初中数学寒假班北师大初一第6讲 平行线基础班.docx

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初中数学寒假班北师大初一第6讲平行线基础班

第6讲平行线

1、三线八角

（1）同位角：

两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．

（2）内错角：

两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．

（3）同旁内角：

两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．

（4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．

【典例】

例1（2020春•南丹县期末）如图，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2的位置关系是（　　）

A．同位角B．内错角C．同旁内角D．相等

【解答】解：

∠1与∠2的位置关系是内错角，

故选：

B．

【方法总结】

此题主要考查了内错角，关键是掌握内错角的边构成“Z“形．

例2（2020春•瑞安市期中）如图，∠1的同旁内角是（　　）

A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5

【解答】解：

A、∠1和∠2是对顶角，不是同旁内角，故本选项不符合题意；

B、∠1和∠3是同位角，不是同旁内角，故本选项不符合题意；

C、∠1和∠4是内错角，不是同旁内角，故本选项不符合题意；

D、∠1和∠5是同旁内角，故本选项符合题意；

故选：

D．

【方法总结】

本题考查了同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义的运用，能熟记同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义是解此题的关键，注意：

数形结合思想的运用．

例3（2020春•澧县期末）分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角．

【解答】解：

如图1，

同位角有：

∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8；

内错角有：

∠3与∠6，∠4与∠5；

同旁内角有：

∠3与∠5，∠4与∠6．

如图2，

同位角有：

∠1与∠3，∠2与∠4；

同旁内角有：

∠3与∠2．

【方法总结】

本题考查了同位角、内错角，同旁内角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．

【随堂练习】

1．（2020春•高州市期中）如图所示，下列选项中是一组同位角的是（　　）

A．∠1和∠3B．∠2和∠5C．∠3和∠4D．∠3和∠5

【解答】解：

A、∠1和∠3是对顶角，不是同位角，故本选项不符合题意；

B、∠2和∠5是同位角，故本选项符合题意；

C、∠3和∠4是内错角，不是同位角，故本选项不符合题意；

D、∠3和∠5是同旁内角，不是同位角，故本选项不符合题意；

故选：

B．

2．（2020春•鹿城区期中）如图所示，∠B与∠3是一对（　　）

A．同位角B．内错角C．同旁内角D．对顶角

【解答】解：

∠B与∠3是直线DE和直线BC被直线AB所截得到的同旁内角，

故选：

C．

3．（2020春•麻城市校级月考）如图，∠1和∠3是直线　AB　和　AC　被直线　DE　所截而成的　内错　角；图中与∠2是同旁内角的角有　3　个．

【解答】解：

∠1和∠3是直线AB和AC被直线DE所截而成的内错角；图中与∠2是同旁内角的角有∠6、∠5、∠7，共3个，

故答案为：

AB、ACDE、内错，3．

4．（2020春•西湖区期末）如图，有下列3个结论：

①能与∠DEF构成内错角的角的个数是2；②能与∠EFB构成同位角的角的个数是1；③能与∠C构成同旁内角的角的个数是4，以上结论正确的是　①②　．

【解答】解：

①能与∠DEF构成内错角的角的个数有2个，即∠EFA和∠EDC，故正确；

②能与∠EFB构成同位角的角的个数只有1个：

即∠FAE，故正确；

③能与∠C构成同旁内角的角的个数有5个：

即∠CDE，∠B，∠CED，∠CEF，∠A，故错误；

所以结论正确的是①②．

故答案为：

①②．

2、平行线的判定

平行线的判定方法：

判定方法1两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.

简单说成：

同位角相等，两直线平行.

如图1，∵∠4=∠2，∴a∥b.

判定方法2两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.

简单说成：

内错角相等，两直线平行.

如图2，∵∠4=∠5，∴a∥b.

判定方法3两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.

简单说成：

同旁内角互补，两直线平行.

如图3，∵∠4+∠1=180°，∴a∥b.

