（3）
有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部
外切
d＝R＋r．
（4）
有唯一公共点，除这个点外，
的每个点都在
内部
内切
d＝R－r．
（5）
有两个公共点
相交
R－r〈d〈R＋r．
10．两圆的性质：
（1）两个圆是一个轴对称图形,对称轴是两圆连心线．
（2）相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点．
11．圆中有关计算：
圆的面积公式：
周长C＝2πR．
圆心角为n°、半径为R的弧长
．
圆心角为n°,半径为R，弧长为l的扇形的面积
．
弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算．
圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为
，侧面积为2πRl，全面积为
．
圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为πRl，全面积为
母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有
．
【经典例题精讲】
例1如图23—2，已知AB为⊙O直径,C为
上一点，CD⊥AB于D，∠OCD的平分线CP交⊙O于P,试判断P点位置是否随C点位置改变而改变？
例2下列命题正确的是（）
A．相等的圆周角对的弧相等
B．等弧所对的弦相等
C．三点确定一个圆
D．平分弦的直径垂直于弦．
解：
A．在同圆或等圆中相等的圆周角所对的劣弧相等，所以A不正确．
B．等弧就是在同圆或等圆中能重合的弧，因此B正确．
C．三个点只有不在同一直线上才能确定一个圆．
D．平分弦（不是直径）的直径垂直于此弦．
故选B．
例3四边形ABCD内接于⊙O,∠A︰∠B︰∠C＝1︰2︰3，求∠D．
分析：
圆内接四边形对角之和相等，圆外切四边形对边之和相等．
解:
设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则∠D＝∠A＋∠C－∠B＝2x．
x＋2x＋3x＋2x＝360°,
x＝45°．
∴∠D＝90°．
小结:
此题可变形为:
四边形ABCD外切于⊙O，周长为20，且AB︰BC︰CD＝1︰2︰3，求AD的长．
例4为了测量一个圆柱形铁环的半径，某同学采用如下方法：
将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，用如图23—4所示方法得到相关数据，进而可以求得铁环半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径是
__________cm．
分析：
测量铁环半径的方法很多，本题主要考查切线长性质定理、切线性质、解直角三角形的知识进行合作解决，即过P点作直线OP⊥PA，再用三角板画一个顶点为A、一边为AP、大小为60°的角，这个角的另一边与OP的交点即为圆心O，再用三角函数知识求解．
解:
．
小结：
应用圆的知识解决实际问题，应将实际问题变成数学问题，建立数学模型．
例5已知
相交于A、B两点,
的半径是10，
的半径是17,公共弦AB＝16，求两圆的圆心距．
解：
分两种情况讨论：
（1）若
位于AB的两侧（如图23—8）,设
与AB交于C，连结
，则
垂直平分AB,∴
．
又∵AB＝16
∴AC＝8．
在
中,
．
在
中，
．
故
．
（2）若
位于AB的同侧（如图23-9），设
的延长线与AB交于C，连结
．
∵
垂直平分AB，
∴
．
又∵AB＝16,
∴AC＝8．
在
中，
．
在
中，
．
故
．
注意：
在圆中若要解两不等平行弦的距离、两圆相切、两圆相离、一个点到圆上各点的最大距离和最小距离、相交两圆圆心距等问题时，要注意双解或多解问题．
三、相关定理：
1.相交弦定理
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）
说明：
几何语言：
若弦AB、CD交于点P，则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）
例1．已知P为⊙O内一点，
，⊙O半径为
，过P任作一弦AB,设
，则
关于
的函数关系式为 。
解：
由相交弦定理得
即
，其中
2.切割线定理
推论：
如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项
说明：
几何语言：
若AB是直径，CD垂直AB于点P,则PC^2=PA·PB
例2．已知PT切⊙O于T，PBA为割线，交OC于D，CT为直径，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB长。
解：
设TD=
BP=
，由相交弦定理得:
即
，
（舍）
由切割线定理,
由勾股定理，
∴
∴
∴
四、辅助线总结
1。
圆中常见的辅助线
1）．作半径，利用同圆或等圆的半径相等．
2）．作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明．
3）．作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算．
4）．作弦构造同弧或等弧所对的圆周角．
5）．作弦、直径等构造直径所对的圆周角-—直角．
6）．遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角．
7）．遇到切线,作过切点的半径，构造直角．
8）．欲证直线为圆的切线时,分两种情况:
（1）若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直；
（2）不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径．
9）．遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点．
10）．遇到三角形的内心,常作：
（1）内心到三边的垂线；
（2）连结内心和三角形的顶点．
11）．遇相交两圆，常作：
（1）公共弦;
（2）连心线．
12）．遇两圆相切，常过切点作两圆的公切线．
13）．求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形的一条直角边．
2、圆中较特殊的辅助线
1）．过圆外一点或圆上一点作圆的切线．
2）．将割线、相交弦补充完整．
3）．作辅助圆．
【中考热点】
近年来,在中考中圆的应用方面考查较多，与一元二次方程、函数、三角函数、实际问题、作图等是中考中的热点，也是难点．
例1（2003·北京市）如图23-10，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，那么AE的长为（）
A．2B．3
C．4D．5
分析：
连结OC,由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB知CD＝DE．设AE＝x，则在Rt△CEO中,
