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正态曲线
I
摘
要
大量的实践经验和理论分析表明
自然界与工程技术中服从正态分布的随机变量是
最常见的
.
诸如机械加工中零件的几何尺寸
（
直径、长度、宽度、高度
）
、强度、重量、使
用寿命
;
随机测量误差
;
人的身高、体重
;
农作物的收获量
;
健康人的红血球数目
;
纤维的强
力
;
炼铁厂每炉铁水的含碳量
;
学生考试分数
;
机床维修保养时间
;
某地区酌年降雨量
;
炮弹
弹落点的分布等等
都可以看作是服从或近似服从的正态分布
.
数学和经验都证明
:
受大
量、独立、均匀小效应影响的随机变量服从正态分布
.
在数理统计中用于统计推断的许
多统计量
不管资料的原分布是什么
只要样本容量
n
充分地大
它都近似于正态分布某些
统计量即使偏离了正态分布
只要偏离量不大
也可以按正态分布处理
.
因此
正态分布的
应用是十分广阔的
.
关
键
字
正态分布
;
概率密度函数
;
标准差
;
误差
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II
目
录
引言
:
.
...........................................................................................................................................1
1
．正态分布概念
.
..................................................................................................................... 1
2.
正态曲线的特性
.
.................................................................................................................... 2
3.
参数
和
的意义
............................................................................................................ 3
4.
标准正态分布及正态分布表
.
................................................................................................ 4
4.1.
标准正态分布
.
......................................................................................................................4
4.2.
标准正态分布的分布函数和正态分布表
.
..........................................................................4
4.3.
正态分布表的几种形式
.
......................................................................................................5
5.
正态随机变量落在区间
（
x
1
x
2
）
内的概率计算
.
...................................................................... 7
5.1.
当值机变量
ξ
～
N
（0,1）
时的概率计算
.
.................................................................................8
5.2.
当随机变量
ξ
～
N
（
）
时的概率计算
..............................................................................9
5.2.1.
服从一般正态分布的随机变量
ξ
～
N
（
）
的分布函数
....................................... 9
5.2.2.
概率计算
.
............................................................................................................... 10
6
．正态分布在几个领域内的应用实例
.
............................................................................... 12
6.1
．已知
求某条件下的概率
[8]
........................................................................................
1
2
6.2
．已知某条件下的概率
求参数和
?
..............................................................................
1
4
6.3
．已知
和区问
（
a
b
）
内的变量数
求总变量数
...........................................................
1
6
6.4
．已知
及各范围内的概率
求某范围的上、下限
.......................................................
1
6
6.5.
用标堆差确定所需测量次教
.
..........................................................................................
1
7
参考文献
.
................................................................................................................................. 19
致谢
.
......................................................................................................................................... 20
1
正态分布的若干理论及其应用
数学系
2004
级
1
班
王文瑞
数学与应用数学
04104141
指导老师
李海增
引言
:
正态分布是一种最常见的连续型随机变量的分布
它在概率论和数理统计中无论在
理论研究还是实际应用上都占有头等重要的地位
这是因为它在误差理论、
无线电噪声理
论、
自动控制、
产品检验、
质量控制、
质量管理等领域都有广泛应用
数理统计中许多重
要问题的解决都是以正态分布为基础的
.
正态分布也具有许多良好的性质
因此在理论研
究中正态分布十分重要
.
1
．正态分布概念
设连续型随机变量
的密度函数
（
也叫分布密度
概率密度
概率密度函数
）
为
:
2
2
2
2
1
x
e
x
（
）
x
（1.1）
（
其中
、
是常数
且
0
为正态总体的平均值
为正态总体的标准差
x
为正
态总体中随机抽取得的样本
值
）.
则称随机
变量
服从参数为
、
的正态分布
记作
2
~
N
式
（1.1）
是德国著
名数学
家高斯在找误差分布时于
1795
年推导
发现的
因此正态分布又称高斯分布、
误差分布或常态分布
.
