全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案.docx

1、全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1) 设函数 f (x) 在(-, +) 内连续，其中二阶导数 f (x) 的图形如图所示，则曲线y = f (x) 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】（C）【解析】拐点出现在二阶导数等于 0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。因此，由 f (x) 的图形可得，曲线 y = f (x)

2、存在两个拐点.故选（C）.(2) 设 y = 1 e2x + (x - 1)ex 是二阶常系数非齐次线性微分方程 y + ay+ by = cex 的一2 3个特解，则 ( )(A) a = -3,b = 2, c = -1(B) a = 3,b = 2, c = -1(C) a = -3,b = 2, c = 1(D) a = 3,b = 2, c = 1【答案】（A）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题已知解来确定微分方程的系数， 此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示

3、的解法.【解析】由题意可知，1 e2x 、- 1 ex 为二阶常系数齐次微分方程 y + ay + by = 0 的解，所以 2,12 3为特征方程 r2 + ar + b =0 的根，从而 a = -(1 + 2) = - ， b =1 2 = 2 ， 从而原方程变为y - 3y + 2y = cex ，再将特解 y = xex 代入得c = -1.故选（A）(3) 若级数 an 条件收敛，则 x =n=1(A) 收敛点，收敛点(B) 收敛点，发散点(C) 发散点，收敛点(D) 发散点，发散点【答案】（B）3 与 x = 3 依次为幂级数na (x -1) 的 ( )nnn=1【分析】此题考

4、查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质. 【解析】因为 a 条件收敛，即 x = 2 为幂级数a (x -1)n 的条件收敛点，所以a (x -1)nnn=1nn=1nn=1n的收敛半径为 1，收敛区间为(0, 2) .而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故na (x -1)n 的收敛n=1区间还是(0, 2) .因而 x =n3 与 x = 3 依次为幂级数na (x -1)n 的收敛点，发散点.故选（B）.n=1(4) 设 D 是第一象限由曲线2xy = 1， 4xy = 1与直线 y = x ， y =域，函数 f ( x, y) 在 D 上连续，则 f ( x, y) dxdy =D3x

5、 围成的平面区( )(A)3 d1sin 2 1 f (r cos , r sin )rdr4 2sin 2(B)3 d1sin 2 1 f (r cos , r sin )rdr4 2sin 2(C)3 d1sin 2 1 f (r cos , r sin )dr4 2sin 2(D)3 d1sin 2 1 f (r cos , r sin )dr4 2sin 2【答案】（B）【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分【解析】先画出D 的图形，x所以 f (x, y)dxdy =3 d1 1 f (r cos , r sin )rdr ，故选（B）D 4 2sin 21 1 1 1

6、(5) 设矩阵 A = 1 2 a ， b = d ，若集合= 1, 2，则线性方程组 Ax = b 有 1 4a2 d 2 无穷多解的充分必要条件为 ( )(A) a , d (B) a , d (C) a , d (D) a , d 【答案】D1 1 1 1 1 1 1 1 【解析】( A, b) = 1 2a d 0 1a -1d -1 1 4 a2 d 2 0 0 (a -1)(a - 2) (d -1)(d - 2) ，由 r(A) = r(A,b) 3 ，故a = 1或a = 2 ，同时d = 1或d = 2 。故选（D）(6) 设二次型 f ( x1, x2, x3 )1 2 3

7、在正交变换为 x = Py 下的标准形为 2 y2 + y2 - y2，其中P = (e1, e2, e3 )，若Q = (e1, -e3, e2 )，则 f ( x1, x2, x3 ) 在正交变换 x = Qy 下的标准形为 ( )1 2 3(A) 2 y2 - y2 + y21 2 3(B) 2 y2 + y2 - y21 2 3(C) 2 y2 - y2 - y21 2 3(D) 2 y2 + y2 + y2【答案】(A)【解析】由 x = Py ，故 f 2 0 0 1 2 3PT AP = 0 1 0 = xT Ax = yT (PT AP) y = 2y2 + y2 - y2 .

