完整word版高等代数教案北大版第八章doc.docx

1、完整word版高等代数教案北大版第八章doc授课内容教学时数教学目标教学重点教学难点教学方法与手段教学过程第八章 矩阵 第一讲 矩阵2 学时 授课类型 讲授法与练习法使学生了解 -矩阵的概念，以及 -矩阵和数字矩阵的关系，基本掌握 -矩阵秩的判断，可逆的条件，以及求逆矩阵。-矩阵秩的判断，可逆的条件，以及求逆矩阵。求-矩阵的逆矩阵启发式讲授，讨论，练习n 阶矩阵A与对角阵相似的充要条件是A有 n 个线性无关的特征向量.那么当只有 m( m n) 个线性无关的特征向量时 , A 与对角阵是不相似的 .对这种情况,我们“退而求其次” ,寻找“几乎对角的”矩阵来与 A 相似 .这就引出了矩阵在相似下

2、的各种标准型问题 .Jordan 标准型是最接近对角的矩阵并且其有关的理论包含先前有关与对角阵相似的理论作为特例 .此外 , Jordan 标准型的广泛应用涉及到 Hamilton-Cayley 定理的证明 ,矩阵分解 ,线性微分方程组的求解等等 .由于 Jordan 标准型的求解与特征多项式有关 ,而从函数的角度看 ,特征多项式实际上是特殊的函数矩阵（元素是函数的矩阵） ,这就引出对 -矩阵的研究 .一、 - 矩阵及其标准型定义 1称矩阵 A() ( fij () 为-矩阵 ,其中元素fij ( )(i1,2,L, m; j 1,2,L , n)为数域 F 上关于的多项式 .定义 2称 n

3、阶- 矩阵 A() 是可逆的 ,如果有A B B A I n并称 B( ) 为 A( ) 的逆矩阵 .反之亦然 .定理 1 矩阵 A( ) 可逆的充要条件是其行列式为非零的常数 ,即det( A( ) c 0 .证明：（ 1）充分性 设 A =d 是一个非零的数 . A* 表示 A( ) 的伴随矩阵 ,则 d 1 A* 也是一个 -矩阵 ,且有A d 1 A* d 1 A* A I因此 , A( ) 是可逆的 .(2) 必要性 设 A( ) 有可逆矩阵 B( ) ,则A B I两边取行列式有ABI1由于 A与 B都是多项式 ,而它们的乘积为1,所以它们都是零次多项式 ,即都是非零常数 .证毕

4、.例题 1判断-矩阵2 +121A=11是否可逆 .解 虽然2 +121A=1=201A( ) 是满秩的 ,但 A不是非零常数 ,因而 A() 是不可逆的 .注意与数字矩阵不同的是满秩矩阵未必是可逆的.这么定义可逆是有必要的 ,可逆的本质就是要保证变换的矩阵可以通过非零常数的倒数逆回去 .定义 3 如果矩阵 A( ) 经过有限次的初等变换化成矩阵 B( ) ，则称矩阵A( ) 与 B( ) 等价 ,记为A B定 理 2 矩 阵 A( ) 与 B( ) 等 价 的 充 要 与 条 件 是 存 在 可 逆 矩 阵P 、Q ,使得B P A Q证明 因为 A B , 所以 A( ) 可以经过 有限次

5、初等 变换变成B( ) ,即存在初等矩阵P ( ), P ( ),L , P ( )1 2 s与初等矩阵Q1 ( ), Q2 ( ),L ,Qt ( )使得B( ) P ( ) P ( )L P ( ) A( )Q ( )Q ( ) L Q ( )1 2 s 1 2 t令P( ) P1 ( )P2 ( )L Ps ( ) ,Q( ) Q1( )Q2 ( )L Qt ( )就是所要求的 -矩阵 .它们都是初等矩阵的乘积 ,从而使可逆的 .证毕 .定义 4矩阵 A() 的所有非零 k 阶子式的首一 （最高次项系数为 1） 最大公因式 D k称为 A() 的 k 阶行列式因子 .定理 2等价矩阵具有

6、相同的秩和相同的各级行列式因子.证明设-矩阵 A( ) 经过一次行初等变换化为了B() ，f () 与 g( ) 分别是 A( ) 与 B() 的 k 阶行列式因子 .需要证明 f( )= g() .分 3种情况讨论：（ 1）A( )i , jB( ) ,此时 , B() 的每个 k 阶子式或者等于A( ) 的某个k 阶子式 ,或者与A( ) 的某个阶子式反号,所以 , f () 是 B() 的k 阶子式的公因子 ,从而 f ( )| g( ) .（ 2） A( )i(c)B( ) ,此时 , B( ) 的每个 k 阶子式或者等于A( ) 的某个 k 阶子式 ,或者等于 A() 的某个 k 阶

