鲁教版九年级数学第二章直角三角形的边角关系自主学习能力检测题1附答案.docx

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鲁教版九年级数学第二章直角三角形的边角关系自主学习能力检测题1附答案

鲁教版2019-2020九年级数学第二章直角三角形的边角关系自主学习能力检测题1（附答案）

一、单选题

1．已知0°＜α＜90°，且2sin（α－10°）＝，则α等于（　　）

A．50°B．60°C．70°D．80°

2．在中，，，，则的值为（）

A．B．C．D．

3．如图，从点A看一山坡上的电线杆PQ，观测点P的仰角是，向前走6m到达B点，测得顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是和，则该电线杆PQ的高度　　

A．B．C．D．

4．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（4，2），则的值是（）

A．B．C．D．2

5．在中，，，，则的长为（）

A．B．C．D．

6．在△ACB中，∠C=90°，则等于（　　）

A．B．C．D．

7．如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则cosα=（　　）

A．B．C．D．

8．如图一，在等腰中，，点、从点同时出发，点以的速度沿方向运动到点停止，点以的速度沿方向运动到点停止，若的面积为，运动时间为，则与之间的函数关系图象如图二所示，则长为（）

A．B．C．D．

9．sin60°+tan45°的值等于（　　）

A．B．C．D．1

10．一飞机从距离地面3000米的高空测得一地面监测点的俯角是60°，那么此时飞机与监测点的距离是（  ）

A．6000米B．1000米C．2000米D．3000米

二、填空题

11．如图，某地下车库的人口处有一斜坡，其坡度，则斜坡的长为________．

12．已知sinα＝0.2，cosβ＝0.8，则α+β＝_____（精确到1′）．

13．如图，在△ABC中，BA＝BC＝4，∠A＝30°，D是AC上一动点，

（Ⅰ）AC的长＝_____；（Ⅱ）BD+DC的最小值是_____．

14．如图，已知△ABC的三个顶点均在正方形网格的格点上，则cosA的值为__________．

15．如图，△ABO中，AB⊥OB，OB=，AB=1，把△ABO绕点O旋转150°后得到△A1B1O，则点A1坐标为________．

16．如图，一个长为米的梯子斜靠在墙壁上，若梯子与地面所成的角为，则此时梯子顶端到地面的距离为________米．

17．如图，正方形ABCD的边长为5，点E是正方形ABCD内一点，将△BCE绕着点C顺时针旋转90°，点E的对应点F和点B，E三点在一条直线上，BF与对角线AC相交于点G，若DF=6，则GF的长为__________．

18．在中,,,,则=_______度。

19．小明沿坡比为1︰的山坡向上走了100米．那么他升高了______米．

20．如图，已知在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，BC＝8，则▱ABCD的面积＝_____．

三、解答题

21．如图，两幢大楼AB，CD之间的水平距离（BD）为20米，为测得两幢大楼的高度，小王同学站在大楼AB的顶端A处测得大楼CD顶端C的仰角为60°，测得大楼CD的底部D的俯角为45°，试求大楼AB和CD的高度．（精确到1米）

22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC边上的一点，分别过点A、B作BD、AD的平行线交于点E，且AB平分∠EAD.

（1）求证：

四边形EADB是菱形；

（2）连接EC，当∠BAC＝60°，BC=时，求△ECB的面积．

23．一名徒步爱好者来衡阳旅行，他从宾馆C出发，沿北偏东30°的方向行走2000米到达石鼓书院A处，参观后又从A处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆南偏东45°方向的雁峰公园B处，如图所示．

（1）求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离；

（2）若这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，那么他在15分钟内能否到达宾馆？

24．如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°.已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度.（取=1.732，结果精确到1m）

25．如图，在四边形中，，，点为边上一点，将沿翻折，点落在对角线上的点处，连接并延长交射线于点．

（1）如果，求的长；

（2）当点在边上时，连接，设，求关于的函数关系式并写出的取值范围；

（3）连接，如果是等腰三角形，求的长．

26．计算：

27．2018年12月9日诸暨迎来首届马拉松盛典——西施马拉松。

我们一起用“诸暨精神”见证了“诸暨奇迹”！

马拉松期间为了缓解市区内一些主要路段交通拥挤的现状，市交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆AB高度是3m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°．求路况显示牌BC的高度．

28．计算：

﹣12019+|﹣2|+2cos30°+（2﹣tan60°）0．

参考答案

1．C

【解析】

【分析】

sin（α－10°）＝，α－10°＝60°，即可求得α的值．

【详解】

∵sin（α−10°）＝，

∴α−10°＝60°

∴α＝70°.

故答案为：

C.

【点睛】

本题考查的是三角函数，熟练掌握三角函数是解题的关键.

2．B

【解析】

【分析】

根据三角形的三边长，可以判断△ABC是直角三角形，根据三角函数的定义就可以求解．

【详解】

∵52+122=132，

∴△ABC是直角三角形，

∴sinA==．

故选：

B．

【点睛】

本题主要考查了勾股定理的逆定理，以及三角函数的定义，掌握三角函数的定义是解答此题的关键．

3．A

【解析】

【分析】

延长PQ交直线AB于点E，设PE=xm，在Rt△APE和Rt△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，然后在Rt△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．

【详解】

解：

延长PQ交直线AB于点E，设PE=xm.

