型相比，APT模型是在更弱的假设条件下推导出的更为一般的资本市场定价模型。
APT模型的主要局限性主要表现在两个方面：
首先，APT模型没有说明决定资产定价的风险因子的数目和类型，也没有说明各个因子风险溢价的符号和大小，这就使得模型在实际应用中有着一定的困难；
其次，由于APT模型中包含了残差风险，而残差风险只有在组合中存在大量的分散化资产时才能被忽略，因此APT模型实际上是一种极限意义上的资产定价理论，对于实际生活中资产数目有限的资产组合而言，其指导意义受到一定的限制。
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