完整word版高等代数教案北大版第八章doc.docx
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完整word版高等代数教案北大版第八章doc
授课内容
教学时数
教学目标
教学重点
教学难点
教学方法与
手段
教
学
过
程
第八章λ－矩阵第一讲λ－矩阵
2学时授课类型讲授法与练习法
使学生了解-矩阵的概念，以及-矩阵和数字矩阵的关系，基本掌握-
矩阵秩的判断，可逆的条件，以及求逆矩阵。
-矩阵秩的判断，可逆的条件，以及求逆矩阵。
求-矩阵的逆矩阵
启发式讲授，讨论，练习
n阶矩阵
A
与对角阵相似的充要条件是
A
有n个线性无关的特征向量
.
那
么当只有m（mn）个线性无关的特征向量时,A与对角阵是不相似的.对这种情
况,我们“退而求其次”,寻找“几乎对角的”矩阵来与A相似.这就引出了矩阵在相似下的各种标准型问题.
Jordan标准型是最接近对角的矩阵并且其有关的理论包含先前有关与对角
阵相似的理论作为特例.此外,Jordan标准型的广泛应用涉及到Hamilton-Cayley定理的证明,矩阵分解,线性微分方程组的求解等等.
由于Jordan标准型的求解与特征多项式有关,而从函数的角度看,特征多项
式实际上是特殊的函数矩阵（元素是函数的矩阵）,这就引出对-矩阵的研究.
一、-矩阵及其标准型
定义1
称矩阵A（
）（fij（
））为
-矩阵,其中元素
fij（）（i
1,2,L
m;j1,2,L,n）
为数域F上关于
的多项式.
定义2
称n阶
-矩阵A（
）是可逆的,如果有
ABBAIn
并称B（）为A（）的逆矩阵.反之亦然.
定理1矩阵A（）可逆的充要条件是其行列式为非零的常数,即
det（A（））c0.
证明：
（1）充分性设A=d是一个非零的数.A*表示A（）的伴
随矩阵,则d1A*也是一个-矩阵,且有
Ad1A*d1A*AI
因此,A（）是可逆的.
（2）必要性设A（）有可逆矩阵B（）,则
ABI
两边取行列式有
A
B
I
1
由于A
与B
都是多项式,而它们的乘积为
1,所以它们都是零次多项式,
即都是非零常数.证毕.
例题1
判断
-矩阵
2+1
2
1
A
=
1
1
是否可逆.
解虽然
2+1
2
1
A
=
1
=
2
0
1
A（）是满秩的,但A
不是非零常数,因而A（
）是不可逆的.
注意
与数字矩阵不同的是满秩矩阵未必是可逆的
.这么定义可逆是有必
要的,可逆的本质就是要保证变换的矩阵可以通过非零常数的倒数逆回去.
定义3如果矩阵A（）经过有限次的初等变换化成矩阵B（），则称矩阵
A（）与B（）等价,记为
AB
定理2矩阵A（）与B（）等价的充要与条件是存在可逆矩阵
P、Q,使得
BPAQ
证明因为AB,所以A（）可以经过有限次初等变换变成
B（）,即存在初等矩阵
P（）,P（）,L,P（）
12s
与初等矩阵
Q1（）,Q2（）,L,Qt（）
使得
B（）P（）P（）LP（）A（）Q（）Q（）LQ（）
12s12t
令
P（）P1（）P2（）LPs（）,
Q（）Q1（）Q2（）LQt（）
就是所要求的-矩阵.它们都是初等矩阵的乘积,从而使可逆的.证毕.
定义4
矩阵A（
）的所有非零k阶子式的首一（最高次项系数为1）最大
公因式Dk
称为A（
）的k阶行列式因子.
定理2
等价矩阵具有相同的秩和相同的各级行列式因子.
证明
设
-矩阵A（）经过一次行初等变换化为了
B（
），f（
）与g（）分
别是A（）与B（
）的k阶行列式因子.需要证明f（）=g（
）.分3
种情况讨论：
（1）A（）
i,j
B（）,此时,B（
）的每个k阶子式或者等于
A（）的某个
k阶子式,或者与
A（）的某个阶子式反号
所以,f（
）是B（
）的
k阶子式的公
因子,从而f（）|g（）.
（2）A（）
i（c）
B（）,此时,B（）的每个k阶子式或者等于
A（）的某
个k阶子式,或者等于A（
）的某个k阶子式的c倍.所以,f（
）是B（
）的k阶子
式的公因式,从而f（
）|
g（）.
（3）A（）
i
j（）
行与j
行的阶子式和
B（）,此时,B（）中那些包含i
那些不包含i行的k阶子式都等于
A（
）中对应的k阶子式；B（
）中那些包含i
行但不包含j行的k阶子式,按i行分成两个部分
而等于A（）的一个k阶子式
与另一个k阶子式的
（）倍的和,,也就是A（
）的两个k阶子式的线性组合,
所以
f（）是的
k
阶子式公因式
从而f（）|g（
）
.
