高二年级数学算法教师版.docx

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高二年级数学算法教师版

算法

1、兴趣导入（Topic-in）:

有个小孩到楼下的小店买饮料。

店主给他一瓶，然后小孩说没钱。

店主生气地威胁说：

“没钱找你妈妈去！

”小孩被吓得瓶盖都掉地上了。

捡起来一看：

再来一瓶！

于是把瓶盖给了店主，高高兴兴地走了……

2、学前测试（Testing）:

1．用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数是（　　）

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4

[答案]　B

[解析]　∵294＝84×3＋42,84＝42×2，∴选B.

2．用更相减损术，求105与30的最大公约数时，需要做减法的次数是（　　）

A．2B．3C．4D．5

[答案]　C

[解析]　105－30＝75,75－30＝45,45－30＝15,30－15＝15.

3．930与868的最大公约数是________．

[答案]　62

[解析]　∵930＝868×1＋62

868＝62×14

∴930与868的最大公约数为62.

4、把十进制数53转化为二进制数.

解：

53＝1×25＋1×24＋0×23＋1×22＋0×21＋1×20

＝110101

（2）

5、利用辗转相除法求3869与6497的最大公约数与最小公倍数。

解：

6497＝3869×1＋2628

3869＝2628×1＋1241

2628＝1241*2＋146

1241＝146×8＋73

146＝73×2＋0所以3869与6497的最大公约数为73最小公倍数为3869×6497/73＝344341

3、知识讲解（Teaching）：

1.辗转相除法

例1求两个正数a=204和b=85的最大公约数。

分析：

204与85两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根据已有的知识即可求出最大公约数

解：

204＝85×2＋34

显然204的最大公约数也必是85的约数，同样204与85的公约数也必是34的约数，所以204与85的最大公约数也是85与34的最大公约数。

85＝34×2＋17

34＝117×2+0

则17为204与85的最大公约数。

以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。

也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的。

利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：

第一步：

用较大的数m除以较小的数n得到一个商q0和一个余数r0；

第二步：

若r0＝0，则n为m，n的最大公约数；若r0≠0，则用除数n除以余数r0得到一个商q1和一个余数r1；

第三步：

若r1＝0，则r1为m，n的最大公约数；若r1≠0，则用除数r0除以余数r1得到一个商q2和一个余数r2；

……

依次计算直至rn＝0，此时所得到的rn－1即为所求的最大公约数。

2.更相减损术

我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。

更相减损术求最大公约数的步骤如下：

可半者半之，不可半者，副置分母分子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。

翻译出来为：

第一步：

任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。

若是，用2约简；若不是，执行第二步。

第二步：

以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。

继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。

例2用更相减损术求91与49的最大公约数.

解：

由于49不是偶数，把91和49以大数减小数，并辗转相减，

即：

91－48＝4249－42＝742－7＝3535－7＝2828－7＝2121－7＝14

14－7＝7

所以，91与49的最大公约数是7。

3.秦九韶算法

材料：

求多项式f（x）=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时，有两种方法.第一种方法是把5代入多项式f（x）,计算各项的值，然后把它们加起来.这时，我们一共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算.第二种做法是我们先计算x2的值，然后再一次计算x2x,（x2x）x，（（x2x）x）x的值，这样，我们只计算了四次乘法运算，五次加法运算.

第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算减少了，因而能提高运算效率.对于计算机来说，做一次乘法运算所用的时间，比做一次加法运算所用的时间要多得多，，计算机能更快的得到结果.

4.进位制

对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。

比如：

十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的。

表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001

（2）表示二进制数,34（5）表示5进制数.

电子计算机一般都使用二进制,下面我们来进行二进制与十进制之间的转化

例1把二进制数110011

（2）化为十进制数.

解:

110011=1*25+1*24+0*23+1*24+0*22+1*21+1*20

=32+16+2+1

=51

例2把89化为二进制数.

解:

根据二进制数满二进一的原则,可以用2连续去除89或所得商,然后去余数.

具体的计算方法如下:

89=2*44+1

44=2*22+0

22=2*11+0

11=2*5+1

5=2*2+1

所以:

89=2*（2*（2*（2*（2*2+1）+1）+0）+0）+1

=1*26+0*25+1*24+1*23+0*22+0*21+1*20

=1011001

（2）

这种算法叫做除2取余法,还可以用下面的除法算式表示:

把上式中的各步所得的余数从下到上排列即可得到89=1011001

（2）

上述方法也可以推广为把十进制化为k进制数的算法,这种算法成为除k取余法.

