浙教版八年级竞赛培优训练第4讲 等腰三角形.docx

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浙教版八年级竞赛培优训练第4讲等腰三角形

第4讲　等腰三角形

【思维入门】

1．已知等腰△ABC中，腰AB＝8，底BC＝5，则这个三角形的周长为（　　）

A．21　　　　B．20　　　C．19　　　D．18

2．若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（　　）

A．40°B．50°C．60°D．70°

3．如图1－4－1，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是（　　）

A．45°B．54°C．40°D．50°

图1－4－1

4．如图1－4－2，在△ABC中，点D在BC上，AB＝AD＝DC，∠B＝80°，则∠C的度数为（　　）

A．30°B．40°C．45°D．60°

图1－4－2

5．如图1－4－3，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，点D在AC上，BD＝BC，则∠ABD的度数是____．

图1－4－3

6．如图1－4－4，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.求证：

△DEB≌△DFC.

【思维拓展】

7．如图1－4－5，已知在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，且OM∥AB，ON∥AC，若CB＝6，则△OMN的周长是（　　）

图1－4－5

A．3B．6

C．9D．12

8．如图1－4－6，AB＝AC，AD＝DE＝EC＝BC，则∠ABC的度数为（　　）

A．30°B．40°

C．45°D．60°

图1－4－6

9．如图1－4－7，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，D是

AB边上的一点，AD＝BC，连结CD，则∠BDC＝____．

10．如图1－4－8，△ABC与△CDE均是等边三角形，若∠AEB＝145°，则∠DBE的度数是____．

图1－4－8　　

11．如图1－4－9，正六边形被三组平行线分割成小的正三角形，则图中所有正三角形的个数是____．

图1－4－9

12．如图1－4－10，△ABC中，AB＝AC.∠A＝36°，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请完成以下操作（画图不要求使用圆规，以下问题中所指的等腰三角形个数均不包括△ABC）：

（1）在图①中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，并直接写出这2个等腰三角形的顶角的度数分别是____度和____度；

（2）在图②中画2条线段，使图中有4个等腰三角形；

（3）继续以上操作发现：

在△ABC中画n条线段，则图中有____个等腰三角形，其中有____个黄金等腰三角形．

图1－4－10

【思维升华】

13．三角形三边的长分别为a，b，c，且

＋

＝

，则三角形是（　　）

A．等边三角形B．直角三角形

C．以a为腰的等腰三角形D．以a为底的等腰三角形

14．如图1－4－11，已知P为等腰△ABC内的一点，AB＝BC，∠BPC＝108°，D为AC的中点，BD与PC交于点E，如果点P为△ABE的内心，则∠PAC＝____．

15．如图1－4－12，一个六边形的内角都相等，其中四条边的长分别是3，7，4，8，则另外两条边的长度的和a＋b等于____．

图1－4－12

16．如图1－4－13，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，延长AB到D，使AD＝BC，连结CD，则∠BCD的度数是____．

图1－4－13

第4讲　等腰三角形

【思维入门】

1．已知等腰△ABC中，腰AB＝8，底BC＝5，则这个三角形的周长为（　A　）

A．21　　　　B．20　　　C．19　　　D．18

2．若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（　D　）

A．40°B．50°C．60°D．70°

3．如图1－4－1，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是（　C　）

A．45°B．54°C．40°D．50°

图1－4－1

4．如图1－4－2，在△ABC中，点D在BC上，AB＝AD＝DC，∠B＝80°，则∠C的度数为（　B　）

A．30°B．40°C．45°D．60°

图1－4－2

5．如图1－4－3，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，点D在AC上，BD＝BC，则∠ABD的度数是__30°__．

图1－4－3

6．如图1－4－4，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.求证：

△DEB≌△DFC.

证明：

∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠DEB＝∠DFC＝90°，

∵BD＝CD，

∴△DEB≌△DFC（AAS）．

【思维拓展】

7．如图1－4－5，已知在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，且OM∥AB，ON∥AC，若CB＝6，则△OMN的周长是（　B　）

图1－4－5

A．3B．6

C．9D．12

【解析】∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠MBO，

又OM∥AB，

∴∠ABO＝∠MOB，

∴∠MBO＝∠MOB，

∴OM＝BM，同理ON＝CN，

∵BC＝6，

则△OMN的周长＝OM＋MN＋ON＝BM＋MN＋NC＝BC＝6.

