行程问题.docx
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行程问题
行程问题
例1甲、乙两车同时从相距480千米的两地相对而行，甲车每小时行45千米，途中汽车故障甲车停了1小时，5小时后两车相遇。
乙车每小时行多少千米？
例2甲、乙两匹马从相距80米的地方同时出发，出发时甲马在前乙马在后.已知甲马每秒跑10米，乙马每秒跑12米，问：
何时两马相距70米？
例3东、西两地相距460千米，甲车从西出发，2小时后乙车从东出发两车相向而行，乙车开出4小时后与甲车相遇．已知甲车每小时比乙车多行10千米，求甲车每小时行多少千米？
例4客、货两车同时从甲城开往乙城，客车每小时行90千米，货车每小时行70千米．客车到达乙城后立即返回，在离乙城50千米处和货车相遇．求甲、乙两城相距多少千米？
例5甲、乙两车同时、同地出发去同一目的地．甲车每小时行40千米，乙车每小时行35千米．途中甲车因故障修车用了3小时，结果甲车比乙车迟到1小时到达目的地．甲、乙两地的路程是多少千米？
例6A、B两地相距38千米，甲、乙分别从A、B两地同时出发相向而行．甲到达B地立即返回，乙到达A地后也立即返回，3小时后两人第二次相遇．此时，甲行的路程比乙行的路程多18千米．问甲每小时行多少千米？
【例题精讲】
例1摆5个三角形，需要11根木棒，摆2011个三角形，需要_____根木棒
例2每个圆点代表一个花盆，根据前3个图案，计算出第2011个图案的花盘总数是__个。
例3用数字摆成下面的三角形，请你仔细观察后，推断第10行的各数之和是多少？
1
11
121
1331
14641
例4某城市有10条笔直的道路，这10条路没有平行的，每两条都有交叉路口，但没有3
条或3条以上的路在一个路口相交，如果每一个交叉路口安排一名交警，共需安排多少名？
例5一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第10级，共有多少种不同
走法？
例6一个三角形全涂上白色，每进行一操作，即把全白三角形分成四个全等的小三角形，
中间的小正三角形涂上黑色（如图），经过五次操作后，有____个黑色三角形，白色部分是
整个三角形的_____。
例7计算下面长方形的各数（没有正方形）？
从简单情况考虑，就是一种以退为进的解题策略。
退回去思想，在新知识学习、问题解决和知识结构梳理等方面都有重要的应用。
例1新年来临，同学们互寄贺卡，如果每人只要收到对方的贺卡，就一定要回赠，那么寄了奇数张贺卡出去的学生人数是______（填奇数或偶数）。
例2计算
________。
例3怎样用一条直线把图分成面积相等的两部分。
例4有一个长方形棋盘，每个小方块的边长都是1，长有200格，宽有120格，如图12所示，纵横线交叉的点称为格点，连接A、B两点的线段共经过________个格点（包括A、B两点）。
例5正方形abcd的内部有2012个点，以正方形的4个顶点和内部的2012个点位顶点，将它简称若干个三角形，一共可以剪成多少个三角形？
例6一百和尚一百馍，大和尚1人吃3个，小和尚3人吃1个，问大、小和尚各几人？
例7一个湖的周围有一条长3060米的大堤，堤上每隔6米栽一棵柳树，然后在相邻的两棵柳树之间栽桃树2棵，大堤上栽柳树和桃树各多少棵？
例8一只轮船往返于甲、乙两个码头之间一次。
问：
静水中航行所花时间长，还是流水中航行所花时间长，还是所花时间一样长？
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例1表示一天内的气温变化情况，应选用_______统计图。
例2下面是小太阳学校六年级学生“五一”假期休假方式的调查情况：
学习：
75%参加兴趣班：
55%
旅游：
48%看亲戚朋友：
16%
请问：
上面调查结果能否用扇形统计图进行表示？
为什么？
例3如图是“未来星”学校六年级学生视力情况统计图。
（1）视力正常人数占全年级学生人数的____%，视力不良（包含假性近视和近视）的人数占全年级学生人数的____%。
（2）视力正常的有72人，视力不良的有____人。
（3）通过看图和计算，你对六年级学生的视力问题有什么想法和建议？
