解得P=03,«=9
例7辭〜占伉初且£好2工D(X)=189,求用和P解:
由于ff(X)=np,D{X}=Kpq,于是得方程组{;:
=;;
例8,已知疋〜皿-3坨y〜您退X与F独立,求£(3/-羽)及DGX-⑵解:
由于应优)=-3,D(X)=4;砒)=5,砧)=5
故EQX-2Y}=3S[X}-2£的=3x(-3)-2x5=-19
£)(3Z-2y)=9D(Jr)+4Z)[r)=9x4+4x5=56
三协方差及相关系数
§4.3.1协方差1.协方差的概念前而曾证明过:
当X,Y相互独立减有
E[X-E(X)][Y-E(Y)]=E(XY)-E(X)E(y卜0
定义1设XY为两个随机变量,如果E[X-E(X)][Y-E(r)>a,则祢它为X与Y的协方差,记为CO珂X,Y)即:
CQt^(X,Y)=E[X-E(X)][Y-E(Y)]
例b设求cm%Y)
解;由于(EY期概率密S为
f(x,y}=-——于是阿区小E(x-M)(y-他)二匸匸(X-旳)3-*必M滚动
=T_J_7f;;(x一鬥)6一心扁
加牛5屮-P
/A工~阻厂你
(令厂,v=)
二竺旦广2-丁1「8
jjjFL(若fQN(on则滚动血亦丄8
5®
2.协方差的性质
性质L如果X,Y相互独立,贝I]00珂
证:
cor(x,Y)=E[X-E(X)][Y-E(Y)]=E[XY-XE(Y)-YE(X)+E(X)E(Y)]
E(XY)-E(X)-E(Y)二
JCr1技m
性质2如果讥为常数,则CO巩必』丫)=必CO巩xV]证:
C07(aX,iY)=E[C)]bY-E0Y)卜abe[X-E(X)][Y-E(Y)=abCOV(&』)性质3COy(X+Y,Z)=0(X,Z)+CW(Y,Z)
证:
C07(X+Y,Z)=E[X+Y-E(X+Y)][Z-E(Z)]=E[(X-EX)+(Y-EY)][Z-E亿)]-E[(X-EX)(2-EZ)+(Y-EY^Z-E2)]-E[X-E(X)][Z-E(Z)]十E[Y-E[Y)][Z-E(Z)]=TOMx,Z)+TOy(Y,Z)滚动
3-个重要公式CO^X,Y卜E(XY)-E(X)E(Y)
例2:
甲乙两人猜测箱中产品的数目,猜测结果分别记为X和丫(单位:
百个)已知(X,Y)的分布律和
边缘分布律由下表给出:
试求叽⑴
X'Y
1
2
3
羽
1
0.2
0.1
0.01
0.31
2
0.15
|0.30
0.06
0.51
3
0.03
|0.05
0.10
0.18
0.38
0.45
0.17
1
解:
E(X)=f见=1x0.31+3^0.1£=1.g?
Jz
E(Y)二丫血厂30咒TXD45十10.17=L79
E35
E(5CY)=E2砂y=I乂浪0.20+1x2x0.10+1x3x0.01+2x1x0.15+2x2x0.30
4lJ4
+2x3x0.06+3x1x003+3x3x0.05+3x3x0.10=3.53
于是得协方差C7OF〔X,号)=E[XT)-E(KXCV)=3.5B-L.37X1.7P=0J327.S此例中,如果甲,乙两人循测结杲的单位选择为的此时甲、乙》测结果记为X;U它m与原以百个为单傥的猜测结果也Y之间便有如下羌系:
K*=laOX,Y^=1COY„llfcBl
由协方差的性质3可知=
CO卩(x;Yl=co珥10(]XMOY)=1叩3刃区丫)=10滚X0.2327=2327
UQF(X,Y]nE[X-E(X)][Y-E(Y)]
§432相关系数1.相关系数的概念
为X与Y的相关系数。
定义》设X,Y为两个随机变S,且D(X)>CLD(Y)nCi,则称g=
(巩玉巩YJ
例3:
设忆飞卜求心
解:
由前面得到的结果可知E(X)二幻E(Y)二馬,D(X)=厲‘/⑴“二且
2.相关系数的性质
性质
1如果X,Y相互独立,则G盅=0
性质
g<1,即-辽
_X-E(X)¥・_Y-E(Y)
显然D[y*)=i且erXtKxT).eX冶,e区溜I爲舉)1"
(E(X)6E(y1o)VW吋
令X*
证:
±Y*)=-D(X*)+Z)(7*)+2CDr(Z\Y*)
P"==3Q±r)
<1
于是B(Z*
=l+l±2p"=2±2/?
"=3Q±p
因为方差D(X*±Y*)>0故1士Qxy汕即1%
相关系数为0,能否说二者无关了?
NO
例4:
设X的分布律为
X-
1
0
1
lP
1'k
E(X)=(-l)xi+0梵丄+1K丄=0
解:
「\/333
阳“(讣(—1)弓冷*宀卜扌E(X^)=E(Y)=|
E(Y^)=E(X*)=(-l)*x|+0Sln*xi=|
E(X7)=E(X^)=(-I)\i+2丄+卩丄=0
滚动
于是
D(X)=E(X?