在Rt△APE中,∠A=45°，

则AE=PE=xm，

∵∠PBE=60°，

∴∠BPE=30°，

在Rt△BPE中，

BE=PE=xm，

∵AB=AE−BE=6m，

则x−x=6，

解得：

x=9+3，

∴BE=3+3（m），

在Rt△BEQ中,

QE=BE=（3+3）=3+（m），

∴PQ=PE−QE=9+3−（3+）=6+2（m）.

故选A.

【点睛】

本题考查了解直角三角形的实际应用.正确添加辅助线构造直角三角形是解题的关键.

4．A

【解析】

【分析】

根据题意作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数和图象中的数据即可解答本题．

【详解】

如图：

过点（4，2）作直线CD⊥x轴交OA于点C，交x轴于点D，

∵在平面直角坐标系中，直线OA过点（4，2），

∴OD=4，CD=2，

∴tanα=＝＝，

故选：

A．

【点睛】

本题考查解直角三角形、坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．

5．C

【解析】

【分析】

先根据锐角三角函数设AC=4k，AB=5k，再根据勾股定理可得BC=3k=6，则k=2，即可；

【详解】

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，

∴cosA=，

∴设AC=4k，AB=5k，

根据勾股定理可得BC=3k，

∵BC=6，∴k=2

∴AC==8，

故选：

C．

【点睛】

本题主要考查锐角的三角函数，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．

6．A

【解析】

【分析】

根据三角函数的定义求解即可.

【详解】

解：

∵∠C=90°，∴，

故选A.

【点睛】

本题考查三角函数的定义，熟练掌握正弦是对边比斜边是解题关键.

7．A

【解析】

【分析】

过点D作DE⊥l1于点E并反向延长交l4于点F，根据同角的余角相等求出∠α=∠CDF，根据正方形的每条边都相等可得AD=DC，然后利用“AAS”证明△ADE和△DCF全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=AE，再利用勾股定理列式求出AD的长度，然后根据锐角的余弦值等于邻边比斜边列式计算即可得解．

【详解】

解：

如图，过点D作DE⊥l1于点E并反向延长交l4于点F，

在正方形ABCD中，AD=DC，∠ADC=90°，

∵∠α+∠ADE=90°，∠ADE+∠CDF=180°-90°=90°，

∴∠α=∠CDF，

在△ADE和△DCF中，

∴△ADE≌△DCF（AAS），

∴DF=AE，

∵相邻两条平行直线间的距离都是1，

∴DE=1，AE=2，

根据勾股定理得，AD===，

所以，cosα===．

故选：

A．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，锐角三角形函数的定义，作辅助线，构造出全等三角形以及∠α所在的直角三角形是解题的关键．

8．D

【解析】

【分析】

根据图象可得0≤x≤4时，函数图象为抛物线的一部分，当4

【详解】

由图二可知，当时，，结合题意得，则，在图一中过点作边上的垂线垂足为，由图二知，当时，，则此时，，点与点重合，，解得，则，所以，继而可知，则.

故选：

D.

【点睛】

本题主要考查了函数图象，主要考查了函数的图象在实际问题中的选择；

9．B

【解析】

【分析】

根据sin60°以及tan45°的值求解即可.

【详解】

sin60°＝，tan45°＝1，所以sin60°+tan45°＝.故选B.

【点睛】

本题主要考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.

10．C

【解析】

【分析】

根据题意可构造直角三角形，利用所给角的正弦函数即可求解．

【详解】

如图所示：

由题意得，∠CAB=60°，BC=3000米，

在Rt△ABC中，∵sin∠A=，

∴AC=米．

故选C．

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是借助俯角构造直角三角形，并结合三角函数解直角三角形．

11．

【解析】

【分析】

过点A作AD⊥BC延长线于点D，根据坡度的定义得出BD的长，进而利用勾股定理得出答案．

【详解】

过点A作AD⊥BC延长线于点D，

由题意可得：

AD=2m，

∵坡度，

∴BD=3m，

∴在Rt△ABD中，AB=m．

故答案为：

．

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解此题的关键在于作辅助线构造直角三角形.

12．48°24′

【解析】

【分析】

利用计算器中正余弦公式求解。

【详解】

利用科学计算器即可得到α+β=48°24′

【点睛】

本题考查科学计算器的使用。

13．（Ⅰ）AC＝4（Ⅱ）4，2.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）如图，过B作BE⊥AC于E，根据等腰三角形的性质和解直角三角形即可得到结论；

（Ⅱ）如图，作BC的垂直平分线交AC于D，则BD＝CD，此时BD+DC的值最小，解直角三角形即可得到结论．

【详解】

解：

（Ⅰ）如图，过B作BE⊥AC于E，

∵BA＝BC＝4，

∴AE＝CE，

∵∠A＝30°，

∴AE＝AB＝2，

∴AC＝2AE＝4；

（Ⅱ）如图，作BC的垂直平分线交AC于D，

则BD＝CD，此时BD+DC的值最小，

∵BF＝CF＝2，

∴BD＝CD＝＝，

∴BD+DC的最小值＝2，

故答案为：

4，2