对于列变换
可以一样地讨论
.总之,A（
）经过一系列的初等变换变成
B（
），那么f（
）|
g（
）.又由于初等变换的可逆性
B（）经过一系列的初等变
换可以变成A（
）,从而也有g（）|f（
）.
当A（）所有的阶子式为零时
B（
）所有的k阶子式也就等于零；反之亦然.
故A（
）与B（）又相同的各阶行列式因子,从而有相同的秩.证毕.
既然初等变换不改变行列式因子,所以,每个-矩阵与它的标准型有完全相
同的行列式因子.而求标准型的矩阵是较为简单的,因而,在求一个-矩阵的行列
式因子时,只要求出它的标准型的行列式因子即可.
讨论、练习与
作业
课后反思
授课内容
教学时数
教学目标
教学重点
教学难点
教学方法与
手段
教
学
过
程
第二将λ－矩阵在初等变换下的标准型
2
授课类型
讲授课
了解
-矩阵的初等变换，掌握求标准型的方法，
掌握最小多项式的概念和
求最小多项式的方法。
求标准型的方法和最小多项式的求法
求-矩阵标准型的方法
课堂讲授，辅以提问、练习
一、-矩阵的初等变换。
定义1下面的三种变换叫做-矩阵的初等变换：
（1）矩阵的两行（列）互换位置；
（2）矩阵的某一行（列）乘以非零的常数c；
（3）矩阵的某一行（列）加另一行（列）的（）倍，（）是一个多项
式。
初等变换都是可逆的，并且有
p（i,j）1p（i,j）,p（i（c））1p（i（c1））,
p（i,j（））1p（i,j（））。
为了写起来方便起见，我们采用以下的记号：
[i,j]代表i,j行（列）互换位置；
[i（c）]代表用非零的数c去乘i行（列）；
[ij（）]代表把j行（列）的（）倍加到i行（列）。
定义2-矩阵A（）称为与B（）等价，如果可以经过一系列初等变换将
A（）化为B（）。
等价是-矩阵之间的一种关系，这个关系，显然具有下列三个性质：
（1）反身性：
每一个-矩阵与自己等价。
（2）对称性：
若A（）与B（）等价，则B（）与A（）等价。
这是由于
初等变换具有可逆性的缘故。
（3）传递性：
若A（）与B（）等价，B（）与C（）等价，则A（）与
C（）等价，
引理设-矩阵A（）的左上角a11（）0，并且A（）中至少有一个元
素不能被它除尽，那么一定可以找到一个与A（）等价的矩阵B（），它的左上
角元素也不为零，但是次数比a11（）的次数低。
定理2任意一个非零的sn的-矩阵A（）都等价与下列形式的矩阵
d1（）
d2（）
dr（）
0
0
最后化成的这个矩阵称为A（）的标准形。
例求-矩阵
1
A（）
2
的标准型.
解
1
A（）0
1
1+222
2
1
2
0
2
2
0
0
2
1
0
0
0
0
0
0
2
即为所求的标准型.
二、矩阵最小多项式
定义3：
设AMn（K）是一个矩阵，如果多项式
f（
）
a0
m
a1
m1
am1
am
使得：
f（A）
a0Am
a1Am1
am1A
amEn
0
则称f（）是
A的零化多项式。
A的次数最小的首一零化多项式称为
A的极小
多项式（
minimalpolymial
）,记为mA（）。
引理
2：
mA（
）整除
A的任意零化多项式。
特别的
mA（
）|fA（）。
证明
设f（
）是
A的任一零花多项式，则
f（A）
0。
由带余除法定理可知
f（
）
mA（
）q（
）
r（
），r（
）
0或
0（r（
））
0（mA（））。
由
r（A）
0及
1（mA（））的最小性知r（）0mA（）|fA（）
引理3：
mA（
）的根必是
fA（
）的根。
证明
若A有特征根
0不是mA（）的根，则（
0,mA（
））1。
存在
u（）,v（）C[]使得u（）（
0）v（）mA（）1
u（A）（A
0Im）In，取行列式知det（A0Im）
0与0
是A的特征根矛
盾。
由引理1、2知mA（）与fA（）有相同的根。
引理4相似矩阵有相同的最小多项式，反之不真。
例1
设
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
A
0
0
1
B
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
mA（
）mB（）
2
，但A、B不相似。
引理5设A为n阶方阵且A相似于
B
B1B2
0B3
其中B1、B3为方阵，则[mB1（
）,mB2（
）]|mB（
）
特别的由引理
3知当B2
0时
mA（）mB（）[mB1（）,mB2（）]。
定理3
设A
Mn（C）
r1
r2ggg
ri
s
fA（）
（
（2）
i）
ri
n
1）
（
i
1
则mA（
）（
1）t1（
2）t2ggg（
i）ti
，其中1tiri,1is.