8、且 0 0 -1 . 1 0 0 Q = P 0 0 1 = PC 0 -1 0 2 0 0 QT AQ = CT (PT AP)C = 0 -1 0 所以 f 0 0 1 1 2 3= xT Ax = yT (QT AQ) y = 2y2 - y2 + y2 。选（A）(7) 若A,B 为任意两个随机事件，则 ( )(A)P ( AB) P ( A) P (B)P( A) + P(B)(B)P ( AB) P ( A) P (B)P( A) + P(B)(C)P( AB) (D)2P( AB) 2【答案】(C)【解析】由于 AB A, AB B ，按概率的基本性质，我们有 P(AB) P(A

9、) 且 P(AB) P(B) ，从而 P( AB) P( A) + P(B) ，选(C) .2(8)设随机变量 X ,Y 不相关，且 EX = 2, EY = 1, DX = 3 ，则 E X ( X + Y - 2) = ( )(A) -3(B) 3 (C) -5(D) 5【答案】(D)【解析】 EX (X + Y - 2) = E(X 2 + XY - 2X ) = E(X 2 ) + E(XY ) - 2E(X )= D(X ) + E2 (X ) + E(X ) E(Y ) - 2E(X )= 3 + 22 + 21- 2 2 = 5，选(D) .二、填空题：9 14 小题,每小题 4

10、 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9)lim ln cos x = .x0x2 【答案】- 120【分析】此题考查0型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换.-sin xln(cos x)【解析】方法一： lim limcos x= lim - tan x = - 1 .x0 x2x0 2xx0 2x2- 1 x2ln(cos x) ln(1+ cos x -1) cos x -1 2 = - 1 .x0 x2x0 x2x0 x2x0 x2 2-sin x1+ cos x(10) 2 (2+ x )dx = .2【答案】4【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇

11、偶函数在对称区间上的性质化简. sin x + 2【解析】2- 2 1+ cos xx dx = 22 xdx = .0 4(11) 若函数 z = z(x, y) 由方程ex + xyz + x + cos x = 2 确定，则dz (0,1) = .【答案】-dx【分析】此题考查隐函数求导.【解析】令 F(x, y, z) = ez + xyz + x + cos x - 2 ，则x y zF(x, y, z) = yz +1-sin x, F = xz, F(x, y, z) = ez + xy又当 x = 0, y = 1时ez = 1 ，即 z = 0 .z Fx(0,1, 0) z

12、Fy(0,1, 0)所以x (0,1) = - F(0,1, 0) = -1, y(0,1) = - F(0,1, 0) = 0 ，因而dz (0,1) = -dx.(12) 设 是由平面 x + y + z =1 与 三 个 坐 标 平 面 平 面 所 围 成 的 空 间 区 域 ， 则(x + 2 y + 3z)dxdydz = .1【答案】4【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算.【解析】由轮换对称性，得1(x + 2 y + 3z)dxdydz = 6 zdxdydz = 60 zdz dxdy ， Dz其中 D 为平面 z = z 截空间区域 所

13、得的截面，其面积为 1 (1- z)2 .所以z 2(x + 2 y + 3z)dxdydz = 6 zdxdydz = 61 z 1 (1- z)2 dz = 31 (z3 - 2z2 + z)dz = 1 . 0 2 0 42002(13) n 阶行列式-1202= .002200-12【答案】2n+1 - 2【解析】按第一行展开得2 0-1 2Dn =0 00 0= 2Dn-1+ (-1)n+12(-1)n-1 = 2D + 2= 2(2Dn-2+ 2) + 2 = 22 D+ 22 + 2 = 2n + 2n-1 += 2n+1 - 2(14)设二维随机变量(x, y) 服从正态分布

14、N(1,1,0,1,0) ，则 PXY -Y 0 = .1【答案】2【解析】由题设知， X N(1,1),Y N(0,1) ，而且 X、Y 相互独立，从而PXY -Y 0 = P(X -1)Y 0,Y 0+ PX -1 01 1 1 1= P X 1P Y 0 + P X 0= + .2 2 2 2三、解答题：1523 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分) 设函数 f (x) = x + a ln(1+ x) + bx sin x ，g(x) = kx3 ，若 fx 0 是等价无穷小，求a,b, k 的值.1

