等腰三角形常用辅助线专题练习含答案.docx

1、等腰三角形常用辅助线专题练习含答案等腰三角形常用辅助线专题练习（含答案）1.如图：已知，点 D E在三角形 ABC的边BC上，AB二AC, AD=AE求证：BD=CE证明：作 AF丄BC 垂足为F,贝U AF丄DE v AB二AC AD=AE又 AF丄BC , AF丄DE二BF=CF DF=EF （等腰三角形底边上的高与 底2.如图，在三角形ABC中，AB=AC,AF平行 BC于F, D是AC边上任意一 点，延长BA到E,使AE=AD 连接DE,试判断直线AF与DE的位置关 系，并说明理由解：AF丄 DE 理由： 延长 ED交 BC于 G v AB二AC AE二AD/ B=Z C, / E=Z

2、 ADE / B+Z E=Z C+Z ADE v/ ADEW CDGZ B+Z E=Z C+Z CDGvZ B+Z E=Z DGC Z C+Z CDGZ BGE Z BGEZ CGD=180 /-ZBGEZ CGD=90 / EGL BC v AF/ BC / AF丄 DEF解法2:过A点作 ABC底边上的高,再用/ BACK D+AED=2/ ADE,即/ CAGM AED证明 AG/ DE 利用 AF/BC证明AF丄DE3.如图， ABC中, BA=BC点D是AB延长线上一点， DF丄AC交BC于E,求证： DBE是等腰三角形。证明：在厶 ABC 中， t BA=BC / A=M C, v

3、 DF丄 AC, /-Z C+MFEC=90 , Z A+Z D=90, /Z FEC=Z D vZ FECZ BED BED=4.如图， ABC中，AB=AC,E在 AC上，且 AD=AE,DE的延长线与BC相 交于F。求证：DF丄BC.证明： AB=AC / B=Z C,又 T AD=AE D=Z AED/ B+Z D=Z C+Z AED / B+Z D=Z C+Z CEF/ EFC玄 BFE=180 X 1/2 = 90 , DF丄 BC;若把“ AD =AE，与结论“ DF丄BC互换，结论也成立。若把条件“ AB=AC与结论“ DF丄BC互换，结论依然成立。5.如图，AB=AE,BC=

4、ED,Z B=Z E,AM丄CD, A 求证：CM=MD.证明：连接AC,AD AB=AEZ B=Z E,BC=ED ABCA AED(SAS) AC二AD AML CD / AMCM AMD=90 v AM=AM 公共边)二 RT AC曜 RTAADM (HL) CM=DM6.如图，已知人。是4 ABC的中线，BE交AC于F,且AE=EF求证：BF=AC 证明：过B点做AC的平行线,交AD的延长线于G点v AD为中线， BD=CDv BG平行于 AC /-Z FGB* CAF / DBGM ACD 在人卩已和厶 GFB中 , vZ FGBZ CAF Z GFBZ AFE AFEAGFB/Z

5、FGBZ FAEv AE=EF/-Z FAE=/ AFE/Z BFGZ G /A GFB为等腰三角形，且 BF=BG 在厶 ADCA GBD中 vZ DBGZACD BD=CD Z BDGZ CDA ADCA GBD / BG=AC/ BF=AC7.已知：如图， ABC（A申AC）中，D E在BC上， 且DE二EC过D点作DF/ BA，交 AE于点 F,DF=AC,求证：AE平分/ BAC证明：延长AE,过D作DM| AC交AE延长线于 M /-Z M=Z 1, / C二/ 2在 CEA中 Z M=Z 1, Z C=Z 2, DE=CE DEMRCEA / DM=CA又 DF=CA/. DM=

6、DF；. Z M=Z 3 v AB| FD,/Z 3=Z 4, /Z 4=Z 1 / AE平分Z BACC线于IWBD=C（已知） DFGA ECG（AASDG=GE对应边相等）E/ DFC* FCE / DGF* CGE（已证）8.已知：如图， ABC中，AB=AC在 AB上取一点 D,在 延长线上取一B点E,连接DE交BC于点F,若F是DE中点。求 证：BD=CE9.已知：如图，在厶ABC中，AB二AC二CE,是AD上一点，BE丄CB交CD于 E,AC丄 DC,求证：BE=1/2BC证明：过点A作AF丄BC交BC于点F ABC是等腰三角形，AB=ACZ ABF=/ ACF-( 1) 二 A