例4如图所示是某厂甲、乙两个车间各生产600个零件过程中，生产零件的个数与时间的关系图:
（1）从图中可以看出甲、乙两个车间每天生产零件的个数分别为（）。
（2）甲、乙两个车间完成任务时，（）车间用的时间多，所用的时间甲：
乙=（）：
（）。
（3）甲、乙两个车间的工作效率之比是（）。
（4）乙车间生产（）天后赶上甲车间生产零件的个数，甲乙两个车间平均每天大约生产零件（）个。
例5A、B两地相距24千米，妹妹7点钟从A地出发走向B地，哥哥九点钟骑自行车出发去B地。
（1）妹妹休息前的时速和休息后的时速各是多少？
（2）哥哥的时速是多少？
（3）哥哥在什么地点、什么时间遇见了妹妹？
（4）哥哥到了B地，妹妹离B地还有多少路程？
例6小王从县城出发，骑自行车到A村投递邮件，途中遇到县城中学的学生李明从A村步行返校。
小王在A村完成投递工作后，返回县城途中又遇到李明，便用自行车载上李明，一起到达县城，结果小王比预计时间晚到1分钟。
二人与县城间的距离s（千米）和小王从县城出发后所用的时间t（分）之间的关系如图所示，假设二人之间交流的时间忽略不计，求：
（1）小王和李明第一次相遇时，距县城多少千米处？
（2）小王从县城到A村到返回县城所用的时间是多少？
（3）李明从A村到县城用了多长时间？
数学大师希尔伯特曾讲：
“在讨论数学问题时，我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用，我们寻找一个答案而未能成功的原因在于这样的事实，即有一些比手头的问题更简单、更容易的问题没有完全解决，这一切都有赖于找出这些比较容易的问题，并用尽可能完善的方法和能够推广的概念来解决他们。
”由此可见，当我们遇到带有一般性问题的题目感到束手无策时，采用特殊化策略就是一个比较好的选择。
对于一个一般性问题，如果觉得难以入手，我们可以从它的某些特殊情况获得解题途径，这种方法称为特殊化。
之所以对问题的特殊情况进行研究：
一是因为研究特殊情况比研究一般情况容易；二是因为特殊情况可以推广到一般情况。
所以对特殊情况的研究常常能够揭示问题的结论或启发解决问题的思路，它是探索问题的一种重要策略。
例1数学兴趣小组的同学在一次测试中，平均分是70分，其中
的同学及格，他们的平均成绩是80分。
不及格的同学的平均分是多少？
例2甲管注水速度是乙管注水速度的1.5倍，同时开放甲、乙两个水管向游泳池注水，12小时可注满。
现在先开甲管向游泳池注水若干小时，剩下的由乙管注9小时可将游泳池注满，问：
甲管注水时间是多长？
例3足球比赛门票15元一张，降价后观众增加一倍，收入增加了
，门票现价多少元？
例4某水果店到苹果产地去收购苹果，收购价为每千克1.20元，从产地到商店400千米，每吨每千米运费1.5元，如果在运输及销售过程中损耗了10%，商店想实现25%的利润率，每千克售价应是几元？
例5如图所示，平行四边形ABCD的面积为64
，E、F分别为AB、AD的中点，求△CEF的面积。
例6黑板上写着1至2010，共2010个自然数，小明每次擦去两个奇偶性相同的数，再写上它们的平均数，最后黑板上只剩一个自然数，这个数可能的最大值是______、最小值是_______？
例7一辆汽车从甲地开往乙地，前一半时间的行驶速度是50千米／时，后一半时间的行驶速度是40千米／时，那么行前一半路程和行后一半路程的时间之比是多少？
例8森林中，猎狗发现前方20米处有一只奔跑的野兔，立即追赶上，猎狗步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步；但兔子动作快，猎狗跑2步的时间，兔子却能跑3步，猎狗跑出多远才能追上野兔？
几何图形千变万化，是中小学数学基础知识的一个重要方面。
解决这类题目不仅要有扎实的基础知识（即概念要清晰，公式要记准），而且要有敏锐的观察力以及活跃的思考能力，同时要具备空间想象力，能动手操作。
因此，图形问题是重点中学入学题中的重要内容。
这一讲主要讲解一些基本的操作方法，例如折叠、平移、旋转等。
例1如图1所示，三角形ABC是等腰三角形。
AC=6厘米，E是AC的中点。
求阴影部分的面积。
例2如图，求图中阴影部分的面积（单位：
厘米）。