)-[E(X)F=I■-0==I->J
D(¥XE〔yT-[e(Y)F=扌-[y]=y>0而
COV(XJ)=E(XY)-ECX)E(Y>0-0x|=0
所以
S(X,Y)=□=n
例2设随机变童dup,加]又设X=CO£^J=CO£
轟戊旗中诙任意实数)试求屜
解:
由于S~u皿2璋}a卩刃的概率密度为f(Q卜授
z
r
1/2Pi
J」
Kt
滚动
于是便得E(X)=Ecosdcos[&+(7-
E(X,)二E卜「石诂[□心J:
同样方法可得£(和)“[曲@+门卜;、一
2滚动
coscos@+d)/(&HF
E(Y)-E
E(XY)=E
=I*cos/(&)i0=fcos0—dd=—sin3+nos@+m)_/@肿总-广cos(6*+P=■g2/7」・
M「口閃sW(&k&m丄-
」■ur—
"cos26de
——sin(0+=0
2尺
0
cos
COS3cosI&+d
1<1+cos2&
2把人一
—[tt+J-sin20
2TT
2
T-1.J-y
=——£cosQcos(日+卫BP=——k[cQS(2+a)+cosa”石
2兀"■4"龙"
=卜[f"cos(2呂+flH&+f"coscdp]=卜[0+2
进而得n(x)=E(xO-[H(X)J=1-
z
D(Y)=E『)-[E(Y)f=L-(P=L
CO卩(XJ)=E(XJ)-E(X)E(Y)=-cosq
2
COVCX,Y)_Vcosa
n^COSa\=yCOS
0^=1
滚动
问题:
相关系数到底说明什么问题?
似乎并不能完全反映两个变量的相关程度。
由此问题引出性质3
相关系数实际上叫“线性相关系数”更准确
讨论如下:
(1)
场=-吋,/7vy=COS-=0,此时X=cos玄Y
22_
=COS—
I3
I积变偶不变,符号看象限
当a=e叭血"C%=1,此时X=co班Y=co眦从而有Y=X。
=-sm玄从而有X'+Y'=1
当a=讲Lpxi"c伽=7,此时X=cos0,Y=cos(fl+^)=-cos8
即有Y=-X。
性质3bu=±1的充分必要条件为川Y=aX+0}=1,其中a,t)为常数©
证:
令X*=耳塑,Y*=1—显然有E(X*)=0,E(Y*)=0、网MO
D(疋卜ID肝卜1艮為=E(X*Y*^于
1…55+=E『)-2sE虻汐+"
EY—2q/C丫
e[y-%天屮
附-涉)(TeL-qXD滚动
可见,
=1oDp-%%%0op{y*-%>C=U}=0
即P品-沖Ci亦即
和搗杯E(O將佔如顾)口
即=aX+b}=1,
定义3:
如杲血=训椒与/是线性不相关阿閒杯相无而当隔=1吋,称X与Y是线性正相关,当血一1吋而称为负相关。
注意=X,Y独立QXY不相并
然而,当(X,Y)~N仏,如打,时,"时,X,Y独立OX,Y不相关。
这是因为.由前面所得结杲可知,此时冷=门且況,Y独立O/7=0,于是X,丫独立的重要条件是隔=a即X,Y不相关。
§4.3.3协方差矩阵
定义4设(血无丁…,X川功r维随机变量,回化Kk厂12・・M亿几…叮
皿…冬A
为(X1,X2,…,Xn)的协方差矩阵,简称为协差阵。
性质
1.V为对称阵,即Vij=Vji,—切i,j
2.V主对角线之元素为X1,X2…,Xn,的方差,即Vii=D(Xi),i=1,2,…,n滚动
例6.设⑶F加协差阵为[]寸求g=X-2Y、厂2恳-亦相关系数。
解:
己知协方差cov(X/)=齐厂耳1=1,方差0区)=7讥7
D/)%=4再由协方差的性质可知
cov(^,7)=cov(;^-2y,2^-r)
=匚心2X)-cov(^,y)-cov(2r,2^)+co7(2y,y)
2D(X)-zov{X,r)-4cov亿X)+2£)(/)
2xl-l-4xl+2x4=5
D(f)=D(X-2Y)=D{X}+D(2F)-2c卯隨27)=D(X)+4D(y)-4回Q)
滚动
于疋岛应)顾疤百
=^^=0.6934
26
=1+4x4~4x1=13
Z)(7)二D(2X-Y}=D[2X)+D的-2cov(2Xy)=4口区)+2)『)-4匚0讥扎打
=4x1+4-4x1=4
四n维正态分布
§441n维正态分布的概率密度
对二维正态分布的随机变量(X,Y),其概率密度为
卩=厅;讨(1-门2)
宀,
朮逆阵为
"的行列式为
b;-P6611
-Q于是
可见,(X,Y)的概率密度便可表为/(工y)_
2/r
O为r弓则称区,兀宀览)服从参数为廊淋]肖维正态分布,记为(血,屁,…仏卩)其中兀=(心冰“…;vj,"=(迪,爲’…屮)
"必…叮
巴「幼正定对称阵)
§4.4.2n维正态分布的几个重要性质性质1一若区乙…乙卜“⑺,吩则鬪1吩别为区】,忑…兀喲期望与协差阵。
性质2(X血…耳)服从浇正态分布Njp:
的充要条件是其分量的任意线性组合》角艮从1维正态分布N工碣舟乏工叩再
iZf伺k気
L/
性质=(禺兀…Xj〜MS")又血为处〃的实矩阵,则y=如加)
例1设也幼~叫町其中厂P
又跑气+?
滚动
性质4设区兀…耳)~"S,吩则X/m…相互独立的充要条件是禺兀…兀两两不相关,即f;.=0」MJ
问X与z是否独立?
世亠"\
1,0解:
由于比丫)-亦Z),若取/!
=11,贝1]
32
\*
『1
03
X}
{X
=
X
Y
=
1
1
=^1
+—
Y
r
1
2
/
2
/
/
由性质3可知(X,Z)服从二维正态分布,而
X
2
cov(^,Z)=cov(Xy+y)=^cov{X,X}+|cov(^,y)
=1x9+ixf-6)=032
即X与Z不相关,从而X与Z相互独立。