4、强化练习（Training）

一．选择题（共16小题）

1．把77化成四进制数的末位数字为（　　）

A．4B．3C．2D．1

考点：

排序问题与算法的多样性。

专题：

计算题。

分析：

利用“除k取余法”是将十进制数除以5，然后将商继续除以4，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．

解答：

解：

∵77÷4=19…1

19÷4=4…3

4÷4=1…0

1÷4=0…1

故77（10）=1031（4）末位数字为1．

故选D．

点评：

本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键．

2．用秦九韶算法求多项式f（x）=x4+2x3+x2﹣3x﹣1，当x=2时的值，则v3=（　　）

A．4B．9C．15D．29

考点：

排序问题与算法的多样性。

分析：

由秦九韶算法的规则对多项式变形，求出，再代入x=2计算出它的值，选出正确选项

解答：

解：

由秦九韶算法的规则f（x）=x4+2x3+x2﹣3x﹣1=（（（x+2）x+1）x﹣3）x﹣1，

∴v3=（（x+2）x+1）x﹣3

又x=2，可得v3=（（2+2）2+1）2﹣3=15

故选C．

点评：

本题考查秦九韶算法，解题的关键是理解秦九韶算法的原理，得出v3的表达式，秦九韶算法是求多项值的一个较简便易行的算法，在平时求多项式的值时加利用可以简单化计算

3．把67化为二进制数为（　　）

A．110000B．1011110C．1100001D．1000011

考点：

排序问题与算法的多样性。

专题：

计算题。

分析：

利用“除k取余法”是将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．

解答：

解：

67÷2=33…1

33÷2=16…1

16÷2=8…0

8÷2=4…0

4÷2=2…0

2÷2=1…0

1÷2=0…1

故67（10）=1000011

（2）

故选D．

点评：

本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键．

4．用秦九韶算法计算多项式f（x）=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1当x=0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是（　　）

A．6，6B．5，6C．5，5D．6，5

考点：

排序问题与算法的多样性。

专题：

计算题。

分析：

把所给的多项式写成关于x的一次函数的形式，依次写出，得到最后结果，从里到外进行运算，结果有6次乘法运算，有6次加法运算，本题也可以不分解，直接从最高次项的次数直接得到结果．

解答：

解：

∵f（x）=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1

=（3x5+4x4+5x3+6x2+7x+8）x+1

=[（3x4+4x3+5x2+6x+7）x+8]+1

={{{[（3x+4）x+5]x+6}x+7}x+8}x+1

∴需要做6次加法运算，6次乘法运算，

故选A．

点评：

本题考查用秦九韶算法进行求多项式的值的运算，不是求具体的运算值而是要我们观察乘法和加法的运算次数，本题是一个基础题．

5．使用秦九韶算法计算x=2时f（x）=6x6+4x5﹣2x4+5x3﹣7x2﹣2x+5的值，所要进行的乘法和加法的次数分别为（　　）

A．6，3B．6，6C．21，3D．21，6

考点：

排序问题与算法的多样性。

专题：

计算题。

分析：

根据秦九韶算法求多项式的规则变化其形式，把f（x）=6x6+4x5﹣2x4+5x3﹣7x2﹣2x+5等到价转化为（（（（（6x+5）x﹣2）x+5）x﹣7）x﹣2）x+5，就能求出结果．