【典例】

例1（2020春•曲阜市期末）如图，下列条件中不能判断a∥b的是（　　）

A．∠2＝∠6B．∠1＝∠4C．∠4+∠6＝180°D．∠3+∠5＝180°

【解答】解：

A、∠2＝∠6可以判定a，b平行，不符合题意；

B、∠1＝∠4，不能判定a，b平行，符合题意；

C、∠4+∠6＝180°，可以判断a、b平行，不符合题意；

D、∠3+∠5＝180°，可以判定a，b平行，不符合题意．

故选：

B．

【方法总结】

本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：

同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．

例2（2020春•邹平市期末）如图，下列条件中能判断AD∥BC的是（　　）

A．∠A＝∠CDEB．∠C＝∠CDE

C．∠ABD＝∠BDCD．∠C+∠ABC＝180°

【解答】解：

A、∵∠A＝∠CDE，∴AB∥CD，故选项错误；

B、∵∠C＝∠CDE，∴AD∥BC，故选项正确；

C、∵∠ABD＝∠BDC，∴CD∥AB，故选项错误；

D、∵∠C+∠ABC＝180°，∴CD∥AB，故选项错误．

故选：

B．

【方法总结】

本题考查了平行线的判定．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．

例3（2020春•滨城区期末）如图，E，F分别是AB和CD上的点，CE，BF分别交AD于G，H，∠1＝∠2，∠B＝∠C．

求证：

AB∥CD．

【解答】证明：

如图，∵∠1＝∠3，∠1＝∠2，

∴∠3＝∠2，

∴CE∥BF，

∴∠BFD＝∠C，

∵∠B＝∠C，

∴∠BFD＝∠B，

∴AB∥CD．

【方法总结】

考查了平行线的判定与性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．

【随堂练习】

1．（2020春•香洲区期末）如图，点E在AB的延长线上，下列条件中可以判断AB∥CD的是（　　）

A．∠A＝∠CBEB．∠A+∠CBA＝180°

C．∠A＝∠CD．∠C＝∠CBE

【解答】解：

A、∠A＝∠CBE可以判定AD∥BC，故此选项不合题意；

B、∠A+∠CBA＝180°可以判定AD∥BC，故此选项不合题意；

C、∠A＝∠C不可以判定AB∥CD，故此选项不符合题意；

D、∠C＝∠CBE可以判定直线AB∥CD，故此选项符合题意．

故选：

D．

2．（2020春•黄陂区期末）木工师傅用图中的角尺画平行线，他依据的数学道理是（　　）

A．同位角相等，两直线平行

B．内错角相等，两直线平行

C．同旁内角互补，两直线平行

D．以上结论都不正确

【解答】解：

木工师傅用图中的角尺画平行线，他依据的数学道理是同位角相等，两直线平行，

故选：

A．

3、平行线的性质

平行线的性质：

性质1两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.

简单说成：

两直线平行，同位角相等.

如图1，∵a∥b，∴∠4=∠2.

性质2两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.

简单说成：

两直线平行，内错角相等.

如图2，∵a∥b，∴∠4=∠5.

性质3两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.

简单说成：

同旁内角互补，两直线平行.

如图3，∵a∥b，∴∠4+∠1=180°.

【典例】

例1（2020春•大埔县期末）如图，已知直线EF与AB、CD都相交，且AB∥CD，说明∠1＝∠2的理由．

理由：

∵EF与AB相交（已知）

∴∠1＝∠3（　对顶角相等　）

∵AB∥CD（已知）

∴∠2＝∠3（　两直线平行，同位角相等　）

∴∠1＝∠2（　等量代换　）

【解答】解：

理由：

∵EF与AB相交（已知），

∴∠1＝∠3（对顶角相等），

∵AB∥CD（已知），

∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），

∴∠1＝∠2（等量代换），

故答案为：

对顶角相等；两直线平行，同位角相等；等量代换．

【方法总结】

本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

例2（2020春•凉州区校级期中）如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠AGD＝105°．求∠BAC的度数．

