动态规划例1求解下列整数规划的最优解.docx
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动态规划例1求解下列整数规划的最优解
例1求解卜列整数规划的最优解：
maxZ4x15x26x3
3xi4X25x3<10c4-
S.t
Xj>0j1,2,3,Xj为整效
解
（1）建立动态规划模型：
阶段变量：
将给每一个变量Xj赋值看成一个阶段，划分为3个阶段，且阶段变量k=1,2,3.
设状态变量Sk表示从第k阶段到第3阶段约束右端最大值，则Sj10.
设决策变量Xk表示第k阶段赋给变量Xk的值（k1,2,3）.
状态转移方程：
S2&3X1,S3S24X2.
阶段指标：
u1（S!
X1）4x1,u2（s2,x2）5x2,u3（s3,x3）6x3.
基本方程;
其中a〔3,a24,a35.
（1）用逆序法求解：
当k3时，
f3S3max6x3f4s4max6x3
s3S3
0玄X—0玄X3玄一
55
x30；当&5,6,7,8,9时，x3可取0或1;当S310时，x3可取0,1,2,由此确定f3S3
现将有关数据列入表4.1中表4.1中.
L
6X3fqS）
f3（S3）
*
X3
0
1
2
0
0
0
0
1
0
0
0
2
0
0
0
3
0
0
0
4
0
0
0
5
0
6
6
1
6
0
6
6
1
7
0
6
6
1
8
0
6
6
1
9
0
6
6
1
10
0
6
12
12
2
当k2时，有
而S20,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10。
所以当S20,1,2,3时，x?
0;当s4,5,6,7时,
x20或1;当S28,9,10时x20,1,2。
由此确定f2S2。
现将有关数据列入表4.2中.
表4.2
X
S2
5x2f3（S24x2）
f3（S3）
*
x3
S3
0
1
2
0
0+0
0
0
0
1
0+0
0
0
1
2
0+0
0
0
2
3
0+0
0
0
3
4
0+0
5+0
5
1
0
5
0+6
5+0
6
0
5
6
0+6
5+0
6
0
6
7
0+6
5+0
6
0
7
8
0+6
5+0
10+0
10
2
0
9
0+6
5+6
10+0
11
1
5
10
0+12
5+6
10+0
12
0
10
当k1时，有
而§10,故x1只能取0,1,2,3，由此确定f1§。
现将有关数据列入表4.3中。
表4.3
4x1f2s3x1
f1Si
*
*
S2
\0
1
2
3
10
0+12
4+6
8+5
12+0
13
2
4
按计算顺序反推，由表4.3可知，当
x12时,f1（S1）取得最大值13.又由s24查表4.2得x21,及
S30,再由表4.1查得x30因此，最优解为
x32,x31,x30,最优解maxZ13.
例5用动态规划方法解下列非线性规划问题
2
maxzx1x2x3x1x2x3cxi0i1,2,3
解：
解决这一类静态规划问题，需要人为地赋予时间概念，从而将该问题
转化为多阶段决策过程。
按问题的变量个数划分阶段，把它看作一个三阶段决策问题，k=1,2,3
设状态变量为S1,&,S3,S4并记S1取问题中的变量x1,x2,x3为决策变量
状态转移方程为：
S3=x3S3+x2=S2S2+x1=S1允许决策集合为：
x3=S30各阶段指标函数为：
V1（x1）=x1V2（x2）=x2V3（x3）=x3,各指标函
fk（Sk）
数以乘积方式结合，最优指标函数fk（Sk）表示从第k阶段初始状态Sk出发到第3阶段所得到的最大值，则动态规划基本方程为：
xjmaxjvkg）fkg1）]k,2,,1
f4（S4）1
用逆序解法由后向前依次求解:
k=3时,
f3（S3）盎"3*f4（S4）]
max（x3）
^3S3
S3
*
x3=S3
k=2时，
2、「2
f2（S2）maxJv2（x2）f3（S3）]max（x2S3）max[x2（S2x?