15、1(x) 与 g ( x) 在【答案】a = -1,b = -, k = - .2 3【解析】法一：原式lim x + a ln (1+ x) + bx sin x = 1 x2x0x3kx33 x3 3 x + a x - + + o (x ) + bx x - + o (x )= limx0 2 3 6kx3 = 1(1+ a) x + b - a x2 + a x3 - b x4 + o (x3 ) 2 3 6= limx0 = 1kx3a a即1+ a = 0, b - = 0, = 12 3ka = -1, b = - 1 , k = - 12 3法二： lim x + a ln (

16、1+ x) + bx sin x = 1x0kx31+ a + b sin x + bx cos x= lim 1+ x = 1x03kx2因为分子的极限为 0，则a = -1- -1 + 2b cos x - bx sin x(1+ x)2lim= 1，分子的极限为 0， b =- 1x0- 26kx 2- 12b sin x - b sin x - bx cos x= limx0 (1+ x)3 6k= 1， k =- 3a = -1, b = - 1 , k = - 12 3(16)(本题满分 10 分) 设函数 f ( x) 在定义域 I 上的导数大于零，若对任意的 x0 I ，曲线

17、y=f ( x) 在点(x0 , f (x0 )处的切线与直线 x = x0 及 x 轴所围成区域的面积恒为 4，且 f (0) = 2 ，求 f ( x)的表达式.【答案】 f(x) =84 - x .【解析】设 f ( x) 在点(x0 , f ( x0 )处的切线方程为： y - f ( x0 ) = f ( x0 )( x - x0 ),f ( x0 )0令 y = 0 ，得到 x = - f ( x1) + x0 ，1f ( x0 )0故由题意， 2 f ( x0 )( x0 - x) = 4 ，即 2 f ( x0 ) f ( x) = 4 ，可以转化为一阶微分方程，即 yy2，可

18、分离变量得到通解为：1 = - 1x + C ，8 y 8已知 y (0) = 2 ，得到C = 1 ，因此 1 = - 1 x + 1 ；2即 f ( x) = -x + 4 . (17)(本题满分 10 分)y 8 2已知函数f ( x, y) = x + y + xy ，曲线 C： x2 + y2 + xy = 3 ，求f (x ,y ) 在曲线 C 上的最大方向导数.【答案】3【解析】因为 f ( x, y) 沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.fx ( x, y) = 1+ y, fy ( x, y) =1+ x ，故 gradf ( x, y) = 1+ y,1+ x

19、，模为此题目转化为对函数 g ( x, y) =即为条件极值问题.，在约束条件C : x2 + y2 + xy = 3 下的最大值.为了计算简单，可以转化为对d (x, y) = (1+ y)2 + (1+ x)2 在约束条件C : x2 + y2 + xy = 3 下的最大值.构造函数： F ( x, y, ) = (1+ y)2 + (1+ x)2 + (x2 + y2 + xy - 3)Fx = 2(1+ x) + (2x + y ) = 0F = 2(1+ y ) + (2 y + x) = 0 ，得到 M (1,1), M (-1, -1), M (2, -1), M (-1, 2)

20、 . y 1 2 3 4F = x2 + y2 + xy - 3 = 0 d (M1 ) = 8, d (M2 ) = 0, d (M3 ) = 9, d (M4 ) = 9所以最大值为= 3 . (18)(本题满分 10 分)（I） 设函数u(x), v(x) 可导，利用导数定义证明u(x)v(x)= u(x)v(x) + u(x)v(x)（II） 设函数u1 (x), u2 (x), , un ( x) 可导， f(x) =式.u1(x)u2(x)un( x)，写出f(x )的求导公【解析】（I）u(x)v(x) = lim u(x + h)v(x + h) - u(x)v(x)h0 h=