7、子式的 c 倍 .所以 , f() 是 B() 的 k 阶子式的公因式 ,从而 f()|g( ) .（ 3） A( )ij( )行与 j行的阶子式和B( ) ,此时 , B( ) 中那些包含 i那些不包含 i 行的 k 阶子式都等于A() 中对应的 k 阶子式； B() 中那些包含 i行但不包含 j 行的 k 阶子式 ,按 i 行分成两个部分,而等于 A( ) 的一个 k 阶子式与另一个 k 阶子式的( ) 倍的和 ,也就是 A() 的两个 k 阶子式的线性组合 ,所以,f( ) 是的k阶子式公因式从而 f( )| g().,对于列变换, 可以一样地讨论.总之 , A() 经过一系列的初等变换

8、变成B() ，那么 f()|g() .又由于初等变换的可逆性, B( ) 经过一系列的初等变换可以变成 A() ,从而也有 g( )| f() .当 A( ) 所有的阶子式为零时, B() 所有的 k 阶子式也就等于零； 反之亦然 .故 A() 与 B( ) 又相同的各阶行列式因子 ,从而有相同的秩 .证毕 .既然初等变换不改变行列式因子 ,所以 ,每个 -矩阵与它的标准型有完全相同的行列式因子 .而求标准型的矩阵是较为简单的 ,因而 ,在求一个 -矩阵的行列式因子时 ,只要求出它的标准型的行列式因子即可 .讨论、练习与作业课后反思授课内容教学时数教学目标教学重点教学难点教学方法与手段教学过程

9、第二将 矩阵在初等变换下的标准型2授课类型讲授课了解- 矩阵的初等变换， 掌握求标准型的方法，掌握最小多项式的概念和求最小多项式的方法。求标准型的方法和最小多项式的求法求-矩阵标准型的方法课堂讲授，辅以提问、练习一、 -矩阵的初等变换。定义 1 下面的三种变换叫做 -矩阵的初等变换：（1）矩阵的两行（列）互换位置；（2）矩阵的某一行（列）乘以非零的常数c ；（3）矩阵的某一行（列）加另一行（列）的( ) 倍， ( ) 是一个多项式。初等变换都是可逆的，并且有p(i, j ) 1 p(i , j ), p(i (c) 1 p(i (c 1 ) ,p(i , j ( ) 1 p(i, j ( )

10、。为了写起来方便起见，我们采用以下的记号：i , j 代表 i , j 行（列）互换位置； i( c) 代表用非零的数 c 去乘 i 行（列）；i j ( ) 代表把 j 行（列）的 ( ) 倍加到 i 行（列）。定义 2 -矩阵 A( ) 称为与 B( ) 等价，如果可以经过一系列初等变换将A( ) 化为 B( ) 。等价是 -矩阵之间的一种关系，这个关系，显然具有下列三个性质：（ 1） 反身性：每一个 -矩阵与自己等价。（ 2） 对称性：若 A( ) 与 B( ) 等价，则 B( ) 与 A( ) 等价。这是由于初等变换具有可逆性的缘故。（ 3） 传递性：若 A( ) 与 B( ) 等价，

11、 B( ) 与 C ( ) 等价，则 A( ) 与C ( ) 等价，引理 设 -矩阵 A( ) 的左上角 a11 ( ) 0 ，并且 A( ) 中至少有一个元素不能被它除尽，那么一定可以找到一个与 A( ) 等价的矩阵 B( ) ，它的左上角元素也不为零，但是次数比 a11 ( ) 的次数低。定理 2 任意一个非零的 s n 的 -矩阵 A( ) 都等价与下列形式的矩阵d1 ( )d 2 ( )dr ( )00最后化成的这个矩阵称为 A( ) 的标准形。例 求 -矩阵1A( )2的标准型 .解1A( ) 011+ 2 2 221202200210000002即为所求的标准型 .二、矩阵最小多项

12、式定义 3：设 A M n ( K ) 是一个矩阵，如果多项式f ()a0ma1m 1am 1am使得：f ( A)a0 Ama1 Am 1am 1 Aam En0则称 f ( ) 是A 的零化多项式。A 的次数最小的首一零化多项式称为A 的极小多项式（minimal polymial） ,记为 mA ( ) 。引理2： mA () 整除A 的任意零化多项式。特别的mA () | f A ( ) 。证明设 f () 是A 的任一零花多项式，则f ( A)0 。由带余除法定理可知f ()mA ()q()r () ，r ()0 或0 ( r ()0 (mA ( ) 。由r ( A)0 及1( mA

13、 ( ) 的最小性知 r ( ) 0 mA ( ) | f A ( )引理 3： mA () 的根必是f A () 的根。证明若 A 有特征根0 不是 mA ( ) 的根，则 (0,mA () 1 。 存在u( ), v( ) C 使得 u( )(0 ) v( )mA ( ) 1u( A)( A0 I m )I n ，取行列式知 det( A 0I m )0 与 0是 A 的特征根矛盾。由引理 1、 2 知 mA ( ) 与 fA ( ) 有相同的根。引理 4 相似矩阵有相同的最小多项式，反之不真。例 1设0100010000000000A001B0000000000000mA () mB (

