小学奥数模块教程加法原理.docx

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小学奥数模块教程加法原理

一、加法原理概念引入

生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用加法原理来解决．

例如:

王老师从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？

分析这个问题发现，王老师去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5种走法，如果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的走法．

在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数．

二、加法原理的定义

一般地，如果完成一件事有k类方法，第一类方法中有

种不同做法，第二类方法中有

种不同做法，…，第k类方法中有

种不同做法，则完成这件事共有

种不同方法，这就是加法原理．

加法原理运用的范围：

完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：

“加法分类，类类独立”．

分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：

1完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；

2分别属于不同两类的两种方法是不同的方法．

只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确．

运用加法原理解题时，关键是确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数．通俗地说，就是“整体等于局部之和”．

三、加法原理解题三部曲

1、完成一件事分N类；

2、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）；

3、类类相加

加法原理

分类讨论中加法原理的应用

树形图法、标数法及简单的递推

树形图法

标数法

简单递推

模块一、分类讨论中加法原理的应用（枚举法）

【例1】柯南去给步美买生日礼物，商店里卖的东西中，有不同的玩具8种，不同的课外书20本，不同的纪念品10种，那么，柯南买一种礼物可以有多少种不同的选法？

【例2】从1～10中每次取两个不同的数相加，和大于10的共有多少种取法？

【巩固】从1～50中每次取两个不同的数相加，和大于50的共有多少种取法？

【例3】甲、乙、丙三个工厂共订300份报纸，每个工厂至少订了99份，至多101份，问：

一共有多少种不同的订法？

【巩固】光彦和元太共有《爆笑校园》不超过9本，他们各自有《爆笑校园》的数目有多少种可能的情况？

【例4】把一元钱换成角币，有多少种换法？

人民币角币的面值有五角、二角、一角三种．

【巩固】一把硬币全是2分和5分的，这把硬币一共有1元，问这里可能有多少种不同的情况？

【例5】袋中有3个相同红球，4个相同黄球和5个相同白球，家明从中任意拿出6个球，他拿出球的情况共有________种可能．

【巩固】思思想将3个相同的小球放入

、

、

三个盒中，那么一共有________种不同的放法．

【例6】四个学生每人做了一张贺年片，放在桌子上，然后每人去拿一张，但不能拿自己做的一张．问：

一共有多少种不同的方法？

【巩固】甲、乙、丙、丁4名同学排成一行。

从左到右数，如果甲不排在第一个位置上，乙不排在第二个位置上，丙不排在第三个位置上，丁不排在第四个位置上，那么不同的排法共有多少种？

【例7】1、2、3、4四个数字，从小到大排成一行，在这四个数中间，任意插入乘号（最少插一个乘号），可以得到多少个不同的乘积?

【巩固】苹果、梨子和香蕉三人去公园玩，想拍一张照片留念，他们只拍了一张照片（人相同，位置不同为一张，可拍单人照），请问他们共有多少种不同的照法？

【例8】妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止，有多少种不同的吃法？

【巩固】明明带8元钱去商店买冰激凌。

有三种冰激凌，售价分别是5元一支、2元一支和1元一支。

如果这8元钱全部用于买这三种冰激凌，共有多少种不同的买法?

【例9】1995的数字和是1＋9＋9＋5=24，问：

小于2000的四位数中数字和等于26的数共有多少个?

【巩固】1995的数字和是1＋9＋9＋5=24，问：

小于2000的四位数中数字和等于24的数共有多少个?

模块二、树形图法和标数法

一、树形图法

“树形图法”实际上是枚举的一种，但是它借助于图形，可以使枚举过程不仅形象直观，而且有条理又不重复遗漏，使人一目了然．

【例10】A、B、C三个小朋友互相传球，先从A开始发球（作为第一次传球），这样经过了5次传球后，球恰巧又回到A手中，那么不同的传球方式共多少种？

【巩固】一只青蛙在A，B，C三点之间跳动，若青蛙从A点跳起，跳4次仍回到A点，则这只青蛙一共有多少种不同的跳法？

【巩固】一个学生假期往A、B、C三个城市游览．他今天在这个城市，明天就到另一个城市．假如他第一天在A市，第五天又回到A市．问他的游览路线共有几种不同的方案?

