二元一次方程组的解法教学案例.docx

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二元一次方程组的解法教学案例

《二元一次方程组的解法》教学案例

一、内容和内容解析

本节主要内容为二元一次方程组的解法，“消元”是解二元一次方程组的基本思路，代入消元和加减消元是“消元”的最基本的方法．探究解二元一次方程组的通解通法，即把解法模型化也是本节应渗透的内容。

（1）初中代数研究的中心问题是各类方程，初中代数中的函数是初步的，它只起到一个启蒙的作用．可以说，中学代数中，初中以方程为主，高中以函数为主，但初中的教学必须为高中进一步研究函数打好基础．而二元一次方程组恰恰是联系方程和函数的一个很好的纽带，二元方程就刻画了两个变量之间的函数关系，而待定系数法求函数解析式、函数的交点问题等，又需要利用解方程组来进行计算．．因此，学好二元一次方程组的解法，体会消元、转化思想，是学生完善认知的必要支柱，也是本节课的教学重点．

（2）在研究和解决有关问题时，如何将复杂问题转化为简单问题；将未解决的问题转化为已解决的问题，正是数学课所要教给学生的基本思考方法．在本章的教学和学习中，不能仅着眼于具体题目的具体解题过程，而应不断加深对以上思想方法的领会，从整体上认识问题的本质．数学思想方法是通过数学知识的载体来体现的，对于它们的认识需要一个较长的过程，既需要教材的渗透，也需要教师的点拨，还需要学生自身的感受和理解．因此，化归思想是本节课教学中所要重点突出的数学思想．

（3）本节课在对二元一次方程组解法的探究过程中，一方面引导学生探究解二元一次方程的步骤，进而体会解二元一次方程组的通解通法，并通过框图初步感受模型化的思想；同时又在各个具体步骤中，关注某些细节，如“变形后的方程应代入哪一个方程才能继续求解”、“对比先消哪一个未知数使运算更加简洁”等培养学生的思维能力．

教学重点

理解解二元一次方程组的基本思路“消元”，会用代入、加减消元法解简单的二元一次方程组．

教学难点

根据题目的特点，选择恰当方法解二元一次方程组．

二、目标和目标解析

教学目标

（1）理解解二元一次方程组的基本思路“消元”，经历从未知向已知转化的过程，培养观察分析能力，体会化归思想；初步体会解方程组过程中体现的模型思想；

（2）能用代入消元法、加减消元法解简单的二元一次方程组，会根据方程组特征选择适当的方法，体会简化思想，培养运算能力；

（3）在探究过程中，培养合作交流意识与探究精神，增强学习兴趣，感受数学美．

目标解析

首先，这是二元一次方程组解法的第一节课，学生初次接触方程组的解法，同时思维的重点也集中在如何把未知问题转化为已知问题，把二元问题转化为一元问题。

因此，教学的重点是对转化思想、消元方法的理解，而不是对解法的熟练运用，故在目标中设定为“能用代入、加减消元法解简单的二元一次方程组”．

其次，模型思想虽然重要，但学生在本节课接触的例题还比较少，缺少大量积累后的感悟，所以只能在几个主要步骤环节让学生“初步体会解方程组过程中体现的模型思想”．

最后，化归思想是化难为易、化繁为简、化未知为已知．代入、加减是方法，消元是目的，转化是本质．所以本节课探究利用代入、加减消元法解二元一次方程组的基本步骤，立足于化归思想的逐步形成．

三、学生学情分析

（1）学生对代数思想的认识不够，缺乏用字母表示数的意识，发现式的变形和依据的能力不强．如用代入法解二元一次方程组时，需要先把其中一个方程变形成用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，再利用整体代换的方式替换出一元．这其中所蕴含的式的变形及整体代入思想，都是需要学生理解的．

（2）学生对解法的关注点往往集中在不同的方法上，而忽视相同的思想；集中在不同的变形技巧上，而忽视相同的程序化过程；集中在答案的对与错，而忽视解题过程的简与繁．

因此，在本节课的教学过程设计中，时刻注意引导学生思维聚焦的方向，通过合理设置有梯度的承接性问题，激发学生的思维，深化学生的思考．并且及时进行阶段性小结，不断完善学生的认知结构，力争做到使学生的思维“发而不散”．

四、教学过程设计

老师：

在上一节课，我们通过对一道与篮球比赛得分有关的实际问题的研究，学习了二元一次方程组，以及二元一次方程组的解．当我们列出二元一次方程组后，所关心的就是如何求出这个方程组的解．在此之前,我们学习了如何解一元一次方程，解一元一次方程的主要依据是等式性质．今天我们就来共同探究，能否利用等式性质和一元一次方程的相关知识，解二元一次方程组．

（一）自主学习，探究新知

例题　在上一节课，通过对实际问题的分析，我们列出了二元一次方程组

师：

你们会解这个方程组吗？

同学们先自学课本96页归纳以上部分；99页思考部分，并用适当方法解此方程。

（教师不加任何解释和引导，给学生充足时间，让学生自主探究方程组的解法．然后展示探究结果）

（二）你争我辩，展示自学成果。

学生1

解：

由①得③

把③代入②，得

解这个方程，得

师：

为什么可以代入？

代入的目的是什么?