例3如图，正方形边长为6，求阴影部分面积。
例4如图，求阴影部分面积。
例5如图，求阴影部分的面积。
例6如图，圆的半径是2厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？
例7如图，一张斜边为22厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边为36厘米的蓝色直角三角形纸片，一张黄色正方形纸片，拼成一个直角三角形，红、蓝两个三角形纸片的面积之和为___________平方厘米。
例8如图，求阴影部分的面积（单位：
厘米）。
例9如图，大正方形的边长是10厘米，小正方形的边长是5厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？
例10如图，三个圆的半径都是5厘米，三个圆两两相交于圆心，求阴影部分的总面积。
（保留π）
例1有一片牧场长满牧草，牧草每天均匀增长。
这片牧场可供27头牛吃6天；可供21头牛吃9天。
如果养牛18头，那么几天能把牧场上的草吃尽？
例2一片牧草，每天生长的速度相同。
现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者可供80只羊吃12天，如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量。
那么多少头牛6天可以吃完？
例3有一片牧场，草每天都匀速生长，如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草。
（1）要使牧草永远吃不完，最多可放多少头牛？
（2）多少头牛12天可以吃完？
例4一水池有一根进水管，有若干根相同的抽水管。
进水管不间断地进水，若用24根抽水管抽水，6小时可把池中的水抽干；若用21根抽水管抽水，8小时可将池中的水抽干。
那么用16根抽水管，几小时可将水池中的水抽干？
例5火车站的检票口，在检票开始前已有一些人排队，检票开始后每分钟有10人前来排队检票，一个检票口每分钟能让25人通过检票进站。
如果只有一个检票口，检票开始16分钟后就没有人排队；如果有两个检票口，那么检票开始后几分钟就没有人排队检票？
例6因天气转冷，牧场上的草以固定速度减少。
已知牧场上的草可供33头牛吃5天，或可供24头牛吃6天。
照此计算，这个牧场上的草可供多少头牛吃10天？
一、填空图形问题
（一）
几何图形千变万化，是中小学数学基础知识的一个重要方面。
解决这类题目不仅要有扎实的基础知识（即概念要清晰，公式要记准），而且要有敏锐的观察力以及活跃的思考能力，同时要具备空间想象力，能动手操作。
因此，图形问题是重点中学入学题中的重要内容。
这一讲主要讲解一些基本的操作方法，例如折叠、平移、旋转等。
例1如图1所示，三角形ABC是等腰三角形。
AC=6厘米，E是AC的中点。
求阴影部分的面积。
例2如图，求图中阴影部分的面积（单位：
厘米）。
例3如图，正方形边长为6，求阴影部分面积。
例4如图，求阴影部分面积。
例5如图，求阴影部分的面积。
例6如图，圆的半径是2厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？
例7如图，一张斜边为22厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边为36厘米的蓝色直角三角形纸片，一张黄色正方形纸片，拼成一个直角三角形，红、蓝两个三角形纸片的面积之和为___________平方厘米。
例8如图，求阴影部分的面积（单位：
厘米）。
例9如图，大正方形的边长是10厘米，小正方形的边长是5厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？
例10如图，三个圆的半径都是5厘米，三个圆两两相交于圆心，求阴影部分的总面积。
（保留π）
1.为了表示相反意义的量，可以用（）和（）两种数来区分。
2.在2.5，+3，
，-4.5，-8，0，36，1.2，
中，自然数有（），小数有（），正数有（），负数有（），分数有（）；这其中最小的数是（），最大的数是（）。
3.