）]
xD2（S2）0x2S20x2S2
所以x22S2是极大值点
3
f2（S2）
N、2,243
（S2）（S2巳）草S2
3327
*2
X2S2
3
k=1时,
fi（Si）
maX[vi（Xi）f2（S2）]maX（x1
XDi（S）0XiS
—s2）maX[Xi
270Xis
"27（SiXi）3]
人…、4、3
令hi（S,,Xi）Xi——（SiXi）
27
dhidX
43
万（SXi）
i2,、2_、
为护耳xi）（i）
解得:
Xi
d2hi
dX2
〔2,—（§
27
Xi）2（
1）
i2‘、2
27（SiXi）
24,
—Xi（§
27
Xi）
24/
——（Si
27
Xi）（2xi&）
d2'
dX2
Xi
-9S20
27
一.i
所以Xi4Si是极大值点
i3i4
Si）Si
464
i4
fi（s）S—（s
427
由丁Si未知，所以对s再求极值,
*
Xi
i
;Si
…、，i4、
maXf-i（s〔）maX（—s）
0sc0Sic64
显然Si=c时，fi（si）取得最大值
fi（Si）
i——c64
*
1
1
i4
Si=c
Xi
si
-c
fi（S）
一c
4
4
64
*
3
*
2
1
43
i3
S2S-I
Xi
-c
X2
匚S2
-c
f2（S2）
cS2
一c
4
3
2
27
i6
*
1
*
1
1
S3S2
X2
_c
X3
S3
_c
f3（S3）
S3
c
4
4
4
反向追踪得各阶段最优决策及最优值:
*
*
4
所以最优解为:
*
Xi
i
C,X24
i一c
64
1*i
—c,X3c,z
24
例6用动态规划方法解下列非线性规划问题
maXz
2
Xi
X2
3
X3
Xi
X2
X3
6
Xj
0
j
i,2,3
解：
按变量个数将原问题分为三个阶段，阶段变量k=1,2,3;
选择Xk为决策变量；
状态变量Sk表示第k阶段至第3阶段决策变量之和；
取小区间长度△=〔，小区间数目m=6/1=6，状态变量Sk的取值点为：
Sk0,1,2,3,4,5,6k2
Si6
状态转移方程：
Sk+1=$—Xk；
允许决策集合：
Dk（Sk）={Xk|0X<,Sk均在分割点上取值；
阶段指标函数分别为：
g〔（X1）=X12g2（X2）=X2g3（X3）=X33,
最优指标函数fk（sQ表小从第k阶段状态$出发到第3阶段所得到的最大值，动态规划的基本方程为：
fk（Sk）maX[gk（Xk）fk1（Sk1）]k3,2,1
0XkSk
f4（S4）1
k=3时，
f3（s3）丁弩（©s3
S3及X3取值点较多，计算结果以表格形式给出，见表6.1-6.3所示。
表6.1计算结果
S3\
X3
f3（S3）
*
X3
0
1
2
3
4
5
6
0
0
0
0
1
1
1
1
2
8
8
2
3
27
27
3
4
64
64
4
5
125
125
5
6
216
216
6
表6.2计算结果
0
0
0
0
1
0
1X0
0
0,1
2
0
1X1
2X0
1
1
3
0
1X8
2X1
3X0
8
1
4
0
1X27
2X8
3X1
4X0
27
1
5
0
1X64
2X27
3X8
4X1
5X0
64
1
6
0
1乂125
2X64
3X27
4X8
5X1
6X0
128
2
表6.3计算结果
Xi
2「，一、
f2（Si—Xi）
fi（Si）
*
Xi
S\
0
1
2
3
4
5
6
6
0
1X64
4X27
9x8
16xi
25X0
36X0
108
2
由表6.3知，xi=2,si=6，贝US2=si-xi=6—2=4,查表6.2得：
X2=1,则
S3=S2—X2=4—1=3,查表6.1得：
X3=3,所以最优解为：
Xi=2,X2=1,X3=3,fi（Si）=108。
上面讨论的问题仅有一个约束条件。
对具有多个约束条件的问题，同样可以
用动态规划方法求解，但这时是一个多维动态规划问题，解法上比较繁琐一些。
例7某公司打算在3个不同的地区设置4个销售点，根据市场部门估计，
在不同地区设置不同数量的销售点每月可得到的利润如表6.4所示。
试问在各地区如何设置销售点可使每月总利润最大。
表6.4利润值
地区
销售点
0
1
2
3
4
1
0
16
25
30
32
2
0
12
17
21
22
3
0
10
14
16
17
解：
如前所述，建立动态规划数学模型：
将问题分为3个阶段,k=1,2,3;
决策变量Xk表示分配给第k个地区的销售点数；
状态变量为$表示分配给第k个至第3个地区的销售点总数；
状态转移方程：
Sk+1=&—Xk,其中Si=4;
允许决策集合：
Dk（Sk）={Xk|0阶段指标函数：
gk（Xk）表示Xk个销售点分配给第k个地区所获得的利润；
最优指标函数fk（Sk）表示将数量为■的销售点分配给第k个至第3个地区
所得到的最大利润，动态规划基本方程为：
fk（Sk）max[gk（xk）fk1（skxk）]k3,2,1
0XkSk
f4（S4）0
数值计算如表所示。
表6.5k=3时计算结果
S3\
g3O）
f3⑶
*
x3
0
1
2
3
4
0
0
0
0
1
10
10
1
2
14
14
2
3
16
16
3
4
17
17
4
表6.6k=2时计算结果
X?