，即
，则
，
（舍去）．
答案:
A．
例2（2003·北京市）如图23-11，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上,如果∠CAB＝55°，那么∠AOB等于（）
A．35°B．90°
C．110°D．120°
分析:
由弦切角与所夹弧所对的圆心角的关系可以知道∠AOB＝2∠BAC＝2×55°＝110°．答案:
C．
例3（2003·北京市）如果圆柱的底面半径为4cm，母线长为5cm,那么侧面积等于（）
A．
B．
C．
D．
分析：
圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的一边长等于圆柱的高,即圆柱的母线长；另一边长是底面圆的周长，所以圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高，即
．答案：
B．
例4（河南省A卷）如图23—12，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，延长CM交⊙O于E，且EM>MC，连结OE、DE,
．
（1）求EM的长．
（2）求sin∠EOB的值．
简析：
（1）由DC是⊙O的直径,知DE⊥EC，于是
．设EM＝x,则AM·MB＝x（7－x），即
．所以
．而EM>MC，即EM＝4．
（2）过E作EF⊥OM，垂足为F，则OF＝1（OE＝EM＝4），即
，则
．
例5（2003·山西省）如图23-13，AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，PF分别交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰好是关于x的方程
（其中m为实数）的两根．
（1）求证：
BE＝BD；
（2）若
，求∠A的度数．
简析：
（1）由BE、BD是关于x的方程
的两根，得
，则m＝－2．所以，原方程为
．得
．故BE＝BD．
（2）由相交弦定理,得
，即
．而PB切⊙O于点B，AB为⊙O的直径,得∠ABP＝∠ACB＝90°．又易证∠BPD＝∠APE，所以△PBD∽△PAE,△PDC∽△PEB，则
，
，所以
，所以
．在Rt△ACB中，
故∠A＝60°．
历届中考题目
1．（2002·青海省）⊙O的半径为10cm,弦AB∥CD，AB＝12cm，CD＝16cm，则AB和CD的距离为（）
A．2cmB．14cm
C．2cm或14cmD．10cm或20cm
2．（2001·吉林省）如图23-14,⊙O的直径为10，弦AB＝8,P是弦AB上一个动点，那么OP的长的取值范围是_________．
3．（2000·北京西城区）如图23-15，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB,垂足为E,那么下列结论不正确的是（）
A．CE＝DEB．
C．∠BAC＝∠BADD．AC>AD
4．（2000·北京市丰台区）在直径为52cm的圆柱形油桶内装入一些油后，截面如图23-16所示，如果油的最大深度为16cm,那么油面宽度为_________cm．
5．（2000·荆门市）如图23-17,点A是半圆上一个三等分点，B点是
的中点，P为直径AMN上一动点,⊙O的半径为1，则AP＋BP的最小值为（）
A．1B．
C．
D．
6．（2001·陕西省）给出下列命题
①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆．
②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形．
③任意三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆．
④任意一个圆一定有一个外切三角形,并且只有一个外切三角形．其中正确的说法有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（2001·泉州市）圆内接四边形ABCD中,∠A︰∠C＝1︰3,则∠C＝_________．
8．（2002·曲靖市）下列判断：
（1）分式方程
无解；
（2）直径是弦;
（3）任意一个三角形都有一个外接圆且只有一个外接圆；
（4）圆内接四边形任意一个外角等于它的内对角;
（5）长度相等的弧所对的圆心角相等．
其中正确的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．（2001·盐城市）如图23—19，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，若以C为圆心，R为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，则R的取值范围是________．
10．（2002·金华市）如图23-20，C是⊙O的直径AB延长线上一点，过C作⊙O的切线CD,D为切点,连结AD、OD、BD．请根据图中所给出的已知条件（不再标注或使用其他字母，不再添加任何辅助线），写出两个你认为正确的结论_________________．
11．（2001·连云港市）两圆半径长分别是R、r（R>r），圆心距为d,若关于x的一元二次方程
有相等的实数根，则两圆的位置关系为（）
A．一定内切B．一定外切
C．相交D．内切或外切
12．（2002·黄冈市）如图23-21，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，
，将△ABC绕点B旋转到△A′B′C′的位置，且使点A、B、C′三点在同一条直线上，则A点经过的最短路线的长度是__________cm．
13．（2002·河南省）如图23—22,⊙O、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E相互外离，它们的半径都是1，顺次连结5个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和为（）
A．1πB．1。
5π
C．2πD．2.5π
14．（2003·新疆）若两圆的公切线有且只有一条，那么这两个圆的位置关系是_____．
15．（2003·辽宁）如图23-23，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1米的水泥管，两两相切地堆放地一起,则其最高点到地面的距离是___________．
16．一个扇形的弧长为20πcm，面积为
，则该扇形的圆心角为__________．
17．（2003·河北）已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的侧面积为_________．
参考答案
【历届中考题目】
1．C2．3≤OP≤53．D4．48cm5．C
6．B7．135°8．C9．310．（略）11．D12．
13．B14．内切
15．
16．150°17．12π
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