21、 lim u(x + h)v(x + h) - u(x + h)v(x) + u(x + h)v(x) - u(x)v(x)h0 h= lim u(x + h) v(x + h) - v(x) + lim u(x + h) - u(x) v(x)h0h h0 h= u(x)v(x) + u(x)v(x)（II）由题意得f (x) =u1(x)u2 (x)= u (x)u (x)(19)(本题满分 10 分)z = 2 - x2 - y2 ,已知曲线 L 的方程为z = x,起点为 A(0, 2, 0) ，终点为 B (0, -2, 0) ，计算曲线积分 I = （y + z）dx + (z2

22、- x2 + y)dy + x2 y2dzL【答案】 2x = cos 【解析】由题意假设参数方程 y =2 sin ， : - 2 2z = cos- 2 -( 2 sin + cos ) sin + 2sin cos + (1+ sin2 ) sin d2-= 2 -22 sin2 + sin cos + (1+ sin2 ) sin d = 2 2 2 sin2 d = 0 2(20) (本题满 11 分)设向量组 1 , 2 , 3 为R3 的一个基， =2 +2k ， =2 ， = +(k+1) .（I） 1 2 3证明向量组 为R3 的一个基;1 1 3 2 23 1 3 , ,

23、（II） 当 k 为何值时，存在非 0 向量 在基 1 .【答案】【解析】(I)证明：2 3 与基 1 2 3 下的坐标相同，并求所有的(1, 2, 3 ) = (21+2k3, 22,1+(k +1)3 )= ( , , 2 0 1 ) 0 2 0 1 2 3 2k 0 k +1 2 0 10 2 0= 2 2 12k k +1= 4 02k 0 k +11 2 3故 , , 为R3 的一个基.（II）由题意知， = k11 + k2 2 + k33即= k11 + k22 + k33 , 0k1 (1 -1 ) + k2 (2 -2 ) + k3 (3 -3 ) = 0,ki 0,i =

24、1, 2,3k1 (21+2k3 -1 ) + k2 (22 -2 ) + k3 (1+(k +1)3 -3 ) = 0k1 (1+2k3 ) + k2 (2 ) + k3 (1+k3 ) = 0有非零解即 1+2k3,2,1+k3 = 01 0 1即 0 1 0 = 0 ，得 k=02k 0 kk11 + k22 + k31 = 0k2 = 0, k1 + k3 = 0 = k11 - k13, k1 0(21) (本题满分 11 分) 0 2-3 1 -2 0 设矩阵 A = -1 3 -3 相似于矩阵 B= 0 b 0 . 1 -2 a 0 3 1 (I) 求 a, b 的值；（II）求

25、可逆矩阵 P ，使 P-1AP 为对角矩阵.【解析】(I)A B tr(A) = tr(B) 3 + a =1+ b +10 2 -3 1 -2 0A = B -1 3 -3 = 0 b 01 -2 a0 3 1a - b = -1 a = 42a - b = 3 = 5 b(II) (II) 0 2A = -1 3-3 1 0 0 -1 2-3 = 0 1 0 + -1 2-3-3 = E + C 1 -2 3 0 0 1 1 -2 3 -1 2C = -1 2-3 -1-3 = -1(1-2 3) 1 -2 3 1 C 的特征值1 = 2 = 0, 3 = 4 = 0 时(0E - C)x

26、 = 0 的基础解系为= (2,1, 0)T ;= (-3, 0,1)T1 23 = 5时(4E - C)x = 0 的基础解系为 = (-1, -1,1)TA 的特征值A = 1+ C :1,1,5 2 -3 -1令 P = ( , , ) = 1 0 -1，1 2 3 1 P-1AP = 1 0 1 1 5 2-x ln 2, x 0,(22) (本题满分 11 分) 设随机变量 X 的概率密度为 f ( x) = 0,x 0.对 X 进行独立重复的观测,直到 2 个大于 3 的观测值出现的停止.记Y 为观测次数. (I)求Y 的概率分布;(II)求 EY【解析】(I) 记 p 为观测值大于 3 的概率，则 p = P( X 3) = + 2-x ln 2dx = 1 ，从而 PY = n =