解得P=03,«=9
例7辭〜占伉初且£好2工D（X）=189,求用和P解：
由于ff（X）=np,D{X}=Kpq,于是得方程组{；：
=；；
例8,已知疋〜皿-3坨y〜您退X与F独立，求£（3/-羽）及DGX-⑵解：
由于应优）=-3,D（X）=4;砒）=5,砧）=5
故EQX-2Y}=3S[X}-2£的=3x（-3）-2x5=-19
£）（3Z-2y）=9D（Jr）+4Z）［r）=9x4+4x5=56
三协方差及相关系数
§4.3.1协方差1.协方差的概念前而曾证明过：
当X,Y相互独立减有
E[X-E（X）][Y-E（Y）]=E（XY）-E（X）E（y卜0
定义1设XY为两个随机变量，如果E[X-E（X）][Y-E（r）>a,则祢它为X与Y的协方差，记为CO珂X,Y）即：
CQt^（X,Y）=E[X-E（X）][Y-E（Y）]
例b设求cm%Y）
解；由于（EY期概率密S为
f（x,y}=-——于是阿区小E（x-M）（y-他）二匸匸（X-旳）3-*必M滚动
=T_J_7f；；（x一鬥）6一心扁
加牛5屮-P
/A工~阻厂你
（令厂,v=）
二竺旦广2-丁1「8
jjjFL（若fQN（on则滚动血亦丄8
5®
2.协方差的性质
性质L如果X,Y相互独立，贝I]00珂
证：
cor（x,Y）=E[X-E（X）][Y-E（Y）]=E[XY-XE（Y）-YE（X）+E（X）E（Y）]
E（XY）-E（X）-E（Y）二
JCr1技m
性质2如果讥为常数，则CO巩必』丫）=必CO巩xV]证：
C07（aX,iY）=E［C）］bY-E0Y）卜abe［X-E（X）］［Y-E（Y）=abCOV（&』）性质3COy（X+Y,Z）=0（X,Z）+CW（Y,Z）
证：
C07（X+Y,Z）=E［X+Y-E（X+Y）］［Z-E（Z）］=E［（X-EX）+（Y-EY）］［Z-E亿）］-E［（X-EX）（2-EZ）+（Y-EY^Z-E2）］-E［X-E（X）］［Z-E（Z）］十E［Y-E［Y）］［Z-E（Z）］=TOMx,Z）+TOy（Y,Z）滚动
3-个重要公式CO^X,Y卜E（XY）-E（X）E（Y）
例2:
甲乙两人猜测箱中产品的数目，猜测结果分别记为X和丫（单位：
百个）已知（X,Y）的分布律和
边缘分布律由下表给出：
试求叽⑴
X'Y
1
2
3
羽
1
0.2
0.1
0.01
0.31
2
0.15
|0.30
0.06
0.51
3
0.03
|0.05
0.10
0.18
0.38
0.45
0.17
1
解：
E（X）=f见=1x0.31+3^0.1£=1.g?
Jz
E（Y）二丫血厂30咒TXD45十10.17=L79
E35
E（5CY）=E2砂y=I乂浪0.20+1x2x0.10+1x3x0.01+2x1x0.15+2x2x0.30
4lJ4
+2x3x0.06+3x1x003+3x3x0.05+3x3x0.10=3.53
于是得协方差C7OF〔X,号）=E[XT）-E（KXCV）=3.5B-L.37X1.7P=0J327.S此例中，如果甲，乙两人循测结杲的单位选择为的此时甲、乙》测结果记为X；U它m与原以百个为单傥的猜测结果也Y之间便有如下羌系：
K*=laOX,Y^=1COY„llfcBl
由协方差的性质3可知=
CO卩（x；Yl=co珥10（]XMOY）=1叩3刃区丫）=10滚X0.2327=2327
UQF（X,Y]nE[X-E（X）][Y-E（Y）]
§432相关系数1.相关系数的概念
为X与Y的相关系数。
定义》设X,Y为两个随机变S，且D（X）>CLD（Y）nCi,则称g=
（巩玉巩YJ
例3：
设忆飞卜求心
解：
由前面得到的结果可知E（X）二幻E（Y）二馬，D（X）=厲‘/⑴“二且
2.相关系数的性质
性质
1如果X,Y相互独立，则G盅=0
性质
g<1，即-辽
_X-E（X）¥・_Y-E（Y）
显然D[y*）=i且erXtKxT）.eX冶，e区溜I爲舉）1"
（E（X）6E（y1o）VW吋
令X*
证:
±Y*）=-D（X*）+Z）（7*）+2CDr（Z\Y*）
P"==3Q±r）
<1
于是B（Z*
=l+l±2p"=2±2/?
"=3Q±p
因为方差D（X*±Y*）>0故1士Qxy汕即1%
相关系数为0，能否说二者无关了？
NO
例4:
设X的分布律为
X-
1
0
1
lP
1'k
E（X）=（-l）xi+0梵丄+1K丄=0
解:
「\/333
阳“（讣（—1）弓冷*宀卜扌E（X^）=E（Y）=|
E（Y^）=E（X*）=（-l）*x|+0Sln*xi=|
E（X7）=E（X^）=（-I）\i+2丄+卩丄=0
滚动
于是
D（X）=E（X?