解答：

解：

∵f（x）=6x6+4x5﹣2x4+5x3﹣7x2﹣2x+5=（（（（（6x+5）x﹣2）x+5）x﹣7）x﹣2）x+5

∴需做加法与乘法的次数都是6次，

故选B．

点评：

本题考查算法的多样性，正确理解秦九韶算法求多项式的原理是解题的关键，本题是一个比较简单的题目，运算量也不大，只要细心就能够做对．

6．把27化为二进制数为（　　）

A．1011

（2）B．11011

（2）C．10110

（2）D．10111

（2）

考点：

排序问题与算法的多样性。

专题：

计算题。

分析：

利用“除k取余法”是将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．

解答：

解：

27÷2=13…1

13÷2=6…1

6÷2=3…0

3÷2=1…1

1÷2=0…1

故27（10）=11011

（2）

故选B．

点评：

本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键．

7．用秦九韶算法计算多项式f（x）=5x5+4x4+3x3﹣2x2﹣x﹣1在x=﹣4时的值时，需要进行的乘法、加法的次数分别是（　　）

A．14，5B．5，5C．6，5D．7，5

考点：

排序问题与算法的多样性。

专题：

计算题。

分析：

由秦九韶算法的原理，可以把多项式f（x）=5x5+4x4+3x3﹣2x2﹣x﹣1变形计算出乘法与加法的运算次数．

解答：

解：

多项式f（x）=5x5+4x4+3x3﹣2x2﹣x﹣1=（（（（5x+4）x+3）x﹣2）x﹣1）x﹣1不难发现要经过5次乘法5次加法运算．

故需要做乘法和加法的次数分别为：

5、5

故选B．

点评：

本题考查秦九韶算法，考查在用秦九韶算法解题时一共会进行多少次加法和乘法运算，是一个基础题，解题时注意最后加还是不加常数项，可以直接看出结果．

8．二进制数11001001

（2）对应的十进制数是（　　）

A．401B．385C．201D．258

考点：

排序问题与算法的多样性。

专题：

计算题。

分析：

根据二进制和十进制之间的互化原则，需要用二进制的最后一位乘以2的0次方，以此类推，写出一个代数式，得到结果．

解答：

解：

二进制数11001001

（2）对应的十进制数是1×20+1×23+1×26+1×27=201

故选C．

点评：

本题考查二进制和十进制之间的互化，本题解题的关键是理解两者之间的关系，不仅是这两种进位制之间的互化，既是还有其他的互化也可以用类似方法求解．

9．用秦九韶算法在计算f（x）=2x4+3x3﹣2x2+4x﹣6时，要用到的乘法和加法的次数分别为（　　）

A．4，3B．6，4C．4，4D．3，4

考点：

排序问题与算法的多样性。

专题：

计算题。

分析：

由秦九韶算法能够得到f（x）=2x4+3x3﹣2x2+4x﹣6=（（（2x+3）x﹣2）x+4）x﹣6，由此能够求出结果．

解答：

解：

∵f（x）=2x4+3x3﹣2x2+4x﹣6

=（（（2x+3）x﹣2）x+4）x﹣6，

∴用到的乘法的次数为4次，用到的加法的次数为4次．

故选C．

点评：

本题考查秦九韶算法的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．

10．用秦九韶算法求多项式f（x）=1+2x+x2﹣3x3+2x4在x=﹣1时的值，v2的结果是（　　）

A．﹣4B．﹣1C．5D．6

考点：

排序问题与算法的多样性。

专题：

计算题。

分析：

本题考查秦九韶算法，考查在用秦九韶算法解题时进行的加法和乘法运算，是一个基础题，先计算v1=anx+an﹣1；再计算v2=v1x+an﹣2，即得．

解答：

解：

v1=2×（﹣1）﹣3=﹣5；

∴v2=（﹣5）×（﹣1）+1=6，

故选D．

点评：

秦九韶算法的设计思想：

一般地对于一个n次多项式f（x）=anxn+an﹣1xn﹣1+an﹣2xn﹣2+…+a1x+a0，首先改写成如下形式：

f（x）=（…（anx+an﹣1）x+an﹣2）x+…+a1）x+a0，再计算最内层括号内一次多项式的值，即v1=anx+an﹣1；然后由内向外逐层计算一多项式的值，即v2=v1x+an﹣2，v3=v2x+an﹣3，…，vn=vn﹣1x+a0．

