全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案.docx
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全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案
一、选择题:
18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.
（1）设函数f（x）在（-∞,+∞）内连续，其中二阶导数f''（x）的图形如图所示，则曲线
y=f（x）的拐点的个数为（）
（A）0（B）1（C）2（D）3
【答案】（C）
【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。
因此，由f''（x）的图形可得，曲线y=f（x）存在两个拐点.故选（C）.
（2）设y=1e2x+（x-1）ex是二阶常系数非齐次线性微分方程y'+ay'+by=cex的一
23
个特解，则（）
（A）a=-3,b=2,c=-1
（B）a=3,b=2,c=-1
（C）a=-3,b=2,c=1
（D）a=3,b=2,c=1
【答案】（A）
【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.
【解析】由题意可知，1e2x、-1ex为二阶常系数齐次微分方程y'+ay'+by=0的解，所以2,1
23
为特征方程r2+ar+b=0的根，从而a=-（1+2）=-，b=1⨯2=2，从而原方程变为
y'-3y'+2y=cex，再将特解y=xex代入得c=-1.故选（A）
∞
（3）若级数∑an条件收敛，则x=
n=1
（A）收敛点，收敛点
（B）收敛点，发散点
（C）发散点，收敛点
（D）发散点，发散点
【答案】（B）
∞
3与x=3依次为幂级数∑na（x-1）的（）
n
n
n=1
【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质.
∞∞∞
【解析】因为∑a条件收敛，即x=2为幂级数∑a（x-1）n的条件收敛点，所以∑a（x-1）n
n
n=1
n
n=1
n
n=1
∞
n
的收敛半径为1，收敛区间为（0,2）.而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故∑na（x-1）n的收敛
n=1
区间还是（0,2）.因而x=
∞
n
3与x=3依次为幂级数∑na（x-1）n的收敛点，发散点.故选（B）.
n=1
（4）设D是第一象限由曲线2xy=1，4xy=1与直线y=x，y=
域，函数f（x,y）在D上连续，则⎰⎰f（x,y）dxdy=
D
3x围成的平面区
（）
（A）
π
3dθ
1
sin2θ
1
f（rcosθ,rsinθ）rdr
42sin2θ
（B）
π
3dθ
1
sin2θ
1
f（rcosθ,rsinθ）rdr
42sin2θ
（C）
π
3dθ
1
sin2θ
1
f（rcosθ,rsinθ）dr
42sin2θ
（D）
π
3dθ
1
sin2θ
1
f（rcosθ,rsinθ）dr
42sin2θ
【答案】（B）
【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分
【解析】先画出D的图形，
x
所以⎰⎰
f（x,y）dxdy=
π
3dθ
1
⎰1
f（rcosθ,rsinθ）rdr，故选（B）
D42sin2θ
⎛111⎫⎛1⎫
（5）设矩阵A=ç12a⎪，b=çd⎪，若集合Ω={1,2}，则线性方程组Ax=b有
ç⎪ç⎪
ç14
a2⎪
çd2⎪
⎝⎭⎝⎭
无穷多解的充分必要条件为（）
（A）a∉Ω,d∉Ω
（B）a∉Ω,d∈Ω
（C）a∈Ω,d∉Ω
（D）a∈Ω,d∈Ω
【答案】D
⎛1111⎫⎛1111⎫
【解析】（A,b）=ç12
ad⎪→ç01
a-1
d-1⎪
ç⎪ç⎪
ç14a2d2⎪ç00（a-1）（a-2）（d-1）（d-2）⎪
⎝⎭⎝⎭，
由r（A）=r（A,b）<3，故a=1或a=2，同时d=1或d=2。
故选（D）
（6）设二次型f（x1,x2,x3）
123
在正交变换为x=Py下的标准形为2y2+y2-y2
，其中
P=（e1,e2,e3）
，若Q=（e1,-e3,e2）
，则f（x1,x2,x3）在正交变换x=Qy下的标准
形为（）
123
（A）2y2-y2+y2
123
（B）2y2+y2-y2
123
（C）2y2-y2-y2
123
（D）2y2+y2+y2
【答案】（A）
【解析】由x=Py，故f
⎛200⎫
ç⎪
123
PTAP=ç010⎪
=xTAx=yT（PTAP）y=2y2+y2-y2.且
ç00-1⎪.