二、标数法

适用于最短路线问题，需要一步一步标出所有相关点的线路数量，最终得到到达终点的方法总数．标数法是加法原理与递推思想的结合．

【例11】如图所示，沿线段从A到B有多少条最短路线？

【巩固】如图，从

点到

点的最近路线有多少条？

【例12】如图为一幅街道图，从

出发经过十字路口

，但不经过

走到

的不同的最短路线有条.

【巩固】小王在一年中去少年宫学习56次，如图所示，小王家在

点，他去少年宫都是走最近的路，且每次去时所走的路线正好互不相同，那么少年宫在________点处．

【例13】在下图的街道示意图中，C处因施工不能通行，从A到B的最短路线有多少条？

【巩固】在下图的街道示意图中，C处因施工不能通行，从A到B的最短路线有多少种？

【例14】如图，沿着“北京欢迎你”的顺序走（要求只能沿着水平或竖直方向走），一共有多少种不同的走法？

【巩固】右图中的“我爱希望杯”有______种不同的读法．

【随练1】一个自然数各位上的数字之和是5（例如：

13的数字和为1+3=4，7的数字之和为7），而且各位数字都不相同。

这样的自然数有（）个．

【随练2】有30枚二分硬币和8枚五分硬币，用这些硬币不能构成1分到1元之间（含1分和1元）的币值的种数是多少？

【随练3】把1、2、3、4、5、6、7、8这八个数分成两组（每组4个数），使得这两组数的和相等，这样不同的分法共有多少种？

【随练4】一本书从第一页直至最后一页的页码中共用了2010个数字，那么这本书有个三位数页码？

【随练5】一次数学课堂练习有3道题，老师先写出一道，然后每隔5分钟再写出一道，规定：

①每个学生在老师写出一道新题时如果原有题还没有完成，必须立即停下来转做新题；

②完成一道题时，如果老师没有写出新题，就转做前面相邻未做完的题

那么，做完这三道题的不同顺序共有_______种可能．

【随练6】有些数如33、232、5775、36763……从左到右读与从右往左读是一样的，我们把这些数叫做对称数，在三位数中共有个对称数？

【随练7】将长为17的木棒截成长度为整数的三段，使他们构成一个三角形的三边。

不同的截法对应了不同的三角形，（相同的截法，截成的三段不管怎样摆，所构成的三角形都算作同一种三角形），那么所得到不同三角形的个数有（）个？

A．8B.7C.6D.5E.4

【随练8】如图，在正六边形ABCDEF中，一只青蛙从A点开始跳，它每次可以跳到相邻两个顶点中

的一个上，青蛙在5次之内（含5次）跳到C点不同跳法有（）种．

A.5B.6C.7D.8E.9

【随练9】把五个相同的球放到三个不同的盒子里（有的盒子可以不放），请问有多少方法？

【作业1】五顶不同的帽子，两件不同的上衣，三条不同的裤子.从中取出一顶帽子、一件上衣、一条裤子配成一套装束.问：

有多少种不同的装束？

【作业2】有数字1、2、3可以组成多少个数？

（每个数字最多只能用一次）

【作业3】在图中，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何点不得重复经过．问：

这只甲虫最多有几种不同走法？

【作业4】在右图的方格纸中放两枚棋子，要求两枚棋子不在同一行也不在同一列．问：

共有多少种不同的放法？

【作业5】“数学”这个词的英文单词是“MATH”．用红、黄、蓝、绿、紫五种颜色去分别给字母染色，每个字母染的颜色都不一样．这些颜色一共可以染出多少种不同搭配方式？

【作业6】12个人围成一圈，从中选出3个人，其中恰有两个人相邻，共有种不同的选法。

【作业7】在三位数中，各位数字之和是5的三位数有多少个？

【作业8】在所有的两位数中，十位数字比个位数字大的两位数有多少个？