读作（），+0.87读作（）。
4.在数轴上，从左到右的顺序就是数从（）到（）的顺序。
所有的正数都在0的（）边，也就是说正数都比0（），而负数都比0（），正数都比负数（）。
5.最大的负整数是（），最小的正整数是（）。
6.在数轴上与0点相距5个单位长度的点表示的数是（）。
7.如果高于海平面196米，记作+196米，那么低于海平面210米，记作（）。
8.如果向东走5米，记作+5米，那么向西走8米，记作（），（）米表示起点。
9.冬天，小明家开着暖气取暖，已知室内温度是12℃，室外温度是﹣5℃，那么室内温度比室外温度高（）℃。
10.如果把存入银行的钱数记作正数，那么从银行取出的钱数就用（）数表示，妈妈三月份存入银行500元，记作（），四月份从银行取出200元，可以记作（）。
11.表示﹣0.5的点是（），表示﹢1.5的点是（），表示﹣5.5的点是（），B点表示的数是（），E点表示的数是（）。
12.在数轴上标出表示-3、-0.5、1.25、2的四个数的点，离0最近的数是（），其中最大的数是（），最小的数是（）。
二、判断题
1.正数不一定比负数大。
（）
2.+15读作加15，﹣15读作减15。
（）
3.0℃表示没有温度。
（）
4.+4可以写作4，但﹣4不可以写成4。
（）
5.负数和自然数一样，数越大，这个数就大。
（）
6.分数和小数都没有负数，只有整数有正数或负数。
（）
7.如果向西走记为负数，那么向南走记为正数。
（）
8.0、0.3、﹢0.15、1.5、﹢7、11这些数都是正数。
（）
9.﹣1和﹢1相差1。
（）
三、选择题
1.下面各数中，正数有（）个，负数有（）个。
9、+5、﹣2、﹣108、0、+72、﹣39、﹣17、+18、20
A.5B.6C.4D.3
2.如图，
下列关系式正确的是（）
A.B＞C＞0＞AB.A＞B＞C＞0
C.B＞0＞A＞CD.A＞C＞B＞0
3.若a与﹣8是两个相反意义的数，那么a等于（）
A.﹣8B.8C.
D.
4.如果向南行规定为正，向北行为负，那么-200千米表示（）
A.向北行﹣200千米B.向南行200千米
C.向北行200千米D.向南行﹢200千米
5.字母可以表示数，如果a表示正数，那么﹣a表示（）
A.正数B.负数C.0
6．比3小比﹣3大的整数有（）个。
A.5B.4C.6
7．甲地的海拔高度是﹢100米，乙地的海拔高度是﹣50米，甲、乙两地高度差（）米。
A.50B.100C.150
8．一天，郑州的凌晨温度是﹣1℃，中午比凌晨温度上升了3℃，中午气温是（）
A.﹢3℃B.﹢2℃C.﹣3℃D﹢4℃
四、解决问题
1．下表记录的是上一周小丽每天做作业用的时间
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
平均时间
40分
25分
30分
15分
40分
①小丽平均每天做作业用多长时间？
②如果把每天做作业的平均时间作为标准，超过平均时间的用正数表示，不足平均时间的用负数表示，请把下表填写完整。
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
平均时间
2．数轴上三个点A、B、C分别表示﹣3,0,2，如下图：
①将A点向右移动6个单位长度后，三个点表示的数哪个最大？
是多少？
②将C点向左移动4个单位长度后，这时，C点表示的数是多少？
③怎样移动A、B、C中的两点，才能使三个点表示的数相同？
有几种方法？
3．有20筐萝卜，以每筐24千克为标准，超过或不足的千克数分别记录如下：
与标准质量的差值（单位：
千克）
﹣3
1
0
2.5
﹣2
﹣1.5
筐数
1
2
3
8
4
2
（1）20筐萝卜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？
（2）与标准重量比较，20筐萝卜总计超过或不足多少千克？
（3）若萝卜每千克售价2.7元，出售这20筐萝卜可以卖多少元？
一、填空
1.为了表示相反意义的量，可以用（）和（）两种数来区分。
2.在2.5，+3，
，-4.5，-8，0，36，1.2，
中，自然数有（），小数有（），正数有（），负数有（），分数有（）；这其中最小的数是（），最大的数是（）。
3.
读作（），+0.87读作（）。
4.在数轴上，从左到右的顺序就是数从（）到（）的顺序。
所有的正数都在0的（）边，也就是说正数都比0（），而负数都比0（），正数都比负数（）。
5.最大的负整数是（），最小的正整数是（）。
6.在数轴上与0点相距5个单位长度的点表示的数是（）。
7.如果高于海平面196米，记作+196米，那么低于海平面210米，记作（）。
8.如果向东走5米，记作+5米，那么向西走8米，记作（），（）米表示起点。
9.冬天，小明家开着暖气取暖，已知室内温度是12℃，室外温度是﹣5℃，那么室内温度比室外温度高（）℃。
10.如果把存入银行的钱数记作正数，那么从银行取出的钱数就用（）数表示，妈妈三月份存入银行500元，记作（），四月份从银行取出200元，可以记作（）。
11.表示﹣0.5的点是（），表示﹢1.5的点是（），表示﹣5.5的点是（），B点表示的数是（），E点表示的数是（）。
12.在数轴上标出表示-3、-0.5、1.25、2的四个数的点，离0最近的数是（），其中最大的数是（），最小的数是（）。
二、判断题
1.正数不一定比负数大。
（）
2.+15读作加15，﹣15读作减15。
（）
3.0℃表示没有温度。
（）
4.+4可以写作4，但﹣4不可以写成4。
（）
5.负数和自然数一样，数越大，这个数就大。
（）
6.分数和小数都没有负数，只有整数有正数或负数。
（）
7.如果向西走记为负数，那么向南走记为正数。
（）
8.0、0.3、﹢0.15、1.5、﹢7、11这些数都是正数。
（）
9.﹣1和﹢1相差1。
（）
三、选择题
1.下面各数中，正数有（）个，负数有（）个。
9、+5、﹣2、﹣108、0、+72、﹣39、﹣17、+18、20
A.5B.6C.4D.3
2.如图，
下列关系式正确的是（）
A.B＞C＞0＞AB.A＞B＞C＞0
C.B＞0＞A＞CD.A＞C＞B＞0
3.若a与﹣8是两个相反意义的数，那么a等于（）
A.﹣8B.8C.