⎝⎭
⎛100⎫
ç⎪
Q=Pç001⎪=PC
ç0-10⎪
⎝⎭
⎛200⎫
QTAQ=CT（PTAP）C=ç0-10⎪
所以f
ç⎪
⎝⎭
ç001⎪
123
=xTAx=yT（QTAQ）y=2y2-y2+y2。
选（A）
（7）若A,B为任意两个随机事件，则（）
（A）
P（AB）≤P（A）P（B）
P（A）+P（B）
（B）
P（AB）≥P（A）P（B）
P（A）+P（B）
（C）
P（AB）≤（D）
2
P（AB）≥
2
【答案】（C）
【解析】由于AB⊂A,AB⊂B，按概率的基本性质，我们有P（AB）≤P（A）且P（AB）≤P（B），
从而P（AB）≤P（A）+P（B），选（C）.
2
（8）设随机变量X,Y不相关，且EX=2,EY=1,DX=3，则E⎡⎣X（X+Y-2）⎤⎦=（）
（A）-3
（B）3（C）-5
（D）5
【答案】（D）
【解析】E[X（X+Y-2）]=E（X2+XY-2X）=E（X2）+E（XY）-2E（X）
=D（X）+E2（X）+E（X）⋅E（Y）-2E（X）
=3+22+2⨯1-2⨯2=5，选（D）.
二、填空题：
914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答．题．纸．指定位置上.
（9）
limlncosx=.
x→0
x2
【答案】-1
2
0
【分析】此题考查
0
型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换.
-sinx
ln（cosx）
【解析】方法一：
limlim
cosx
=lim-tanx=-1.
x→0x2
x→02x
x→02x
2
-1x2
ln（cosx）ln（1+cosx-1）cosx-12
=-1.
x→0x2
x→0x2
x→0x2
x→0x22
π
⎰-π
sinx
1+cosx
（10）2（
2
+
x）dx=.
π2
【答案】
4
【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简.
π⎛sinx+⎫
ππ2
【解析】
2
-2⎝1+cosx
x⎪dx=2
⎭
2xdx=.
04
（11）若函数z=z（x,y）由方程ex+xyz+x+cosx=2确定，则dz（0,1）=.
【答案】-dx
【分析】此题考查隐函数求导.
【解析】令F（x,y,z）=ez+xyz+x+cosx-2，则
xyz
F'（x,y,z）=yz+1-sinx,F'=xz,F'（x,y,z）=ez+xy
又当x=0,y=1时ez=1，即z=0.
∂zFx'（0,1,0）∂z
Fy'（0,1,0）
所以∂x（0,1）=-F'（0,1,0）=-1,∂y
（0,1）=-F'（0,1,0）=0，因而dz（0,1）=-dx.
（12）设Ω是由平面x+y+z=1与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则
⎰⎰⎰（x+2y+3z）dxdydz=.
Ω
1
【答案】
4
【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算.
【解析】由轮换对称性，得
1
⎰⎰⎰（x+2y+3z）dxdydz=6⎰⎰⎰zdxdydz=6⎰0zdz⎰⎰dxdy，
ΩΩDz
其中D为平面z=z截空间区域Ω所得的截面，其面积为1（1-z）2.所以
z2
⎰⎰⎰（x+2y+3z）dxdydz=6⎰⎰⎰zdxdydz=6⎰1z⋅1（1-z）2dz=3⎰1（z3-2z2+z）dz=1.
ΩΩ0204
2
0
0
2
（13）n阶行列式
-1
2
0
2
=.
0
0
2
2
0
0
-1
2
【答案】2n+1-2
【解析】按第一行展开得
20
-12
Dn=
00
00
=2Dn-1
+（-1）n+12（-1）n-1=2D+2
=2（2Dn-2
+2）+2=22D
+22+2=2n+2n-1+
=2n+1-2
（14）设二维随机变量（x,y）服从正态分布N（1,1,0,1,0），则P{XY-Y<0}=.
1
【答案】
2
【解析】由题设知，X~N（1,1）,Y~N（0,1），而且X、Y相互独立，从而
P{XY-Y<0}=P{（X-1）Y<0}=P{X-1>0,Y<0}+P{X-1<0,Y>0}
1111
=P{X>1}P{Y<0}+P{X<1}PY{>0=}⨯+⨯.