S2X
g2（x2）+f3（S2—x2）
f2（&）
*
x2
0
1
2
3
4
0
0
0
0
1
0+10
12+0
12
1
2
0+14
12+10
17+0
22
1
3
0+16
12+14
17+10
21+0
27
2
4
0+17
12+16
17+14
21+10
22+0
31
2,3
表6.7k=1时计算结果
g1（x）+f2（S1—xi）
*
xi
s\
0
1
2
3
4
4
0+31
16+27
25+22
30+12
32+0
47
2
所以最优解为：
xi=2,x2=1,x3=1,f〔（4）=47，即在第1个地区设置2个销售点，第2个地区设置1个销售点，第3个地区设置1个销售点，每月可获利润47。
例9（生广一库存I可题）
某工厂要对一种产品制定今后四个时期的生产计划，据估计在今后四个时期内，市场对该产品的需求量分别为2,3,2,4单位，假设每批产品固定成本为
3千元，若不生产为0,每单位产品成本为1千元，每个时期最大生产能力不超过6个单位，每期期末未出售产品，每单位需付存贮费0.5千元，假定第1期初
和第4期末库存量均为0,问该厂如何安排生产与库存，可在满足市场需求的前提下总成本最小。
解：
以每个时期作为一个阶段，该问题分为4个阶段，k=1,2,3,4;
决策变量xk表小第k阶段生产的产品数；
状态变量sk表示第k阶段初的库存量；
以dk表示第k阶段的需求，则状态转移方程：
sk+i=$+xk—dk；k=4,3,2,1由丁期初及期末库存为0,所以Sl=0,S5=0；
允许决策集合Dk（Sk）的确定：
当s<>dk时，xk可以为0,当$量，djSk,所以为的上限为min（djSk,6）,故有：
4
Dk（s<）={xk|max（0,dk—s<）阶段指标函数rk（s%xk）表示第k期的生产费用与存贮费用之和：
最优指标函数fk（Sk）表小第k期库存为Sk到第4期末的生广与存贮最低费用，动态规划基本方程为：
fk（Sk）min、[「k（Sk,xk）fk1（Sk1）]k4,3,2,1
xkDk（sk）
f5（S5）0
先求出各状态允许状态集合及允许决策集合，如表6.8所示。
表6.8状态允许状态集合及允许决策集合
S1
0
D1（S
1）
{2,3,4,5,6
}
S2
0
1
2
3
4
D2（s
2）
{3,4,5,6}
{2,3,4,5,6
}
{123,4,5,
6}
{0,1,2,3,4,5,
6}
{0,123,4,
5}
S3
0
1
2
3
4
5
6
D3（S
3）
{2,3,4,5,6
}
{123,4,5
}
{0,1,2,3,4}
{0,1,2,3}
{0,1,2}
{0,1
}
{0}
S4
0
1
2
3
4
D4（s
{4}
{3}
{2}
{1}
{0}
由基本方程计算各阶段策略，结果如下表所示。
表6.9k=4时计算结果
S4
x4
0.5&
3x4
X40.5s4x4
0
0
S5
f5（S5）
f4（S）
—
0
4
7
0
0
7
1
*
3
6.5
0
0
*
6.5
2
*
2
6
0
0
*
6
3
*
1
5.5
0
0
*
5.5
4
*
0
2
0
0
*
2
表6.10k=3时计算结果
0.5S3X30
S3
X3
「3（&飞3）八clc
S4=$+乂3—2
f4（S4）
f3（S3）
3x30.5S3x30
2
5
0
7
12
3
6
1
6.5
12.5
0
4
7
2
6
13
5
8
3
5.5
13.5
*
6
9
4
2
*
11
1
4.5
0
7
11.5
2
5.5
1
6.5
12
1
3
6.5
2
6
12.5
4
7.5
3
5.5
13
*
5
8.5
4
2
*
10.5
*
0
1
0
7
*
8
1
5
1
6.5
11.5
2
2
6
2
6
12
3
7
3
5.5
12.5
4
8
4
2
10
—*—
0
1.5
1
6.5
—*—
8
Q
1
5.5