由引理1、2即得结论。
例2设
3
1
0
A0
2
0
，求mA（）
1
1
2
解
fA（）（
3）（
2）2，
mA（）只能是下两个多项式之一，即
m1（）（
3）（
2），m2（）
（
3）（
2）2
将A
带入m1（）得
m1（）0，故mA（）（
3）（
2）。
定理4
mA（
）
fA（A）,Dn1（
）为
I
A的n-1阶行列式因子。
Dn
1（
）
可根据如下方法求出
Dn1（
）。
因
为
（fA（
）
fA（u））,
记
r（
u）
fA（
）
fA（u）
故
u
fA（）
fA（u）
（
u）r（,u）
，分别以
I与A
代
和ui
得
fA（）I
（
I
A）r（
I,u）得r（
I
A）
（
I
A*）
（A*表示A的伴随矩
阵。
而Dn
1（
）恰为（
I
A*）的所有元素的首一最大公因式故用上述方法可求
出A的最小多项式）。
例4设
3
3
2
A
1
5
2
求mA（
）。
1
3
0
解
fA（
）
（
2）2（
4）
r（,u）
fA（）fA（u）
u2
u（
8）
2
8
20
u
2
5
6
3
6
2
4
（I
A*）
A2
A（
8）
（
2
8
20）I
2
2
3
2
2
4
2
3
6
2
8
12
显然（
I
A*）中所有元素首一最大公因式
Dn1（）
2
mA（
）
fA（A）
2）（
4）
D2（
（
）
讨论、练习与
作业
课后反思
授课内容
教学时数
教学目标
教学重点
教学难点
教学方法与
手段
教
学
过
程
第三讲不变因子
2授课类型讲授、互动
通过2学时的讲授，使学生基本掌握线性变换的矩阵表示方法和来源，了
解矩阵和线性变换的这种等价关系，掌握不变因子的求法。
λ－矩阵的标准型和不变因子
λ－矩阵不变因子的求法
课堂讲授、练习
一、矩阵表示
设V和W都是数域F上的有限维向量空间，dimV=n，dimW=m，σ∈
Hom（V，W）．
σ完全被它在V的一个基上的作用所决定．因此在V中取一个基
1,,n；
同时，在W中取一个基
1,,
m
，则
（
1）,
（n）
由
1,2,
m
线性表示
为
（1）a111
a212
am1m
（n）a1n1
a2n
2
amn
m．
（1）
将此写成矩阵形式，并令σ
（1,
2,
n）=（
（1）,
（2）,
（
n）），则得
a11
a1n
（1,,n）（1,
m）
a21
a2n
am1
amn
，
（2）
其中矩阵A=（aij）mn
Fmn，叫做线性映射σ在
V的基{
j}和W的基{i}
下的矩阵．
在V、W中分别取定一个基
{j}、{
i}以后，对于
V到W的每一个线性
映射σ，有唯一确定的
m×n矩阵A与它对应．因此，这个对应给出了
Hom（V，
W）到Fmn的一个映射
．设∈Hom（V，W），则（）=B
是在基{
j}和基{i}
下的矩阵．若B=A，则（j）（j），j1,,n．由命题7.1.1，有=．这
表明是单射．任给C∈Fmn，W中以C的第j列作为在基{i}下的坐标的向
量记作j，j1,,n．存在V到W的一个线性映射，使得（j）=j，
j1,,n．从而
（1,
n）=（
1,
n）=（
1,
m）C．
于是，C是在基{
j}和基{
i}下的矩阵．因此
（
）=C．这表明
是满射．故
是Hom（V,W）到Fmxn
的一个双射．进一步，我们来证明
定理
1
设V
和W
都是数域
F
上有限维向量空间
其中
dimV=n,
dimW=m．在V中取一个基
1,
n
，在W中取一个基
1,
m．则V
到W的每一个线性映射与它在基
{
j
}和基{i}下的矩阵的对应
是向量空
间Hom（V，W）到Fmn的同构映射，记作
Hom（V，W）
Fmn．
证前面已证
是到Hom（V，W）到Fmn的双射．现在来证明
保持加法与
纯量乘法运算．任取,
∈Hom（V
，W），设
（）=A,
（）=B，即
（1,
n）（1,
m）A，（1,
n）
（1,
m）B，则
（
）（1,
n）
（（
）
（1）,
（
）（n））
（
（1）,
（n））
（
（1）,
（n））
（1,
m）A（
1,
m）B
（
1,
m）（A
B）．
（3）
这表明
+
在基{
j
}和基{
i}下的矩阵是A＋B．因此
（+
）=A＋B=
（
）+
（
）．
类似可证
（k
）
kA
k
（
），其中k∈F．因此，是Hom（V，W）到Fmn
的同构映射．
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