）-[E（X）F=I■-0==I->J
D（¥XE〔yT-[e（Y）F=扌-[y]=y>0而
COV（XJ）=E（XY）-ECX）E（Y>0-0x|=0
所以
S（X,Y）=□=n
例2设随机变童dup，加］又设X=CO£^J=CO£
轟戊旗中诙任意实数）试求屜
解：
由于S~u皿2璋}a卩刃的概率密度为f（Q卜授
z
r
1/2Pi
J」
Kt
滚动
于是便得E（X）=Ecosdcos［&+（7-
E（X，）二E卜「石诂［□心J:
同样方法可得£（和）“［曲@+门卜；、一
2滚动
coscos@+d）/（&HF
E（Y）-E
E（XY）=E
=I*cos/（&）i0=fcos0—dd=—sin3+nos@+m）_/@肿总-广cos（6*+P=■g2/7」・
M「口閃sW（&k&m丄-
」■ur—
"cos26de
——sin（0+=0
2尺
0
cos
COS3cosI&+d
1<1+cos2&
2把人一
—[tt+J-sin20
2TT
2
T-1.J-y
=——£cosQcos（日+卫BP=——k[cQS（2+a）+cosa”石
2兀"■4"龙"
=卜[f"cos（2呂+flH&+f"coscdp]=卜[0+2
进而得n（x）=E（xO-[H（X）J=1-
z
D（Y）=E『）-[E（Y）f=L-（P=L
CO卩（XJ）=E（XJ）-E（X）E（Y）=-cosq
2
COVCX,Y）_Vcosa
n^COSa\=yCOS
0^=1
滚动
问题：
相关系数到底说明什么问题？
似乎并不能完全反映两个变量的相关程度。
由此问题引出性质3
相关系数实际上叫“线性相关系数”更准确
讨论如下:
（1）
场=-吋，/7vy=COS-=0,此时X=cos玄Y
22_
=COS—
I3
I积变偶不变，符号看象限
当a=e叭血"C%=1,此时X=co班Y=co眦从而有Y=X。
=-sm玄从而有X'+Y'=1
当a=讲Lpxi"c伽=7,此时X=cos0,Y=cos（fl+^）=-cos8
即有Y=-X。
性质3bu=±1的充分必要条件为川Y=aX+0}=1,其中a,t）为常数©
证：
令X*=耳塑，Y*=1—显然有E（X*）=0,E（Y*）=0、网MO
D（疋卜ID肝卜1艮為=E（X*Y*^于
1…55+=E『）-2sE虻汐+"
EY—2q/C丫
e[y-%天屮
附-涉）（TeL-qXD滚动
可见,
=1oDp-%%%0op{y*-%>C=U}=0
即P品-沖Ci亦即
和搗杯E（O將佔如顾）口
即=aX+b}=1,
定义3：
如杲血=训椒与/是线性不相关阿閒杯相无而当隔=1吋，称X与Y是线性正相关，当血一1吋而称为负相关。
注意=X,Y独立QXY不相并
然而，当（X,Y）~N仏，如打，时，"时，X,Y独立OX,Y不相关。
这是因为.由前面所得结杲可知，此时冷=门且況，Y独立O/7=0,于是X,丫独立的重要条件是隔=a即X,Y不相关。
§4.3.3协方差矩阵
定义4设（血无丁…，X川功r维随机变量，回化Kk厂12・・M亿几…叮
皿…冬A
为（X1,X2,…，Xn）的协方差矩阵，简称为协差阵。
性质
1.V为对称阵，即Vij=Vji,—切i,j
2.V主对角线之元素为X1,X2…,Xn,的方差，即Vii=D（Xi）,i=1,2,…,n滚动
例6.设⑶F加协差阵为[]寸求g=X-2Y、厂2恳-亦相关系数。
解：
己知协方差cov（X/）=齐厂耳1=1,方差0区）=7讥7
D/）%=4再由协方差的性质可知
cov（^，7）=cov（；^-2y,2^-r）
=匚心2X）-cov（^,y）-cov（2r,2^）+co7（2y,y）
2D（X）-zov{X,r）-4cov亿X）+2£）（/）
2xl-l-4xl+2x4=5
D（f）=D（X-2Y）=D{X}+D（2F）-2c卯隨27）=D（X）+4D（y）-4回Q）
滚动
于疋岛应）顾疤百
=^^=0.6934
26
=1+4x4~4x1=13
Z）（7）二D（2X-Y}=D[2X）+D的-2cov（2Xy）=4口区）+2）『）-4匚0讥扎打
=4x1+4-4x1=4
四n维正态分布
§441n维正态分布的概率密度
对二维正态分布的随机变量（X，Y）,其概率密度为
卩=厅；讨（1-门2）
宀，
朮逆阵为
"的行列式为
b；-P6611
-Q于是
可见，（X,Y）的概率密度便可表为/（工y）_
2/r
O为r弓则称区，兀宀览）服从参数为廊淋]肖维正态分布，记为（血，屁,…仏卩）其中兀=（心冰“…；vj，"=（迪，爲’…屮）
"必…叮
巴「幼正定对称阵）
§4.4.2n维正态分布的几个重要性质性质1一若区乙…乙卜“⑺,吩则鬪1吩别为区】,忑…兀喲期望与协差阵。
性质2（X血…耳）服从浇正态分布Njp：
的充要条件是其分量的任意线性组合》角艮从1维正态分布N工碣舟乏工叩再
iZf伺k気
L/
性质=（禺兀…Xj〜MS"）又血为处〃的实矩阵，则y=如加）
例1设也幼~叫町其中厂P
又跑气+?
滚动
性质4设区兀…耳）~"S，吩则X/m…相互独立的充要条件是禺兀…兀两两不相关，即f；.=0」MJ
问X与z是否独立?
世亠"\
1,0解：
由于比丫）-亦Z）,若取/!
=11,贝1]
32
\*
『1
03
X}
{X
=
X
Y
=
1
1
=^1
+—
Y
r
1
2
/
2
/
/
由性质3可知（X,Z）服从二维正态分布，而
X
2
cov（^,Z）=cov（Xy+y）=^cov{X,X}+|cov（^,y）
=1x9+ixf-6）=032
即X与Z不相关，从而X与Z相互独立。
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