2
6
11.5
3
2
6.5
3
5.5
12
3
7.5
4
2
9.5
*
0
2
2
6
8*
4
1
6
3
5.5
11.5
2
7
4
2
9
*
0
2.5
3
5.5
*
8
5
1
6.5
4
2
8.5
6
*
0
3
4
2
*
5
表6.11k=2时计算结果
0.5S2x20
S2
X2
「2（3飞2）小clc
S3=S2+x2-3
f3（&）
f2（&）
3x20.5s2x20
3
6
0
11
17
4
7
1
10.5
17.5
0
*
*
5
8
2
8
16
6
9
3
8
17
2
5.5
0
11
16.5
3
6.5
1
10.5
17
1
*
4
7.5
2
8
*
15.5
5
8.5
3
8
16.5
6
9.5
4
8
17.5
1
5
0
11
16
2
6
1
10.5
16.5
*
3
7
2
8
*
15
2
4
8
3
8
16
5
9
4
8
17
6
10
5
8
18
*
0
1.5
0
11
*
12.5
1
5.5
1
10.5
16
2
6.5
2
8
14.5
3
3
7.5
3
8
15.5
4
8.5
4
8
16.5
5
9.5
5
8
17.5
6
10.5
6
5
15.5
*
0
2
1
10.5
*
12.5
1
6
2
8
14
2
7
3
8
15
4
3
8
4
8
16
4
9
5
8
17
5
10
6
5
15
表6.12k=1时计算结果
S1
X1
0.5§X10
「1（§，X1）CCLC
3X10.5s1X10
S2=X-2
f2（S2）
f1（S1）
0
2
3
4
*
5
6
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
16
15.5
15
12.5
12.5
21
21.5
22
*
20.5
21.5
逆向追踪可得：
xi=5,S2=3,X2=0,S3=0,X3=6,S4=4,X4=0，即第1时期生产5个单位，第3时期生产6个单位，第2,4时期不生产，可使总费用最小，最小费用为20.5千元。
例10（库存一销售问题）
设某公司计划在1至4月份从事某种商品经营。
已知仓库最多可存储600
件这种商品，已知1月初存货200件，根据预测知1至4月份各月的单位购货成本及销售价格如表6.13所示，每月只能销售本月初的库存，当月进货供以后各月销售，问如何安排进货量和销售量，使该公司四个月获得利润最大（假设四月底库存为零）。
表6.13单位购货成本及销售价格
月份
购货成本C
销售价格P
1
40
45
2
38
42
3
40
39
4
42
44
解：
按月份划分阶段，k=1,2,3,4;
状态变量Sk表示第k月初的库存量，S1=200,S5=0；
决策变量：
Xk表小第k月售出的货物数量，yk表小第k月购进的货物数量；
状态转移方程：
Sk+1=S<+yk—Xk；
允许决策集合：
0VXk阶段指标函数为：
pkXk—o最优指标函数fk（Sk）表小第k月初库存为$时从第k月至第4月末的最大
利润，则动态规划基本方程为:
fk（Sk）maX[PkXkCkykfk〔（庄1）]k4,3,2,1
0XkSk0yk600（SkX<）
f5（S5）0
k=4时,
**-
X4=S4y4=0
f4（S4）maX（44x442y4）44s4
0X4S40y4600（S4X4）
k=3时,
为求出使44S3—5x3+4y3最大的X3,ya,须求解线性规划问题:
maxz44ss5x34y3
X3&
X3V3600S3
X3,y30
只有两个变重X3,y3,可用图解法也可用单纯形法求解，取得取优解，X3=0,
*
y3=600—S3,f3（S3）=40S3+2400
k=2时，
f2（s2）maX[42x238y2f3（s3
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