等腰三角形常用辅助线专题练习含答案.docx
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等腰三角形常用辅助线专题练习含答案
等腰三角形常用辅助线专题练习
（含答案）
1.如图：
已知，点DE在三角形ABC的边BC上，AB二AC,AD=AE求
证：
BD=CE
证明：
作AF丄BC垂足为F,贝UAF丄DEvAB二ACAD=AE
又•••AF丄BC,AF丄DE二BF=CFDF=EF（等腰三角形底边上的高与底
2.如图，在三角形ABC中，AB=AC,AF平行BC于F,D是AC边上任意一点，延长BA到E,使AE=AD连接DE,试判断直线AF与DE的位置关系，并说明理由
解：
AF丄DE理由：
延长ED交BC于GvAB二ACAE二AD・••/B=ZC,/E=ZADE•••/B+ZE=ZC+ZADEv/ADEWCDG^ZB+ZE=ZC+ZCDGvZB+ZE=ZDGCZC+ZCDGZBGEZBGEZCGD=180/-Z
BGEZCGD=90/EGLBCvAF//BC/AF丄DE
F
解法2:
过A点作△ABC底边上的高,
再用/BACKD+AED==2/ADE,即/CAGMAED证明AG//DE利用AF//
BC证明AF丄DE
3.如图，△ABC中,BA=BC点D是AB延长线上一点，DF丄AC交BC于
E,求证：
△DBE是等腰三角形。
证明：
在厶ABC中，tBA=BC•••/A=MC,vDF丄AC,/-ZC+M
FEC=90,ZA+ZD=90°,/ZFEC=ZDvZFECZBEDBED=
4.如图，△ABC中，AB=AC,E在AC上，且AD=AE,DE的延长线与BC相交于F。
求证：
DF丄BC.
证明：
•••AB=AC•••/B=ZC,又TAD=AED=ZAED
•••/B+ZD=ZC+ZAED•••/B+ZD=ZC+ZCEF
•••/EFC玄BFE=180X1/2=90°,•DF丄BC;
若把“AD=AE，与结论“DF丄BC互换，结论也成立。
若把条件“AB=AC与结论“DF丄BC互换，结论依然成立。
5.如图，AB=AE,BC=ED,ZB=ZE,AM丄CD,A求证：
CM=MD.
证明：
连接AC,AD
•••AB=AEZB=ZE,BC=ED•△ABC^AAED（SAS）
•••AC二AD
•••AMLCD•••/AMCMAMD=90vAM=AM公共边）二RT^AC曜RTA
ADM（HL）
•••CM=DM
6.如图，已知人。
是4ABC的中线，BE交AC于F,且AE=EF求证：
BF=AC证明：
过B点做AC的平行线,交AD的延长线于G点
vAD为中线，•••BD=CDvBG平行于AC/-ZFGB*CAF/DBGMACD在△人卩已和厶GFB中,vZFGBZCAFZGFBZAFEAFE^AGFB
/ZFGBZFAE
vAE=EF/-ZFAE=/AFE
/ZBFGZG/AGFB为等腰三角形，且BF=BG在厶ADC^AGBD中v
ZDBGZACDBD=CDZBDGZCDAADC^AGBD/BG=AC
/BF=AC
7.已知：
如图，△ABC（A申AC）中，DE在BC上，且DE二EC过D点作
DF//BA，交AE于点F,DF=AC,求证：
AE平分/BAC
证明：
延长AE,过D作DM||AC交AE延长线于M/-ZM=Z1,/C二/2在
△CEA中ZM=Z1,ZC=Z2,DE=CEDEMR^CEA/DM=CA
又•••DF=CA/.DM=DF；.ZM=Z3vAB||FD,/・Z3=Z4,/Z4=Z1/AE
平分ZBAC
C线于IW
BD=C（已知）
△DFG^AECG（AAS
DG=GE对应边相等）
E
/DFC*FCE/DGF*CGE（已证）
8.已知：
如图，△ABC中，AB=AC在AB上取一点D,在延长线上取一
B
点E,连接DE交BC于点F,若F是DE中点。
求证：
BD=CE
9.已知：
如图，在厶ABC中，AB二AC二CE,是AD上一点，BE丄CB交CD
于E,AC丄DC,求证：
BE=1/2BC
证明：
过点A作AF丄BC交BC于点F
•••△ABC是等腰三角形，AB=ACZABF=/ACF-
（1）二AF是BC上的
垂直平分线，AF丄BC,BF=CF=BC/2••…
（2）vBE!