【解答】解：

∵EF∥AD（已知），

∴∠1＝∠3（两直线平行，同位角相等），

又∵∠1＝∠2（已知），

∴∠2＝∠3（等式性质或等量代换），

∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行），

∴∠BAC+∠AGD＝180°（两直线平行，同旁内角互补），

又∵∠AGD＝105°（已知），

∴∠BAC＝75°．

【方法总结】

本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．

例3（2020春•泰兴市期末）已知：

如图，AD是△ABC的角平分线，点E在BC上，点F在CA的延长线上，EF交AB于点G，且EF∥AD．求证：

∠AGF＝∠F．

【解答】证明：

∵EF∥AD，

∴∠F＝∠DAC，∠AGF＝∠GAD，

∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠GAD＝∠DAC，

∴∠AGF＝∠F．

【方法总结】

本题考查平行线的性质、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

【随堂练习】

1．（2020•武汉模拟）如图，点A、B、C、D在一条直线上，CE与BF交于点G，∠E＝∠F，CE∥DF，求证：

∠A＝∠1．

【解答】证明：

∵CE∥DF，

∴∠F＝∠2，

∵∠E＝∠F，

∴∠E＝∠2，

∴AE∥BF，

∴∠A＝∠1．

2．（2020春•武昌区期末）填空完成推理过程：

如图，点D，E，F分别是△ABC的边AC，BC，AB上的点，DF∥BC，DE∥AB．

求证：

∠FDE＝∠B．

证明：

∵DF∥BC，

∴∠FDE＝　∠DEC　（　两直线平行，内错角相等　）．

∵DE∥AB，

∴∠B＝　∠DEC　（　两直线平行，同位角相等　），

∴∠FDE＝∠B．

【解答】证明：

∵DF∥BC，

∴∠FDE＝∠DEC（两直线平行，内错角相等）．

∵DE∥AB，

∴∠B＝∠DEC（两直线平行，同位角相等），

∴∠FDE＝∠B．

故答案为：

∠DEC，两直线平行，内错角相等；∠DEC，两直线平行，同位角相等．

3．（2020春•西华县期中）如图所示，已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F两点，FG平分∠EFD，交AB于点G．若∠1＝52°，求∠BGF的度数．

【解答】解：

∴AB∥CD，

∴∠1＝∠CFE＝52°，

∴∠EFD＝180°﹣52°＝128°，

∵FG平分∠EFD，

∴∠GDF

∠EFD＝64°，

∵AB∥CD，

∴∠BGF+∠GFD＝180°，

∴∠BGF＝180°﹣64°＝116°

综合运用

1．（2020春•兴城市期末）如图，∠1的内错角是（　　）

A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5

【解答】解：

∠1的内错角是∠2，

故选：

A．

2．（2020春•安化县期末）如图所示，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2是（　　）

A．对顶角B．同位角C．内错角D．同旁内角

【解答】解：

∠1与∠2是内错角，

故选：

C．

3．（2020春•鱼台县期末）在直角△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AC于E，交AB于D．