正态分布密度函
数
x
的图形如图
1
所示
这条曲线
称
“
正态分布密度函数曲线
”
或
“
正态分
布曲线
”
简称
“
正态曲线
”
由于它的形
状象只钟
又称
“
钟形曲线
”
为纪念高斯又称
“
高斯曲线
”
[1]
.
20
10
0
-10
-20
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0.00
X
密
度
图1 正态密度曲线分布图
2
2.
正态曲线的特性
对式
（1.1）
进行数学处理
可得正态曲线特性
.
对式
（1.1）
求导
有
）
（
2
1
）
（
2
2
2
）
（
3
x
e
x
x
（2.1）
令
0
x
则有
x
即当
x
时
（
）
x
有极大值
m
ax
1
（
）
2
x
对式
（2.1）
求导有
:
2
2
2
5
2
2
2
1
x
e
x
x
（2.2）
令
0
x
则有
2
2
x
即曲线在
:
x
处有两个拐点
.
将正态曲线的特性列入表
1.
表
1
正态曲线特性
x
（
）
（
）
（
）
（
）
x
0
-
-
-
x
0
-
-
-
0
x
e
2
1
2
1
e
2
1
曲线
凹
拐点
凸
极大值
凸
拐点
凹
由表
1
和图
1
可知正态曲线有以下特性
:
1）
曲线以
x
为对称轴
且在
x
时取得极大值
m
ax
1
（
）
2
x
曲线由
起向
左右延伸时
不断降低
呈现中间高
两头低的钟的形状
.
2）
曲线在对称轴两侧
x
处有两个拐点
.
3）
x
的取值范围为整个
x
轴
x
离
越远
x
越小
当
x
时
曲线以
x
轴为渐
进线
.
3
4）
曲线总在
x
轴上方
它于
x
轴所围面积等于
l,
对称轴两边曲线下的面积相等各为
0.5.
机械加工得到的尺寸是服从正态分布的
如在机床上加工
100
件中
mm
03
.
0
10
的轴
则这
100
件轴的尺寸有以下统计规律
.
1）
100
个尺寸中
在
10
附近的占的数量最多、这是正态分布的单峰性
.
2）
在这
100
个尺寸中
约有
50
个左右大于
10,
有
50
个左右小于
10,
这是正态分布的对称
性
.
3）
在这
100
个尺寸中
大于
10.03
mm
的个数和小于
9.97
mm
个数都很少
这是正态分布
的有界性
.
4）
这
100
个尺寸与标准尺寸
10
的差的平均值趋与零
这是正态分布的抵偿性
.
上述四条规律
零件数量越多就越准确
[2]
.
3.
参数
和
的意义
和
是正态分布的两个参数
当
和
确定后
正态曲线就完全确定了
.
和
不
同
正态曲线的位置和形状则不同
.
是位置参数
它的大小决定曲线在
x
轴上的位置
是形状参数
它的大小决定曲线的高矮胖瘦
.
若
不变只让
变
则曲线形状不变
仅在
x
轴上平行移动如图
2
所示
;
若
不变只让
变
则曲线在
x
轴上的位置不变
仅形状发生变
化
越小则曲线越显的高瘦陡峭
;
越大则曲线越显得矮胖平缓
如图
3
所示
:
从几何角度看
是正态曲线极大值的横坐标、
是曲线拐点的横坐标到
之间的距离
或者说
是凸、凹曲线连接点的横坐标
;
从物理角度看
是正态曲线与
x
轴之间的平面
图形重心的横坐标
.
在数理统计中
是正态分布的数学期望或叫均值
是标准偏差
.
在
1234567890ABCDEFGHIJKLMNabcdefghijklmn!
@#$%^&&*（）_+.一三五七九贰肆陆扒拾，。
青玉案元夕东风夜放花千树更吹落星如雨宝马雕车香满路凤箫声动玉壶光转一夜鱼龙舞蛾儿雪柳黄金缕笑语盈盈暗香去众里寻他千XX暮然回首那人却在灯火阑珊处
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