8．如图1－4－6，AB＝AC，AD＝DE＝EC＝BC，则∠ABC的度数为（　B　）

A．30°B．40°

C．45°D．60°

图1－4－6

9．如图1－4－7，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，D是AB边上的一点，AD＝BC，连结CD，则∠BDC＝__30°__．

10．如图1－4－8，△ABC与△CDE均是等边三角形，若∠AEB＝145°，则∠DBE的度数是__85°__．

图1－4－8　　第10题答图

【解析】如答图，∵等边△ABC和等边△DCE，

∴∠ACB＝∠DCE＝∠ABC＝60°，

在△ACE与△BCD中，

∵∠ACB＝∠ECD，

∴∠ACB－∠ECB＝∠ECD－∠ECB，

∴∠1＝∠2，而AC＝BC，EC＝DC，

∴△ACE≌△BCD，

∴∠AEC＝∠BDC＝60°＋∠3，

∴∠AEB＝360°－∠AEC－∠CED－∠BED，

则360°－∠AEC－∠CED－∠BED＝145°，

360°－（60°＋∠3）－60°－∠BED＝145°，

360°－120°－（∠3＋∠BED）＝145°，

360°－120°－（180°－∠DBE）＝145°，

解得∠DBE＝85°.

11．如图1－4－9，正六边形被三组平行线分割成小的正三角形，则图中所有正三角形的个数是__38__．

【解析】设正六边形的边长为2，

那么边长为1的正三角形的个数有24个，边长为2的正三角形有12个，边长为3的正三角形的个数有2个，共计38个．

12．如图1－4－10，△ABC中，AB＝AC.∠A＝36°，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请完成以下操作（画图不要求使用圆规，以下问题中所指的等腰三角形个数均不包括△ABC）：

（1）在图①中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，并直接写出这2个等腰三角形的顶角的度数分别是__108__度和__36__度；

（2）在图②中画2条线段，使图中有4个等腰三角形；

（3）继续以上操作发现：

在△ABC中画n条线段，则图中有__2n__个等腰三角形，其中有__n__个黄金等腰三角形．

图1－4－10

解：

（1）如答图①所示；

（2）如答图②所示．

①②

第12题答图

【思维升华】

13．三角形三边的长分别为a，b，c，且

＋

＝

，则三角形是（　C　）

A．等边三角形B．直角三角形

C．以a为腰的等腰三角形D．以a为底的等腰三角形

【解析】通分得

＋

＝

，

＝

，

a（b＋c）（b＋c－a）＝bc（b＋c），

a（b＋c－a）＝bc，

ab＋ac－a2－bc＝0，

a（b－a）＋c（a－b）＝0，

（a－c）（b－a）＝0，

a－c＝0或b－a＝0.

即a＝c或b＝a.

此时三角形是等腰三角形且a一定是腰．

14．如图1－4－11，已知P为等腰△ABC内的一点，AB＝BC，∠BPC＝108°，D为AC的中点，BD与PC交于点E，如果点P为△ABE的内心，则∠PAC＝__48°__．

【解析】由题意可得∠PEA＝∠PEB＝∠CED＝∠AED.

而∠PEA＋∠PEB＋∠AED＝180°.

所以∠PEA＝∠PEB＝∠CED＝∠AED＝60°.

从而可得∠PCA＝30°.

又∠BPC＝108°，所以∠PBE＝12°，

图1－4－11

从而∠ABD＝24°.

所以∠BAD＝90°－24°＝66°.

∠PAE＝

（∠BAD－∠CAE）

＝

（66°－30°）＝18°，

所以∠PAC＝∠PAE＋∠CAE＝18°＋30°＝48°.

15．如图1－4－12，一个六边形的内角都相等，其中四条边的长分别是3，7，4，8，则另外两条边的长度的和a＋b等于__11__．

图1－4－12

【解析】延长a，7，8三条边（两边延长）就会得到一个正三角形，

正三角形边长＝3＋7＋4＝14，b＝14－4－8＝2，a＝14－3－b＝9，a＋b＝11.

16．如图1－4－13，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，延长AB到D，使AD＝BC，连结CD，则∠BCD的度数是__10°__．

图1－4－13

【解析】以BC为一边在△ABC外作等边△BCE，连结AE，

∴BE＝CE＝BC，∠BEC＝∠BCE＝60°，

∵AB＝AC，AE＝AE，

∴△ABE≌△ACE，

∴∠CEA＝∠BEA＝

×60°＝30°，

∵∠BAC＝100°，∴∠ABC＝∠ACB＝40°，

∴∠ACE＝∠BAC＝100°，

第16题答图

∵AD＝CE，AC＝AC，∴△ACE≌△CAD，

∴∠D＝∠CEA＝30°，

在△ACD中，∠ACD＝180°－∠D－∠BAC＝50°，

∴∠BCD＝∠ACD－∠ACB＝10°.