（1）试指出BC、DE被AB所截时，∠3的同位角、内错角和同旁内角；

（2）试说明∠1＝∠2＝∠3的理由．（提示：

三角形内角和是180°）

【解答】解：

（1）当BC，DE被AB所截时，∠3的同位角为∠1；∠3的内错角为∠2；∠3的同旁内角为∠4；

（2）∵∠1+∠A+∠C＝180°，∠3+∠A+∠C＝180°，

∴∠1＝∠3

∵∠1＝∠2

∴∠1＝∠2＝∠3

4．（2020春•泰山区期末）如图1，是大众汽车的图标，图2反映其中直线间的关系，并且AC∥BD，AE∥BF，∠A与∠B相等吗？

并说明理由．

【解答】解：

∠A与∠B相等，

理由：

∵AC∥BD，AE∥BF，

∴∠A＝∠DOE，∠DOE＝∠B，

∴∠A＝∠B，

即∠A与∠B相等．

5．（2020秋•官渡区校级月考）如图，点E在直线BH、DC之间，点A为BH上一点，且AE⊥CE，∠ECG＝90°﹣∠HAE．求证：

BH∥CD．

【解答】证明：

过点E作EF∥BH，

∴∠HAE＝∠AEF，

∵AE⊥CE，

∴∠AEC＝90°

即∠AEF+∠CEF＝90°，

∴∠HAE+∠CEF＝90°，

∴∠CEF＝90°﹣∠HAE，

∵∠ECG＝90°﹣∠HAE，

∴∠CEF＝∠ECG，

∴EF∥CD，

∵EF∥BH，

∴BH∥CD．

6．（2020春•昆明期末）填写下列空格：

已知：

如图，CE平分∠ACD，∠AEC＝∠ACE．

求证：

AB∥CD．

证明：

∵CE平分∠ACD（已知），

∴∠　ACE　＝∠　DCE　（　角平分线的定义　）．

∵∠AEC＝∠ACE（已知），

∴∠AEC＝∠　DCE　（　等量代换　）．

∴AB∥CD（　内错角相等，两直线平行　）．

【解答】证明：

∵CE平分∠ACD（已知），

∴∠ACE＝∠DCE（角平分线的定义）．

∵∠AEC＝∠ACE（已知），

∴∠AEC＝∠DCE（等量代换）．

∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．

故答案为：

ACE；DCE；角平分线的定义；DCE；等量代换；内错角相等，两直线平行．

7．（2020春•岱岳区期末）已知：

如图，点D是△ABC边CB延长线上的一点，DE⊥AC于点E，点G是边AB一点，∠AGF＝∠ABC，∠BFG＝∠D，试判断BF与AC的位置关系，并说明理由．

【解答】解：

BF⊥AC，理由如下：

∵∠AGF＝∠ABC，

∴FG∥BC，

∴∠GFB＝∠FBC，

∵∠GFB＝∠D，

∴∠FBC＝∠D，

∴BF∥DE，

∵DE⊥AC

∴BF⊥AC．

8．（2020春•海淀区校级月考）如图，已知△ABC，点F在边BC上，EF∥AC交直线AB于点E，DF∥AB交直线AC于点D．

（1）补全图形；

（2）判断∠BAC与∠EFD的数量关系，并给予证明．

【解答】解：

（1）如图：

（2）∠BAC＝∠EFD．

证明：

∵EF∥AC，

∴∠EFB＝∠C．

∵DF∥AB，

∴∠DFC＝∠B．

∴∠EFD＝180°﹣（∠EFB+∠DFC）＝180°﹣（∠C+∠B）．

在△ABC中，∠BAC＝180°﹣（∠C+∠B），

∴∠BAC＝∠EFD．

9．（2020春•姑苏区期中）已知：

直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点M为两平行线内部一点．

（1）如图1，∠AEM，∠M，∠CFM的数量关系为　∠M＝∠AEM+∠CFM　；（直接写出答案）

（2）如图2，∠MEB和∠MFD的角平分线交于点N，若∠EMF等于130°，求∠ENF的度数；

（3）如图3，点G为直线CD上一点，延长GM交直线AB于点Q，点P为MG上一点，射线PF、EH相交于点H，满足∠PFG

∠MFG，∠BEH

∠BEM，设∠EMF＝α，求∠H的度数（用含α的代数式表示）．

【解答】解：

（1）如图1，过点M作ML∥AB，

∵AB∥CD，

∴ML∥AB∥CD，

∴∠1＝∠AEM，∠2＝∠CFM，

∵∠EMF＝∠1+∠2，

∴∠M＝∠AEM+∠CFM．

故答案为：

∠M＝∠AEM+∠CFM；

（2）如图2，过M作ME∥AB，

∵AB∥CD，

∴ME∥CD，

∴∠BEM+∠2＝∠DFM+∠4＝180°，

∴∠BEM＝180°﹣∠2，∠DFM＝180°﹣∠4，

∵EN，FN分别平分∠MEB和∠DFM，

∴∠1

∠BEM，∠3

∠DFM，

∴∠1+∠3

（180°﹣∠2）

（180°﹣∠4）＝180°

（∠2+∠4）＝180°

130°＝115°，

∴∠ENF＝360°﹣∠1﹣∠3﹣∠EMF＝360°﹣115°﹣130°＝115°；

（2）如图3中设∠BEH＝x，∠PFG＝y，则∠BEM＝3x，∠MFG＝3y，设EH交CD于K．

∵AB∥CD，

∴∠BEH＝∠DKH＝x，

∵∠PFG＝∠HFK＝y，∠DKH＝∠H+∠HFK，

∴∠H＝x﹣y，

∵∠EMF＝∠MGF＝α，∠BQG+∠MGF＝180°，

∴∠BQG＝180°﹣α，

∵∠QMF＝∠QME+∠EMF＝∠MGF+∠MFG，

∴∠QME＝∠MFG＝3y，

∵∠BEM＝∠QME+∠MQE，

∴3x﹣3y＝180°﹣α，

∴x﹣y＝60°

α，

∴∠H＝60°

α．