14、 )2，但 A 、 B 不相似。引理 5 设 A 为 n 阶方阵且 A 相似于BB1 B20 B3其中 B1 、 B3 为方阵，则 mB1 (), mB2 () | mB ()特别的由引理3 知 当 B20 时mA ( ) mB ( ) mB1 ( ), mB2 ( ) 。定理 3设 AM n (C )r1r2 gggrisf A ( )(2 )i ),rin1 )(i1则 mA () (1)t1 (2 )t 2 ggg(i )ti，其中 1 ti ri ,1 i s.由引理 1、 2 即得结论。例 2 设310A 020，求 mA ( )112解f A ( ) (3)(2) 2 ，mA (

15、) 只 能 是 下 两 个 多 项 式 之 一 ， 即m1( ) (3)(2) ， m2 ( )(3)(2) 2将 A带 入 m1( ) 得m1( ) 0 ，故 mA ( ) (3)(2) 。定理 4mA ()f A ( A) , Dn 1() 为IA 的 n-1 阶行列式因子。Dn1 ()可根据如下方法求出Dn 1 () 。因为( f A ()fA (u),记r (,u)f A ()f A (u)故uf A ( )f A (u)(u) r ( ,u)， 分 别 以I 与 A代和 ui得f A ( )I(IA)r (I ,u) 得 r (IA)(IA* )（ A* 表示 A 的伴随矩阵。而 D

16、 n1() 恰为 (IA* ) 的所有元素的首一最大公因式故用上述方法可求出A 的最小多项式） 。例 4 设332A152求 mA () 。130解f A ()(2) 2 (4)r ( ,u)f A ( ) f A (u)u2u(8)2820u2563624( IA* )A2A(8)(2820)I2232242362812显然 (IA* ) 中所有元素首一最大公因式Dn 1 ( )2mA ()f A ( A)2)(4)D2 ()讨论、练习与作业课后反思授课内容教学时数教学目标教学重点教学难点教学方法与手段教学过程第三讲 不变因子2 授课类型 讲授、互动通过 2 学时的讲授，使学生基本掌握线性变

17、换的矩阵表示方法和来源，了解矩阵和线性变换的这种等价关系，掌握不变因子的求法。矩阵的标准型和不变因子矩阵不变因子的求法课堂讲授、练习一、 矩阵表示设 V 和 W 都是数域 F 上的有限维向量空间， dimV=n ， dimW=m ，Hom(V ， W) 完全被它在 V 的一个基上的作用所决定 因此在 V 中取一个基1, n ；同时，在 W 中取一个基1 , ,m，则(1 ), ( n )由1 , 2 ,m线性表示为( 1 ) a11 1a21 2am1 m( n ) a1n 1a2 n2a mnm (1)将此写成矩阵形式，并令( 1 ,2 ,n )=( 1 ),( 2 ),(n ) )，则得a

18、11a1n( 1 , , n ) ( 1, m )a 21a2nam1amn，(2)其中矩阵 A= (aij ) mnF m n ，叫做线性映射在V 的基 j 和 W 的基 i 下的矩阵在 V、 W 中分别取定一个基 j 、i 以后，对于V 到 W 的每一个线性映射， 有唯一确定的m n 矩阵 A 与它对应 因此，这个对应给出了Hom(V ，W) 到 F m n 的一个映射设 Hom(V ，W) ，则 ( )=B是 在基 j 和基 i下的矩阵若 B=A ，则 ( j ) ( j ) ， j 1, , n 由命题 7.1.1，有 = 这表明 是单射任给 C F m n ， W 中以 C 的第 j

19、 列作为在基 i 下的坐标的向量记作 j ， j 1, , n 存在 V 到 W 的一个线性映射 ，使得 ( j )= j ，j 1, , n 从而( 1 , n )=(1, n )=(1 ,m )C于是，C 是 在基 j 和基 i 下的矩阵 因此()=C 这表明是满射故是 Hom(V ,W) 到 F mxn的一个双射进一步，我们来证明定理1设 V和 W都是数域F上有限维向量空间, 其中dimV=n,dimW=m 在 V 中取一个基1 ,n，在 W 中取一个基1 ,m 则 V到 W 的每一个线性映射与它在基j 和基 i 下的矩阵的对应是向量空间 Hom(V ，W) 到 F m n 的同构映射，

20、记作Hom(V ， W)F m n 证 前面已证是到 Hom(V ，W) 到 F m n 的双射 现在来证明保持加法与纯 量 乘 法 运 算 任 取 , Hom(V， W) ， 设( )=A,( )=B ， 即( 1 , n ) ( 1 , m ) A ， ( 1 ,n )( 1 , m ) B ，则()( 1, n )()( 1 ), ()( n )( ( 1 ), ( n )( ( 1 ), ( n )( 1 ,m ) A (1,m )B(1 ,m )( AB)(3)这表明+在基 j 和基 i 下的矩阵是 A B因此( +)=A B=()+()类似可证(k)kAk() ，其中 k F因此， 是 Hom(V ，W) 到 F m n的同构映射