11．下列各数85（9）、210（6）、1000（4）、111111

（2）中最大的数是（　　）

A．85（9）B．210（6）C．1000（4）D．111111

（2）

考点：

排序问题与算法的多样性。

专题：

计算题。

分析：

由题设条件，可以把这几个数化为十进制数，再比较它们的大小，选出正确选项

解答：

解：

85（9）=8×9+5×1=77；

210（6）=2×36+1×6=78；

1000（4）=1×43=64；

111111

（2）=1×25+1×24+1×23+1×22+1×21+1×20=32+16+8+4+2+1=63

由上计算知最大的数是210（6），

故选B

点评：

本题考查排序问题与算法的多样性，解题的关键是掌握住其它进位制数转化为十进制数的方法，统一进位制，再作比较

12．十进制数89化为二进制的数为（　　）

A．1001101

（2）B．1011001

（2）C．0011001

（2）D．1001001

（2）

考点：

排序问题与算法的多样性。

专题：

计算题。

分析：

利用“除k取余法”是将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．

解答：

解：

89÷2=44…1

44÷2=22…0

22÷2=11…0

11÷2=5…1

5÷2=2…1

2÷2=1…0

1÷2=0…1

故89（10）=1011001

（2）

故选B．

点评：

本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键．

13．在下列各数中，最大的数是（　　）

A．85（9）B．210（6）C．1000（4）D．11111

（2）

考点：

排序问题与算法的多样性。

专题：

计算题。

分析：

欲找四个中最大的数，先将它们分别化成十进制数，后再比较它们的大小即可．

解答：

解：

85（9）=8×9+5=77；

210（6）=2×62+1×6=78；

1000（4）=1×43=64；

11111

（2）=24+23+22+21+20=31．

故210（6）最大，

故选B．

点评：

本题考查的知识点是算法的概念，由n进制转化为十进制的方法，我们只要依次累加各位数字上的数×该数位的权重，即可得到结果．

14．把23化成二进制数是（　　）

A．00110B．10111C．10101D．11101

考点：

排序问题与算法的多样性。

专题：

计算题。

分析：

利用“除k取余法”是将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．

解答：

解：

23÷2=11…1

11÷2=5…1

5÷2=2…1

2÷2=1…0

1÷2=0…1

故23（10）=10111

（2）

故选B

点评：

本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键．

二．填空题（共11小题）

15．用秦九韶算法求多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=﹣4的值时，其中V1的值=　﹣7　．

考点：

排序问题与算法的多样性。

专题：

计算题。

分析：

首先把一个n次多项式f（x）写成（…（（a[n]x+a[n﹣1]）x+a[n﹣2]）x+…+a[1]）x+a[0]的形式，然后化简，求n次多项式f（x）的值就转化为求n个一次多项式的值，求出V3的值．

解答：

解：

把一个n次多项式f（x）=a[n]xn+a[n﹣1]x（n﹣1）+…+a[1]x+a[0]改写成如下形式：

f（x）=a[n]xn+a[n﹣1]x（n﹣1））+…+a[1]x+a[0]

=（a[n]x（n﹣1）+a[n﹣1]x（n﹣2）+…+a[1]）x+a[0]

=（（a[n]x（n﹣2）+a[n﹣1]x（n﹣3）+…+a[2]）x+a[1]）x+a[0]

=…

=（…（（a[n]x+a[n﹣1]）x+a[n﹣2]）x+…+a[1]）x+a[0]．

求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即

v[1]=a[n]x+a[n﹣1]

然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即

v[2]=v[1]x+a[n﹣2]

v[3]=v[2]x+a[n﹣3]

…

v[n]=v[n﹣1]x+a[0]

这样，求n次多项式f（x）的值就转化为求n个一次多项式的值．

∴V1的值为﹣7；

故答案为：

﹣7．

点评：

本题考查通过程序框图解决实际问题，把实际问题通过数学上的算法，写成程序，然后求解，属于中档题．

16．把5进制的数412（5）化为7进制是　212（7）　．

考点：

排序问题与算法的多样性。

专题：

计算题。

分析：

先把5进制的数412（5）化为十进制数再变为七进制数，用除k取余法．

解答：

解：

412（5）=2×50+1×51+4×52=2+5+4×25=107

∵107=2×70+1×71+2×72

∴把5进制的数412（5）化为7进制是212（7）

故答案为：

212（7）

点评：

本题考查进位制之间的换算，熟练掌握进行制的变化规律是正确解题的要诀．

17．用秦九韶算法计算多项式f（x）=8x4+5x3+3x2+2x+1在x=2时的值时，v2=　45　．

考点：

排序问题与算法的多样性。

专题：

计算题。

分析：

首先把一个n次多项式f（x）写成（…（（anx+an﹣1）x+an﹣2）x+…+a1）x+a0的形式，然后化简，求n次多项式f（x）的值就转化为求n个一次多项式的值，求出V2的值．