BC二BE//AF二
/DBE*BAF（3）v/CBE=90二/DBE+
/ECB（5）由（3）和（5）知道：
/BAF=/ECB又vAB=CE
/BFA=/EBC=90°/•RT△BFA坐RT△EBC（角角边）
10.如图，ABC的角平分线，M为BC的中点，ME/DA交BA延长
线于E,求证：
BE=CF=1/2（AB+AC）
证明：
（1）延长EM使EM=MG连接CG
•••点M是BC的中点，二BM二CM・•/BME^CMG.iABME^ACM（SAS）
•••BE=CG/E=ZG
•••AD平分/BAC,•••/BAD$CADvME//DA,a/BAD*E,/CADhAFE•••/E=ZAFEaAE=AFv/AFE=ZCFG,a/G=ZCFGaCF二CG,aBE=CGaBE=CF
E:
G
（2）vBE=AB+AEa2BE=2AB+2AE
vCF=BEAC=CF+AFAE=AF
a2BE=2CF=AB+（AB+AE）+AE=AB+BE+AE=AB+（CF+AE）/AC=AF+CFa
2BE二AB+ACA.BE=CF=1/2（AB+AC）
■
G
11.如图，已知△ABC中，AD丄BC,/ABC二才C.试说明AB+BD二C的理由证明：
在DC上截取DE=BD连接AEtAD!
BC,二/ADB/ADE=90-AD=ADART^ADB^RT^ADE（SAS）二AB二AE,/ABC/AEB
•••/AEB玄C+/EACABC二/C（已知）二/EAC/C
•••AE=CE,aAB=CEtCD=CE+DE二AB+BD=CD
A
///
/
/1
\
、
、
B5
1
E
c
12.已知：
如图，AD是厶ABC的角平分线，且AC=AB+BD.求证：
/B=2/C.
证明：
在AC上作AE=AB,连结DEtAC二AB+BDAE+CE,二BD=CEtAD是角平分线，•••/BAD=/EAD又tAB二AEAD=ADa^ABD^AEAD•••/B=/AEDBD=DE=CE
•••/EDC/C,/AED=2/C
即:
/B=2/C
13.如图所示，已知在△ABC中AD是/A的平分线，且/B=2/C.求证：
AC二AB+BD.
证明：
延长AB到E,使AC=AE连接DE
•••AD是/BAC的角平分线•••/BADWDAC（角平分线的定义）•••公共
边AD=ADAC=AE^BADWDAC/•△ACD^AAED（SAS）a/ACBWDEA
（全等三角形形的对角相等）
•••/BDE/deb/CBA/CBA=2/ACB/ACB/DEAa/BDE/DEAa
BD=BE（等角对等边）
•••AB+BE=AE,AC=AE,BD=BE
・・ab+bd=ac
14.如图，点E是等边△ABC内一点，且EA=EB,△ABC外一点D满足
BD二AC且BE平分/BDE求/BDE的度数解：
连接CE：
AC=BCAE=BE
CE为公共边，•••△BCE^AACE•••/BCEhACE=30又tBD=AC=BC
/DBEhCBEBE为公共边，BDE^ABCEBDEhBCE=30
15.如图，已知在厶ABC中,AB=BC=CA,是AD上一点，并且EB=BD=DE.
求证：
BD+DC=AD.A
提示：
证明△ABE^ABCD即可EBC
16.已知：
如图，△ABC中，/C=90°,CMLAB于M,AT平分/BAC交
CM于D,交BC于T,过D作DE//AB交BC于E,求证：
CT=BE
证明1:
作DF//BC交AB于F,则:
•••/AFD玄B=ZACD,AT为/BAC的角平分线,AD为公共边/•△AFD^A
ACD,AF二AC连接TFvAF=AC,AT为/BAC的角平分线，AT为公共边二
△ACT^AAFT,TF丄AF,TF//CMvDF//CT//BE,TF//CD,DE/BF二四边形CTFD和四边形BEDF都是平行四边形二CT=DF=BE
证明2:
作TF丄AB于F,则:
CDT*ADM=90-/DAM=90-/DAC二/CTD•••/CDT之CTD,二CT=CDtAT为/BAC的角平分线，TF丄AB,
AC丄TC•••CT=TF=CDvDE//BF,TF//CD,二/DEC/B,/DCE/FTB又•••TF二CD•••△CDE^ATFB,/•CE=BTaCE-TE=BT-TE,CT=BE
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