一元二次方程与二次函数提高训练题.docx

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一元二次方程与二次函数提高训练题

一元二次方程与二次函数提高训练题

1、已知关于的一元二次方程有实数根，为正整数.

（1）求的值；

（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于的二次函数的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；

（3）在

（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：

当直线

与此图象有两个公共点时，的取值范围.

解：

（1）由题意得，．

∴．

∵为正整数，

∴．

（2）当时，方程有一个根为零；

当时，方程无整数根；

当时，方程有两个非零的整数根．

综上所述，和不合题意，舍去；符合题意．

当时，二次函数为，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为．

（3）设二次函数的图象与轴交于

两点，则，．

依题意翻折后的图象如图所示．

当直线经过点时，可得；

当直线经过点时，可得．

由图象可知，符合题意的的取值范围为．

2、已知：

关于的一元二次方程

（1）若求证：

方程有两个不相等的实数根；

（2）若12＜m＜40的整数，且方程有两个整数根，求的值．

证明：

∴方程有两个不相等的实数根。

（2）

∵方程有两个整数根，必须使且m为整数．

又∵12＜m＜40，

∴　5＜＜9．

∴m=24

3、已知:

关于x的一元一次方程kx=x+2①的根为正实数，二次函数y=ax2－bx+kc

（c≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标为1.

（1）若方程①的根为正整数，求整数k的值；

（2）求代数式的值；

（3）求证:

关于x的一元二次方程ax2－bx+c=0②必有两个不相等的实数根.

解：

由kx=x+2，得（k－1）x=2.

依题意k－1≠0.

∴.

∵方程的根为正整数，k为整数,

∴k－1=1或k－1=2.

∴k1=2,k2=3.

（2）解：

依题意，二次函数y=ax2－bx+kc的图象经过点（1，0），

∴0=a－b+kc,kc=b－a.

∴

=

（3）证明：

方程②的判别式为Δ=（－b）2－4ac=b2－4ac.

由a≠0,c≠0,得ac≠0.

（i）若ac<0,则－4ac>0.故Δ=b2－4ac>0.此时方程②有两个不相等的实数

根.

（ii）证法一:

若ac>0,由

（2）知a－b+kc=0,故b=a+kc.

Δ=b2－4ac=（a+kc）2－4ac=a2+2kac+（kc）2－4ac=a2－2kac+（kc）2+4kac－4ac

=（a－kc）2+4ac（k－1）.

∵方程kx=x+2的根为正实数，

∴方程（k－1）x=2的根为正实数.

由x>0,2>0,得k－1>0.

∴4ac（k－1）>0.

∵（a－kc）20,

∴Δ=（a－kc）2+4ac（k－1）>0.此时方程②有两个不相等的实数根.

证法二:

若ac>0,

∵抛物线y=ax2－bx+kc与x轴有交点,

∴Δ1=（－b）2－4akc=b2－4akc0.

（b2－4ac）－（b2－4akc）=4ac（k－1）.

由证法一知k－1>0,

∴b2－4ac>b2－4akc0.

∴Δ=b2－4ac>0.此时方程②有两个不相等的实数根.

综上,方程②有两个不相等的实数根.

4、已知：

关于的一元二次方程．

（1）求证：

不论取何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程的两个实数根满足，求的值．

（1）　

不论取何值，方程总有两个不相等实数根　　

（2）由原方程可得

　∴　　－－

∴

　又∵

　　∴　

　∴　　－

经检验：

符合题意．

　∴的值为4．　

5\已知关于的一元二次方程．

（1）求证：

无论为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；

（2）抛物线与轴的一个交点的横坐标为，其中，将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，得到抛物线．求抛物

线的解析式；

（3）点A（m,n）和B（n,m）都在

（2）中抛物线C2上，且A、B两点不重合，求代数式

的值．

（1）证明：

∵，…………………………………1分

而，

∴，即.

∴无论为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根.…………2分

（2）解：

∵当时，，

∴.

∴，即.

∵，

∴.…………………………………………………………3分

∴抛物线的解析式为.

∴抛物线的顶点为.

∴抛物线的顶点为.

∴抛物线的解析式为.…………………………4分

（3）解：

∵点A（，）和B（，）都在抛物线上，

∴，且.

∴.

∴.

∴.

∵A、B两点不重合，即，

∴.

∴.………………………………………………………5分

∵，，

∴

………………………………………………………………6分

.………………………………………………………………7分

6、已抛物线（为实数）。

（1）为何值时，抛物线与轴有两个交点？

（2）如果抛物线与轴相交于A、B两点，与轴交于点C，且△ABC的面积为2，求该抛物线的解析式。

分析：

抛物线与轴有两个交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，将问题转化为求一元二次方程有两个不相等的实数根应满足的条件。