2222
三、解答题：
15～23小题,共94分.请将解答写在答．题．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）设函数f（x）=x+aln（1+x）+bxsinx，g（x）=kx3，若f
x→0是等价无穷小，求a,b,k的值.
11
（x）与g（x）在
【答案】a=-1,b=-
k=-.
23
【解析】法一：
原式limx+aln（1+x）+bxsinx=1
⎛x2
x→0
x3
kx3
3⎫⎛x33⎫
x+açx-++o（x）⎪+bxçx-+o（x）⎪
=lim
x→0
⎝23
⎭⎝6
kx3
⎭=1
（1+a）x+⎛b-a⎫x2+ax3-bx4+o（x3）
ç2⎪36
=lim
x→0
⎝⎭=1
kx3
aa
即1+a=0,b-=0,=1
23k
∴a=-1,b=-1,k=-1
23
法二：
limx+aln（1+x）+bxsinx=1
x→0
kx3
1+a+bsinx+bxcosx
=lim1+x=1
x→0
3kx2
因为分子的极限为0，则a=-1
--1+2bcosx-bxsinx
（1+x）2
lim
=1，分子的极限为0，b=-1
x→0
-2
6kx2
-
1
2bsinx-bsinx-bxcosx
=lim
x→0
（1+x）36k
=1，k=-
3
∴a=-1,b=-1,k=-1
23
（16）（本题满分10分）设函数f（x）在定义域I上的导数大于零，若对任意的x0∈I，曲线y=f（x）在点（x0,f（x0））处的切线与直线x=x0及x轴所围成区域的面积恒为4，且f（0）=2，求f（x）的表达式.
【答案】f（x）=
8
4-x.
【解析】设f（x）在点（x0,f（x0））处的切线方程为：
y-f（x0）=f'（x0）（x-x0）,
f（x0）
0
令y=0，得到x=-f'（x
1
）+x0，
1
f（x0）
0
故由题意，2f（x0）⋅（x0-x）=4，即2f（x0）⋅f'（x
）=4，可以转化为一阶微分方程，
即y'
y2
，可分离变量得到通解为：
1=-1
x+C，
8y8
已知y（0）=2，得到C=1，因此1=-1x+1；
2
即f（x）=-x+4.（17）（本题满分10分）
y82
已知函数
f（x,y）=x+y+xy，曲线C：
x2+y2+xy=3，求
f（x,y）在曲
线C上的最大方向导数.
【答案】3
【解析】因为f（x,y）沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.
fx'（x,y）=1+y,fy'（x,y）=1+x，
故gradf（x,y）={1+y,1+x}，模为
此题目转化为对函数g（x,y）=
即为条件极值问题.
，
在约束条件C:
x2+y2+xy=3下的最大值.
为了计算简单，可以转化为对d（x,y）=（1+y）2+（1+x）2在约束条件C:
x2+y2+xy=3下的最大值.
构造函数：
F（x,y,λ）=（1+y）2+（1+x）2+λ（x2+y2+xy-3）
⎧Fx'=2（1+x）+λ（2x+y）=0
⎪F'=2（1+y）+λ（2y+x）=0，得到M（1,1）,M（-1,-1）,M（2,-1）,M（-1,2）.
⎨y1234
⎪F'=x2+y2+xy-3=0
⎩λ
d（M1）=8,d（M2）=0,d（M3）=9,d（M4）=9
所以最大值为
=3.
（18）（本题满分10分）
（I）设函数u（x）,v（x）可导，利用导数定义证明[u（x）v（x）]'
=u'（x）v（x）+u（x）v'（x）
（II）设函数u1（x）,u2（x）,,un（x）可导，f（x）=
式.