D.
4.如果向南行规定为正，向北行为负，那么-200千米表示（）
A.向北行﹣200千米B.向南行200千米
C.向北行200千米D.向南行﹢200千米
5.字母可以表示数，如果a表示正数，那么﹣a表示（）
A.正数B.负数C.0
6．比3小比﹣3大的整数有（）个。
A.5B.4C.6
7．甲地的海拔高度是﹢100米，乙地的海拔高度是﹣50米，甲、乙两地高度差（）米。
A.50B.100C.150
8．一天，郑州的凌晨温度是﹣1℃，中午比凌晨温度上升了3℃，中午气温是（）
A.﹢3℃B.﹢2℃C.﹣3℃D﹢4℃
四、解决问题
1．下表记录的是上一周小丽每天做作业用的时间
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
平均时间
40分
25分
30分
15分
40分
①小丽平均每天做作业用多长时间？
②如果把每天做作业的平均时间作为标准，超过平均时间的用正数表示，不足平均时间的用负数表示，请把下表填写完整。
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
平均时间
2．数轴上三个点A、B、C分别表示﹣3,0,2，如下图：
①将A点向右移动6个单位长度后，三个点表示的数哪个最大？
是多少？
②将C点向左移动4个单位长度后，这时，C点表示的数是多少？
③怎样移动A、B、C中的两点，才能使三个点表示的数相同？
有几种方法？
3．有20筐萝卜，以每筐24千克为标准，超过或不足的千克数分别记录如下：
与标准质量的差值（单位：
千克）
﹣3
1
0
2.5
﹣2
﹣1.5
筐数
1
2
3
8
4
2
（1）20筐萝卜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？
（2）与标准重量比较，20筐萝卜总计超过或不足多少千克？
（3）若萝卜每千克售价2.7元，出售这20筐萝卜可以卖多少元？
“极端化”指从问题的最大值、最小值、中间值或特殊值，或问题的某一个特殊情况，或将运动变化的问题固定在特殊点上等极端化处理、这样容易找出突破口，确定范围，更易沟通常规思路与特殊思路。
极端化策略在进行某些数学过程的分析时，具有独特作用，恰当应用极端性原则能提高解题效率，使问题化难为易，化繁为简，思路灵活，从而达到事半功倍的效果。
一、典型例题分析
例1一副扑克牌共有54张（包括大王、小王），至少从中取______张牌，才能保证其中必有3种花色。
例2如图，在腰长为10cm，面积为34cm²的等腰三角形的底边任意取一点，设这个点到两腰的垂直线段分别长acm、bcm，那么（a＋b）的长度是多少？
例3老师在黑板上写了13个自然数，让小明计算平均值（保留一位小数）。
小明计算的得数是26.9，如果让小明计算的平均值保留两位小数应该是多少？
例4小明2000年的年龄恰好等于他出生那年的年份的各位数字之和，他2000年多少岁？
例5五位数
能被3，7和11整除，则A是B的几分之几？
例6某校有55个同学参加数学竞赛，已知若将参赛者任意分成四组，则必然有一组的女生多于2人，又知参赛者任意10人中必有男生，则参赛男生的人数为__________人。
例7从l、3、5、7、…、97、99中最多可以选出________个数，使得它们当中的每一个数都不是另一个数的倍数。
例8如图7所示，P以长方形ABCD的对角线BD上任意一点，M为线段PC的中点，如果三角形
的面积是
，则三角形
的面积是多少？
【知识要点】
基本概念：
鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就
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