略解：

（1）由已知有，解得且

（2）由得C（0，－1）

又∵

∴

∴或

∴或

6、如图，抛物线，其中、、分别是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边。

（1）求证：

该抛物线与轴必有两个交点；

（2）设有直线与抛物线交于点E、F，与轴交于点M，抛物线与轴交于点N，若抛物线的对称轴为，△MNE与△MNF的面积之比为5∶1，求证：

△ABC是等边三角形；

（1）

∵，

∴

（2）由得

由得：

设E（，），F（，），那么：

，

由∶＝5∶1得：

∴或

由知应舍去。

由解得

∴，即

∴或（舍去）

∴

∴△ABC是等边三角形。

7、已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于

点,，顶点M的纵坐标为-4，若是方程的两个根，且

（1）求A，B两点的坐标

（2）求抛物线的解析式和点C的坐标

（3）在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积等于四边形ACMB面积的两倍？

若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由。

1、

因为x1，x2是方程x^2－2（m－1）x＋m^2－7＝0的两个根

所以x1＋x2＝2（m－1），x1*x2＝m^2－7

又因为（x1）^2＋（x2）^2＝10

所以（x1＋x2）^2－2x1*x2＝10

即[2（m－1）]^2－2（m^2－7）＝10

整理得：

m^2－4m＋4＝0

所以m＝2

代入x^2－2（m－1）x＋m^2－7＝0得

x^2－2x－3＝0

解得x1＝－1，x2＝3

所以A、B的坐标为：

A（－1，0），B（3，0）

2、

把A、B坐标代入y＝ax^2＋bx＋c，得

a－b＋c＝0

9a＋3b＋c＝0

因为抛物线y＝ax^2＋bx＋c顶点M的纵坐标为－4

所以（4ac－b^2）/（4a）＝－4

上述三式组成方程组，解得

a＝1，b＝－2，c＝－3（a＝0不合，已舍去）

所以抛物线的解析式是

y＝x^2－2x－3

当x＝0时，y＝－3

所以C点坐标是（0，－3）

3、

抛物线y＝x^2－2x－3的顶点是M（1，－4），AB＝3－（－1）＝4

设点P的坐标为（x，y）

S△PAB＝AB*|y|/2＝4*|y|/2＝2|y|

过M作MN⊥X轴，交X轴于N点，则

S四边形ACMB＝S△AOC＋S△BNM＋S梯形MNOC

＝1*3/2＋（3－1）*4/2＋（3＋4）*1/2

＝9

若S△PAB＝2S△PAB

则有2|y|＝2*9＝18

所以|y|＝9>4，

所以P在X轴的上方

所以y＝9

所以9＝x^2－2x－3

即x^2－2x－12＝0

解得x＝1±√13

所以存在点P使三角形PAB的面积等于四边形ACMB的面积的2倍，坐标为：

P1[（1＋√13），9]，P2[（1－√13），9]

课后练习、

1、已知关于的方程

（1）求证：

无论取任何实数时，方程恒有实数根.

（2）若关于的二次函数的图象与轴两个交点的横坐标均为正整数，且为整数，求抛物线的解析式.

1）证明：

①当时，方程为，所以，方程有实数根.……1分

②当时,

=

=

=………………………………2分

所以,方程有实数根

综①②所述，无论取任何实数时，方程恒有实数根…………3分

（2）令，则

解关于的一元二次方程，得，……………………5分

二次函数的图象与轴两个交点的横坐标均为正整数，且为整数，

所以只能取1，2

所以抛物线的解析式为或………………7分

2、已知抛物线。

（1）求证：

不论为任何实数，抛物线与轴有两个不同的交点，且这两个点都在轴的正半轴上；

（2）设抛物线与轴交于点A，与轴交于B、C两点，当△ABC的面积为48平方单位时，求的值。

解析：

（1），由，可得证。

（2）

＝

又∵

∴

解得或（舍去）

∴

3、.已知关于x的二次函数y=x2+（2k-1）x+k2-1．

（1）若关于x的一元二次方程x2+（2k-1）x+k2-1=0的两根的平方和等于9，

求k的值，

（2）在

（1）的条件下，设这个二次函数的图象与x轴从左至右交于A、B两点．问函数对称轴右边的图象上，是否存在点M，使锐角△AMB的面积等于3．若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在

（1）、

（2）条件下，若P点是二次函图象上的点，且∠PAM=90°，求△APM的面积．

4、已知二次函数y=x2+2x+m的图象C1与x轴有且只有一个公共点．

（1）求C1的顶点坐标；

（2）将C1向下平移若干个单位后，得抛物线C2，如果C2与x轴的一个交点为A（﹣3，0），求C2的函数关系式，并求C2与x轴的另一个交点坐标；

（3）若P（n，y1），Q（2，y2）是C1上的两点，且y1＞y2，求实数n的取值范围。

（1）y=x2+2x+m=（x+1）2+m-1，对称轴为x=-1，

∵与x轴有且只有一个公共点，

∴顶点的纵坐标为0，

∴C1的顶点坐标为（-1，0）；

（2）设C2的函数关系式为y=（x+1）2+k，

把A（-3，0）代入上式得（-3+1）2+k=0得k=-4，

∴C2的函数关系式为y=（x+1）2-4，

∵抛物线的对称轴为x=-1，

与x轴的一个交点为A（-3，0），

由对称性可知，它与x轴的另一个交点坐标为（1，0）；

（3）当x≥-1时，y随x的增大而增大，

当n≥-1时，∵y1＞y2，∴n＞2；

当n＜-1时，P（n，y1）的对称点的坐标为（-2-n，y1），且-2-n≥-1，

∵y1＞y2，

∴-2-n＞2，

∴n＜-4，

综上所述：

n＞2或n＜-4。