u1（x）u2（x）
un（x），写出f（x）的求导公
【解析】（I）[u（x）v（x）]'=limu（x+h）v（x+h）-u（x）v（x）
h→0h
=limu（x+h）v（x+h）-u（x+h）v（x）+u（x+h）v（x）-u（x）v（x）
h→0h
=limu（x+h）v（x+h）-v（x）+limu（x+h）-u（x）v（x）
h→0
hh→0h
=u（x）v'（x）+u'（x）v（x）
（II）由题意得
f'（x）=[u1（x）u2（x）
=u'（x）u（x）
（19）（本题满分10分）
⎧⎪z=2-x2-y2,
已知曲线L的方程为⎨
⎪⎩z=x,
起点为A（0,2,0），终点为B（0,-
2,0），计算
⎰
曲线积分I=（y+z）dx+（z2-x2+y）dy+x2y2dz
L
【答案】π2
⎧x=cosθ
⎪ππ
【解析】由题意假设参数方程⎨y=
2sinθ，θ:
→-
22
⎩
⎪z=cosθ
-
π
⎰π2[-（2sinθ+cosθ）sinθ+2sinθcosθ+（1+sin2θ）sinθ]dθ
2
-
π
=⎰π2-
2
2sin2θ+sinθcosθ+（1+sin2θ）sinθdθ
⎰
π
=222sin2θdθ=π
02
（20）（本题满11分）
设向量组α1,α2,α3为R3的一个基，β=2α+2kα，β=2α，β=α+（k+1）α.
（I）
123
证明向量组βββ为R3的一个基;
11322
313
α,α,α
（II）当k为何值时，存在非0向量ξ在基1
ξ.
【答案】
【解析】（I）证明：
23与基β1β2β3下的坐标相同，并求所有的
（β1,β2,β3）=（2α1+2kα3,2α2,α1+（k+1）α3）
=（α,α,α
⎛201⎫
）ç020⎪
123ç⎪
ç2k0k+1⎪
⎝⎭
201
020
=221
2kk+1
=4≠0
2k0k+1
123
故β,β,β为R3的一个基.
（II）由题意知，
ξ=k1β1+k2β2+k3β3
即
=k1α1+k2α2+k3α3,ξ≠0
k1（β1-α1）+k2（β2-α2）+k3（β3-α3）=0,
ki≠0,i=1,2,3
k1（2α1+2kα3-α1）+k2（2α2-α2）+k3（α1+（k+1）α3-α3）=0
k1（α1+2kα3）+k2（α2）+k3（α1+kα3）=0有非零解
即α1+2kα3,α2,α1+kα3=0
101
即010=0，得k=0
2k0k
k1α1+k2α2+k3α1=0
∴k2=0,k1+k3=0
ξ=k1α1-k1α3,k1≠0
（21）（本题满分11分）
⎛02
-3⎫
⎛1-20⎫
设矩阵A=ç-13-3⎪相似于矩阵B=ç0b0⎪.
ç⎪ç⎪
ç1-2a⎪ç031⎪
⎝⎭⎝⎭
（I）求a,b的值；
（II）求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵..
【解析】（I）
A~B⇒tr（A）=tr（B）⇒3+a=1+b+1
02-31-20
A=B⇒-13-3=0b0
1-2a
031
∴⎧a-b=-1⇒⎧a=4
⎨2a-b=3⎨=5
⎩⎩b
（II）（II）
⎛02
A=ç-13
-3⎫⎛100⎫⎛-12
-3⎪=ç010⎪+ç-12
-3⎫
-3⎪=E+C
ç⎪ç⎪ç⎪
ç1-23⎪ç001⎪ç1-23⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎛-12
C=ç-12
-3⎫⎛-1⎫
-3⎪=ç-1⎪（1
-23）
ç⎪ç⎪
ç1-23⎪ç1⎪
⎝⎭⎝⎭
C的特征值λ1=λ2=0,λ3=4
λ=0时（0E-C）x=0的基础解系为ξ
=（2,1,0）T;ξ
=（-3,0,1）T
12
3
λ=5时（4E-C）x=0的基础解系为ξ=（-1,-1,1）T
A的特征值λA=1+λC:
1,1,5
⎛2-3-1⎫
令P=（ξ,ξ,ξ）=ç10-1⎪，
123
⎛1
∴P-1AP=ç1
ç⎪
⎝⎭
ç011⎪
⎫
⎪
ç⎪
ç5⎪
⎝⎭
⎧⎪2-xln2,x>0,
（22）（本题满分11分）设随机变量X的概率密度为f（x）=⎨
⎪⎩0,
x≤0.
对X进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记Y为观测次数.（I）求Y的概率分布;
（II）求EY
【解析】（I）记p为观测值大于3的概率，则p=P（X>3）=⎰+∞2-xln2dx=1，
从而P{Y=n}=
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