代入①可不可以？

得到的方程是什么方程？

把代入③，得

师：

代入①或②行不行？

好不好？

所以原方程组的解为

（1）提出问题：

师：

在这种解法中，哪一步是最关键的？

为什么？

【设计意图】引导学生理解等量代换在代入消元法解方程组过程中的应用．体会解二元一次方程组的关键是把二元一次方程组转化为一元一次方程．

（在“为什么可以代入”这一问题的解决过程中，引导学生回顾二元一次方程组的定义，和二元一次方程组的解的定义，再一次理解定义中的“相同未知数”、“公共解”．）

（2）引申问题：

师：

有没有办法得到关于y的一元一次方程？

学生2

解：

由①得③

把③代入②，得

解这个方程，得

师：

代入①可不可以？

把代入③，得

师：

代入①或②可不可以？

所以原方程组的解是

（3）小结：

这种解二元一次方程组的方法，我们称之为代入消元法．

问题1：

你认为哪一步是最重要的？

为什么?

（“代入”，把二元一次方程组转化为一元一次方程．）

问题2：

应用代入消元法前，需要先做的准备工作是什么？

（用含一个未知数的式子表示另一个未知数．）

问题3：

除了代入法，还有没有其他方法来实现消元这一目的呢？

学生3

解：

由②-①，得

师：

这一步的依据是什么？

把代入①，得

师：

代入②可以吗？

所以原方程组的解是

（1）提出问题：

师:

在这种解法中，哪一步是最关键的？

为什么？

【设计意图】引导学生理解等式性质在加减消元法解方程组过程中的应用，体会解二元一次方程组的关键是把二元一次方程组转化为一元一次方程．

（2）引申问题：

师:

能不能先消？

学生4:

解：

①×2，得

③

③-②，得

师：

②-③可以吗？

好吗？

把代入①，得

所以原方程组的解是

（3）小结：

这种解二元一次方程组的方法我们称之为加减消元法．

（三）答疑解惑，形成模型

问题1：

你认为哪一步是最重要的？

为什么?

（“加减”，把二元一次方程组转化为一元一次方程．）

问题2：

应用加减消元法前，方程组中的两个方程要先具备什么特征？

（两方程中某个相同未知数的系数相等或互为相反数．）

问题3：

到现在，我们学习了几种方法来实现消元这一目的呢？

问题4：

两种方法的共同点（共同目的）是什么？

（通过消元，使二元问题先转化为一元问题，求出一个未知数后再求另一个．）

问题5：

两种方法的不同点是什么？

（消元的方法不同，一个是“代入”，一个是“加减”．）

问题6：

哪一种方法更简单？

（根据方程组特征，具体问题具体分析．）

问题7：

对于例题，还有其他的解法吗？

解：

把方程②变形成

把①代入，得

（后续步骤略．）

【说明】整体代入也实现了“消元”这一目的。

（四）运用新知，当堂训练（学生板演,小组竞赛）

练习：

⑴

⑵

⑶

⑷

答案：

⑴

⑵

⑶

⑷

（学生分组解答，然后对照黑板上同学们做的答案、交流不同的解法．注意纠正学生解题步骤中的细节问题．）

（五）归纳总结，深化思想，感悟模型。

思考：

这节课我们学习了什么？

问题1：

这节课我们研究的主要内容是什么？

（代入、加减消元法解二元一次方程组。

）

问题2：

解法的主要步骤是什么？

（变形、代入（加减）、求解、回代、结论。

）

我们以练习⑴、练习⑵为例，通过框图（如图1、图2），再次回顾解二元一次方程组的基本步骤．

代入消元法解方程组的基本步骤

图1

代入消元法解二元一次方程组的几个关键步骤是什么？

⑴变形：

将其中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示．

⑵代入：

将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．

⑶求解：

求出一元一次方程的解．

⑷回代：

将其代入到变形后的方程中，求出另一个未知数的解．

⑸结论：

写出方程组的解．

加减消元法解方程组的基本步骤

图2

加减消元法解二元一次方程组的几个关键步骤是什么？

⑴变形：

使两个方程中某个相同未知数的系数相等或互为相反数．

⑵加减：

将两个方程相加减，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．

⑶求解：

求出一元一次方程的解．

⑷回代：

将其代入到变形后的方程中，求出另一个未知数的解．

⑸结论：

写出方程组的解．

问题3：

你觉得其中最关键的一步是什么？

为什么？

体现了什么思想？

（代入消元，把二元一次方程组转化为一元一次方程，转化思想。

）

问题4：

在解题过程中我们还应注意哪些问题？

（分析如何消元能简化运算等。

）

（六）布置作业

1．必做题：

教材P103页练习2、3

2.选做题

1．已知

2．已知是方程组的解，求a、b的值．

【说明】教材上的作业既是对代入法的一次练习，同时也是对代入法适合情况的一次理解；选作题作业是对方程组问题的一次提高练习，有一定的思维难度．

（七）、教学反思

1.“先学后教，当堂训练”的教学模式得到突出。

教学过程中，以学生为主体，放手让学生探究，学生自主的运用所学过的等式性质，把没学过的方程组问题转化为学过的一元一次方程来解决，学生自己提炼思想形成模型。

2.教学过程的设计突出了数学思想方法，对本节的教学没有停留在具体题目的具体解题过程上，而是不断加深学生对思想方法的领悟，让学生从思想方法的高度认识、理解所学内容。

这样，我们和学生分享的是能活学活用、能解决问题、真正意义上的知识，而非“死”知识.

3．本节课，对教材进行了重组，课堂容量较大，但学生学习效果不错，学生进行了积极的探索，课堂气氛活跃，参与度高，学生基本上掌握了解题方法，体会了解题思想。

4.为了巩固本节课的学习效果，安排一节习题课。