解答：

解：

∵f（x）=8x4+5x3+3x2+2x+1=（（（8x+5）x+3）x+2）x+1

∴v0=8；

v1=8×2+5=21；

v2=21×2+3=45．

故答案为：

45．

点评：

本题考查秦九韶算法与算法的多样性，解答本题，关键是了解秦九韶算法的规则，求出v2的表达式

18．用秦九韶算法计算多项式f（x）=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1当x=0.4时的值时，至多需要做乘法和加法的次数分别是　6　和　6　．

考点：

排序问题与算法的多样性。

专题：

规律型。

分析：

把所给的多项式写成关于x的一次函数的形式，依次写出，得到最后结果，从里到外进行运算，结果有6次乘法运算，有6次加法运算，本题也可以不分解，直接从最高次项的次数直接得到结果．

解答：

解：

∵f（x）=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1

={{{[（3x+4）x+5]x+6}x+7}x+8}x+1

∴需要做6次加法运算，6次乘法运算，

故答案为6，6

点评：

本题考查秦九韶算法，考查在用秦九韶算法解题时一共会进行多少次加法和乘法运算，是一个基础题，解题时注意最后加还是不加常数项，可以直接看出结果．

19．用秦九韶算法求多项式f（x）=5x5+2x4+3.5x3﹣2.6x2+1.7x﹣0.8当x=5时的值的过程中v3=　689.9　．

考点：

排序问题与算法的多样性。

专题：

计算题。

分析：

由秦九韶算法的规则将多项式f（x）=5x5+2x4+3.5x3﹣2.6x2+1.7x﹣0.8这形得出v3，再代入x=5求值

解答：

解：

∵f（x）=5x5+2x4+3.5x3﹣2.6x2+1.7x﹣0.8=（（（（5x+2）x+3.5）x﹣2.6）x+1.7）x﹣0.8

∴v3=（（5x+2）x+3.5）x﹣2.6

将x=5代入得v3=（（5×5+2）×5+3.5）×5﹣2.6=689.9

故答案为689.9

点评：

本题考查排序问题与算法的多样性，解答本题，关键是了解秦九韶算法的规则，求出v3的表达式

20．完成下列进位制之间的转化：

1234=　34102　（4）．

考点：

排序问题与算法的多样性。

分析：

将1235依次除以4，求余数，最后把余数从下到上连接起来即为4进制数．

解答：

解：

由题意，1234除以4，商为308，，余数为2，308除以4，商为77，，余数为0，77除以4，商为19，，余数为1，19除以4，商为4，，余数为3，

将余数从下到上连起来，即34102

故答案为：

34102

点评：

本题考查算法的概念，以及进位制的运算，属于基础题．基础题

21．进制转化：

403（6）=　223　（8）．

考点：

排序问题与算法的多样性；算法的概念。

专题：

计算题。

分析：

首先对403（6）化为10进制，然后依次除以8，求余数，最后把余数从下到上连接起来即为8进制数．

解答：

解：

先转化为10进制为：

4*36+0*6+3=147

147/8=18…3

18/8=2…2

2/8=0…2

将余数从下到上连起来，即223

故答案为：

223

点评：

本题考查算法的概念，以及进位制的运算．通过把3进制转化为10进制，再把10进制转化为8进制．其中10进制是一个过渡．

22．完成右边进制的转化：

1011

（2）=　11　（10）=　13　（8）．

考点：

排序问题与算法的多样性。

专题：

计算题。

分析：

若二进制的数有n位，那么换成十进制，等于每一个数位上的数乘以2的（n﹣1）方，再相加即可；

而要将十进制的数转化为8进制，而要采用除8求余法；

解答：

解：

（1011）2=1×23+0×22+1×2+1=11

∵11÷8=1…3，1÷8=0…1，

故1011

（2）=11（10）=13（8），

故答案为11，13

点评：

本题考查的知识点是不同进制之间的转换，熟练掌握K进制与十进制之间的转换方法﹣﹣“累加权重法”和“除k求余法”是解答本题的关键．

5、反思总结（Thinking）：

堂堂清落地训练

（5-10分钟的测试卷，坚持堂堂清，学习很爽心）

1．将多项式x3+2x2+x﹣1用秦九韶算法求值时，其表达式应写成　（（x+2）x+1）x﹣1　．

考点：

排序问题与算法的多样性。

专题：

数学模型法。

分析：

利用秦九韶算法解题，需要一层一层的提