7、F 是 BC上的垂直平分线，AF丄BC, BF=CF=BC/2(2) v BE! BC 二 BE/AF 二/ DBE* BAF (3) v/ CBE=90 二/ DBE+/ ECB (5)由(3)和(5)知道：/ BAF=/ ECB 又v AB=CE/ BFA=/ EBC=90 / RT BFA坐 RT EBC (角角边)10.如图，ABC的角平分线，M为BC的中点，ME/ DA交BA延长线于 E,求证：BE=CF=1/2（AB+AC）证明： （1）延长EM 使EM=MG连接CG点 M 是 BC 的中点，二 BM二CM/ BMECMG.iA BMEA CM( SAS) BE=CG/ E=Z G

8、 AD平分/ BAC, / BAD$ CAD v ME/ DA, a / BAD* E, / CADh AFE / E=Z AFE a AE=AF v/ AFE=Z CFG , a / G=Z CFG a CF二CG, a BE=CG a BE=CFE:G(2) v BE=AB+AE a 2BE=2AB+2AEv CF=BE AC=CF+AF AE=AFa 2BE=2CF=AB+(AB+AE)+AE=AB+BE+AE=AB+(CF+AE)/ AC=AF+CF a2BE二AB+ACA. BE=CF=1/2(AB+AC)G11.如图，已知 ABC中，AD丄BC,/ABC二才C.试说明AB+BD二C

9、的理由 证明：在 DC上截取 DE=BD连接 AE t AD! BC,二/ ADB/ ADE=90 - AD=ADA RT ADB RT ADE( SAS)二 AB二AE,/ ABC/ AEB/ AEB玄 C+/ EAC ABC二/ C (已知) 二/ EAC/ C AE=CE,a AB=CEt CD=CE+DE 二 AB+BD=CDA/ / / 1、B 51Ec12.已知：如图，AD是厶ABC的角平分线，且 AC=AB+BD.求证：/ B=2 / C.证明：在 AC上作 AE= AB,连结 DE t AC二AB+BDAE+CE ,二 BD= CE t AD 是角平分线，/ BAD=/ EAD

10、 又 t AB二AE AD=ADa ABDA EAD / B=/ AED BD= DE= CE/ EDC/ C,/ AED= 2/ C即:/ B= 2 /C13.如图所示，已知在 ABC中 AD是/ A的平分线，且/ B=2/ C.求证：AC二AB+BD.证明：延长 AB到E,使AC=AE连接DE AD是/ BAC的角平分线/ BADW DAC（角平分线的定义） 公共边 AD=AD AC=AE BADW DAC / ACDA AED （SAS） a/ ACBW DEA（全等三角形形的对角相等）/ BDE/ deb/ CBA / CBA=2/ ACB / ACB/ DEA a / BDE/ DE

11、A aBD=BE（等角对等边） AB+BE=AE,AC=AE,BD=BE ab+bd=ac14.如图，点E是等边 ABC内一点，且 EA=EB, ABC外一点D满 足BD二AC且BE平分/ BDE求/ BDE的度数 解：连接CE ： AC=BCAE=BECE为公共边， BCEA ACE / BCEh ACE=30 又 t BD=AC=BC/ DBEh CBE BE为公共边， BDEA BCE BDEh BCE=3015.如图，已知在厶 ABC中, AB=BC=CA,是 AD上一点，并且 EB=BD=DE.求证：BD+DC=AD. A提示：证明 ABEA BCD即可E B C16.已知：如图，

12、ABC中，/ C=90, CML AB于 M,AT平分 / BAC交CM于 D,交 BC于 T,过 D作 DE/ AB交 BC于 E, 求证：CT=BE证明1: 作DF/ BC交AB于F,则:/ AFD玄B=Z ACD,AT为/ BAC的角平分线,AD为公共边 / AFDAACD,AF二AC连接TF v AF=AC, AT为/ BAC的角平分线，AT为公共边 二 ACTA AFT, TF 丄 AF,TF/ CM v DF/ CT/ BE,TF/ CD,DE/ BF 二四边 形CTFD和四边形BEDF都是平行四边形 二CT=DF=BE证明 2:作 TF丄 AB于 F,则:CDT* ADM=90 - / DAM=90 - / DAC二 / CTD / CDT 之 CTD ,二 CT=CDt AT为/ BAC的角平分线，TF丄 AB,AC丄 TC CT=TF=CDv DE/ BF,TF / CD,二/ DEC/ B, / DCE/ FTB 又 TF二CD CDEA TFB, / CE=BTa CE-TE=BT-TE,CT=BE